Prawo Levy'ego
Dystrybucja Lévy
|
Gęstość prawdopodobieństwa dla różnych wartości c .
|
|
|
Funkcja dystrybucji dla różnych wartości c .
|
|
Ustawienia
|
μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}} vs>0{\ displaystyle c> 0 \,}
|
---|
Wsparcie
|
x∈]μ,+∞[{\ Displaystyle x \ in] \ mu, + \ infty [\,}
|
---|
Gęstości prawdopodobieństwa
|
vs2π⋅1(x-μ)3/2mi-vs2(x-μ){\ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {c} {2 \ pi}}} \ cdot {\ Frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}}
|
---|
Funkcja dystrybucyjna
|
mirfavs vs2(x-μ){\ Displaystyle \ mathrm {erfc} ~ {\ sqrt {\ Frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \!}
|
---|
Nadzieja
|
+∞{\ Displaystyle + \ infty \,}
|
---|
Mediana
|
vs/2(erf-1(1/2))2{\ Displaystyle c / 2 ({\ textrm {erf}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} \,} dla μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
|
---|
Moda
|
vs3{\ displaystyle {\ frac {c} {3}} \,} dla μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
|
---|
Zmienność
|
+∞{\ Displaystyle + \ infty \,}
|
---|
Asymetria
|
nie zdefiniowano
|
---|
Znormalizowana kurtooza
|
nie zdefiniowano
|
---|
Entropia
|
1+3γ+ln(16πvs2)2{\ Displaystyle {\ Frac {1 + 3 \ gamma + \ ln (16 \ pi c ^ {2})} {2}} \,}
|
---|
Funkcja generująca momenty
|
nie zdefiniowano
|
---|
Charakterystyczna funkcja
|
mijaμt--2javst{\ displaystyle e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}} \,}
|
---|
W teorii prawdopodobieństwa i statystyki , prawo Levy , nazwany po matematyk Paul Lévy , to ciągłe prawo prawdopodobieństwa . W fizyce , a dokładniej w spektroskopii , nosi nazwę z van der Waalsa profilu i opisuje profil niektórych liniach widmowych .
Prawo to zależy od dwóch parametrów: parametru pozycji, który przesuwa podporę i parametru skali .
μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}
[μ,∞[{\ displaystyle [\ mu, \ infty [}
vs{\ displaystyle c}![vs](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
Jeśli X następuje Levy, notatka: .
X∼Lmivy(μ,vs){\ Displaystyle X \ sim \ mathrm {Levy} (\ mu, c)}![X \ sim {\ mathrm {Levy}} (\ mu, c)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133e28b0b5f05cf61249746f27f38bc2c57d257e)
Z prawem Cauchy'ego i normalnego prawa , jest to jeden z tych trzech będzie stabilny przez splatanie i mieć analitycznie ekspresji w gęstości prawdopodobieństwa .
Charakterystyka
Gęstości prawdopodobieństwa
Gęstości prawdopodobieństwa prawa Levy jest dana przez:
fa(x;μ,vs)={vs2π1(x-μ)3/2mi-vs2(x-μ) gdyby x>μ0 Jeśli nie{\ Displaystyle f (x; \ mu, c) = {\ rozpocząć {przypadków} \ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {c} {2 \ pi}}} {\ Frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {w przeciwnym razie }} \ end {sprawy}}}![f (x; \ mu, c) = {\ rozpocząć {przypadków} \ Displaystyle {\ sqrt {{\ Frac {c} {2 \ pi}}}} {\ Frac {1} {(x- \ mu) ^ {{3/2}}}} e ^ {{- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}} & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ tekst {inaczej}} \ end {sprawy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ccae2f0408987c228058a16f7438f699acda2c)
gdzie jest parametrem pozycji, a jest parametrem skali . Jak wszystkie stabilne prawa , istnieje standardowa forma prawa, określona gęstością , którą otrzymujemy ze zmiany zmiennej: w wyrażeniu .
μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}
vs>0{\ displaystyle c> 0}
fa(x;0,1){\ Displaystyle f (x; 0,1)}
y=x-μvs{\ displaystyle y = {\ frac {x- \ mu} {c}}}
fa(x;μ,σ){\ Displaystyle f (x; \ mu \ sigma)}![f (x; \ mu, \ sigma)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29bb25d005bb5607a40b3f87dc6184805c9c1f91)
Prawo Lévy'ego ma ciężki ogon , wyrażony wzorem:
fa(x;μ,vs)∼x→∞vs2π 1x3/2.{\ displaystyle f (x; \ mu, c) \, {\ underset {x \ rightarrow \ infty} {\ sim}} \, {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~ {\ frac {1} {x ^ {3/2}}}.}![f (x; \ mu, c) \, {\ underset {x \ rightarrow \ infty} {\ sim}} \, {\ sqrt {{\ frac {c} {2 \ pi}}}} ~ {\ frac {1} {x ^ {{3/2}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e34c56bf2b6e802ce6fb9e4f40e9649bcffd52)
Tę właściwość ilustruje reprezentacja gęstości na wzorcu log-log .
Funkcja dystrybucyjna
Funkcja dystrybucyjna prawa Lévy'ego jest określona przez:
fa(x;μ,vs)={erfc(vs/2(x-μ)) gdyby x>μ0 Jeśli nie{\ Displaystyle F (x; \ mu, c) = {\ rozpocząć {przypadków} \ Displaystyle {\ textrm {erfc}} \ lewo ({\ sqrt {c / 2 (x- \ mu)}} \ prawej) & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {inaczej}} \ end {sprawy}}}![F (x; \ mu, c) = {\ rozpocząć {przypadków} \ Displaystyle {\ textrm {erfc}} \ lewo ({\ sqrt {c / 2 (x- \ mu)}} \ prawej) & {\ tekst {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {inaczej}} \ end {sprawy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7f3be44faccb86c7b966c03a4953c40cd0c45c)
gdzie erfc jest uzupełniającą funkcją błędu .
Charakterystyczna funkcja
Charakterystyczna funkcja prawa Levy jest:
φ(t;μ,vs)=mijaμt--2javst.{\ Displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}.}![\ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {{i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47ba271a3dab93cb47597d4dd04eed872a5a3c3)
Tę charakterystyczną funkcję możemy zapisać w bardziej klasycznej postaci stabilnych praw:
φ(t;μ,vs)=mijaμt-|vst|1/2 (1-ja znak(t)).{\ Displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ {\ textrm {znak}} (t))}. }![\ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {{i \ mu t- | ct | ^ {{1/2}} ~ (1-i ~ {\ textrm {znak}} (t))}} .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2ed6a251975068176afac55923f48407122c8f)
Chwile
Dla The n -ty chwila prawa Levy jest podana oficjalnie przez:
μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}![\ mu = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3753282c0ad2ea1e7d63f39425efd13c37da3169)
mnie =remifa vs2π∫0∞mi-vs/2xxniex3/2rex.{\ Displaystyle m_ {n} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ Frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x} \, x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}![m_n \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}} \ int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {- c / 2x} \, x ^ n } {x ^ {3/2}} \, {\ rm d} x.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035dbda463202d8c5ca59101788c131a1a14d328)
Ta całka rozbiega się dla wszystkich n > 0, więc momenty prawa Lévy'ego nie są zdefiniowane. Funkcja generująca moment jest formalnie określona przez:
M(t;vs) =remifa vs2π∫0∞mi-vs/2x+txx3/2rex.{\ Displaystyle M (t; c) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ Frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}![M (t; c) \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}} \ int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}} \, {\ rm d} x.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a81def4f02b2703137f5345a6ae646f37fc0d5e)
Całka rozbiega się dla, a zatem jest niezdefiniowana w dowolnym przedziale wokół zera, więc funkcja tworząca moment jest niezdefiniowana.
t>0{\ displaystyle t> 0}![t> 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a2960e88369263fe3cfe00ccbfeb83daee212a)
Powiązania z innymi przepisami
- Jeśli wtedyX∼Nałożyć(μ,vs){\ Displaystyle X \ sim {\ textrm {Levy}} (\ mu, c) \,}
kX+b∼Nałożyć(kμ+b,kvs){\ Displaystyle kX + b \ sim {\ textrm {Levy}} (k \ mu + b, kc) \,}
- Jeśli wtedy ( prawo odwrotnej gamma )X∼Nałożyć(0,vs){\ Displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}
X∼Inv-Gamma(12,vs2){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})}![X \, \ sim \, {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783f3739f3c57f30f01d727e5f28b524e2bc9d31)
- Prawo Lévy'ego jest szczególnym przypadkiem funkcji Pearsona typu V.
- Jeśli ( rozkład normalny ) toY∼Normalna(μ,σ2){\ Displaystyle Y \, \ sim \, {\ textrm {Normal}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}
(Y-μ)-2∼Nałożyć(0,1/σ2){\ Displaystyle {(Y- \ mu)} ^ {- 2} \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0,1 / \ sigma ^ {2})}
- Jeśli wtedyX∼Normalna(μ,1σ){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Normal}} (\ mu, {\ tfrac {1} {\ sqrt {\ sigma}}}) \,}
(X-μ)-2∼Nałożyć(0,σ){\ Displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- 2} \ sim {\ textrm {Levy}} (0, \ sigma) \,}
- Jeśli wtedy ( stabilne prawo )X∼Nałożyć(μ,vs){\ Displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}
X∼Stabilny(1/2,1,vs,μ){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {stabilny}} (1 / 2,1, c, \ mu) \,}![X \, \ sim \, {\ textrm {Stabilna}} (1 / 2,1, c, \ mu) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d83d733b03b783991b792e7c76b263686a0c9e)
- Jeśli wtedy ( prawo odwrotne - χ² zmieniło skalę)X∼Nałożyć(0,vs){\ Displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}
X∼Skala-inv-χ2(1,vs){\ Displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {odwrócenie skali -}} \ chi ^ {2} (1, c)}![X \, \ sim \, {\ textrm {Scale-inv -}} \ chi ^ {2} (1, c)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad186988a113020aea136b62700c226f333056bd)
- Jeśli wtedy ( składany rozkład normalny )X∼Nałożyć(μ,vs){\ Displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}
(X-μ)-12∼FoldedNormal(0,1/vs){\ Displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \ sim \, {\ textrm {FoldedNormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})}![{(X- \ mu)} ^ {{- {\ tfrac {1} {2}}}} \ sim \, {\ textrm {FoldedNormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f1d14a3c83076499f8ff92073f5c4d25a07a75)
Odniesienie
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w
języku angielskim zatytułowanego
„ Lévy distribution ” ( zobacz listę autorów ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">