Funkcja Pearsona

Funkcje Pearsona zostały stworzone do reprezentowania rozkładów unimodalnych . Jest ich dwanaście. Zostały one wymyślone przez Karla Pearsona w końcu XIX XX wieku i początku XX th wieku .

Pearson IV

Gęstość prawdopodobieństwa ƒ, dla rzeczywistego x , jest równa:

{\ Displaystyle f (x) = k \ cdot \ lewo [1+ \ lewo ({\ Frac {x- \ lambda} {a}} \ prawo) ^ {2} \ prawo] ^ {- m} \ cdot \ exp \ left [- \ nu \ cdot \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {x- \ lambda} {a}} \ right) \ right]}

lub

m , $ν$ , a i $λ$ to liczby rzeczywiste;
m > 1/2;
k jest współczynnikiem normalizacji.

Funkcja jest niezmienna, jeśli jednocześnie zmieniamy znak a i $v$ , więc przyjmujemy konwencję

a > 0.

Jeśli m ≤ 1/2, funkcja nie może zostać znormalizowana.

Funkcja Pearsona IV jest w rzeczywistości asymetryczną wersją prawa Studenta ; w rzeczywistości znajdujemy prawo Studenta z 2 m -1 stopniami swobody dla $ν = 0$ .

Dla m = 1 rozkład Pearsona IV jest asymetryczną postacią prawa Cauchy'ego (lub rozkładu Breita-Wignera ).

Funkcja ma pojedynczy tryb (wierzchołek) umieszczony w

{\ Displaystyle x_ {m} = \ lambda - {\ Frac {a \ nu} {2m}}}

ma dwa punkty przegięcia znajdujące się w

{\ Displaystyle x_ {i +/-} = x_ {m} \ pm {\ Frac {a} {2m}} {\ sqrt {\ Frac {4m ^ {2} + \ nu ^ {2}} {2m + 1}}}}

Jego średnia to

{\ Displaystyle \ langle x \ rangle = \ lambda - {\ Frac {a \ nu} {r}}}

dla m > 1

przez zapytanie

r = 2 ( m - 1).

Średnia jest nieskończona, jeśli $ν = 0$ i m Ł 1.

Jego wariancja jest

{\ Displaystyle \ mu _ {2} = {\ Frac {a ^ {2}} {r ^ {2} (r-1)}} (r ^ {2} + \ nu ^ {2})}

dla m > 3/2.

Wariancja jest nieskończona, jeśli m ≤ 3/2.

Wartość współczynnika normalizacji:

{\ Displaystyle k = {\ Frac {2 ^ {2m-2} | \ Gamma (m + i \ nu / 2) | ^ {2}} {\ pi a \ Gamma (r + 1)}}}

gdzie $Γ$ jest funkcją Gamma Eulera .

Pearson VII

VII p funkcji Pearson, określona dla całkowitych X przez

{\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {\ lewo [1+ \ lewo ({\ Frac {2 (x-x_ {0}) \ cdot {\ sqrt {2 ^ {1 / M}) - 1}}} {w}} \ right) ^ {2} \ right] ^ {M}}}}

gdzie M to parametr kształtu lub „szerokość Pearsona”.

Czasami piszemy uproszczone wyrażenie:

{\ Displaystyle f (x) = \ lewo [1 + K ^ {2} {\ Frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {M}} \ prawo] ^ {- M}}

Mamy

M <1: tzw. Rozkład super Lorentza;
M = 1: rozkład Cauchy'ego / Lorentza (Lorentza) / Breita-Wignera;
M = ∞: rozkład Gaussa-Laplace'a (Gaussian, prawo normalne).

Jest używany w radiokrystalografii do modelowania profilu pików dyfrakcyjnych (patrz także funkcja Voigta ).

Zobacz też

Bibliografia

(en) Karl Pearson , „ Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogenous Material: A (1887-1895) ” , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 186,1895, s. 343–414 ( DOI 10.1098 / rsta.1895.0010 , JSTOR 90649 )
(en) Karl Pearson , „ Matematyczny wkład w teorię ewolucji. X. Dodatek do wspomnienia o odchyleniach skośnych: seria A, zawierające artykuły matematyczne. lub Phys. Charakter (1896-1934) ” , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 197,1901, s. 443–459 ( DOI 10.1098 / rsta.1901.0023 , JSTOR 90841 )
(en) Karl Pearson , „ Matematyczny wkład w teorię ewolucji. XIX. Drugi dodatek do wspomnienia o odchyleniu od skosu: seria A, zawierające artykuły matematyczne. lub Phys. Charakter (1896-1934) ” , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 216,1916, s. 429–457 ( DOI 10.1098 / rsta.1916.0009 , JSTOR 91092 )

Linki zewnętrzne

(en) A Guide to the Pearson Type IV Distribution , Joel Heinrich, University of Pennsylvania, 2004