Stabilne prawo
Stabilne prawo
|
Gęstość prawdopodobieństwa Symetryczne rozkłady stabilne α -stabilny rozkład symetryczny z jednostkowym współczynnikiem skalowania Wyśrodkowane asymetryczne rozkłady stabilne z jednostkowym współczynnikiem skalowania
![Skośne, wyśrodkowane stabilne rozkłady](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Levyskew_distributionPDF.png/280px-Levyskew_distributionPDF.png)
|
|
|
Funkcja dystrybucji Funkcje dystrybucyjne α -stabilnych rozkładów symetrycznych Funkcje dystrybucyjne α -stabilnych rozkładów symetrycznych Funkcje dystrybucyjne wyśrodkowanych asymetrycznych rozkładów stabilnych
![Funkcje dystrybucyjne wyśrodkowanych asymetrycznych rozkładów Lévy'ego](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Levyskew_distributionCDF.png/280px-Levyskew_distributionCDF.png)
|
|
Ustawienia
|
α ∈ (0,2] - parametr stabilności
β ∈ [−1,1] - parametr asymetrii c ∈ (0, ∞) - parametr skali μ ∈ (−∞, ∞) - średnia
|
---|
Wsparcie
|
x ∈ R , lub x ∈ [μ, + ∞ [jeśli α <1 i β = 1 , lub x ∈] -∞, μ], jeśli α <1 i β = -1
|
---|
Gęstości prawdopodobieństwa
|
brak ogólnego wyrażenia analitycznego, z wyjątkiem kilku wartości parametrów
|
---|
Funkcja dystrybucyjna
|
brak ogólnego wyrażenia analitycznego, z wyjątkiem kilku wartości parametrów
|
---|
Nadzieja
|
μ gdy α > 1 , poza tym nieokreślone
|
---|
Mediana
|
μ gdy β = 0 , w przeciwnym razie brak wyrażenia analitycznego
|
---|
Moda
|
μ gdy β = 0 , w przeciwnym razie brak wyrażenia analitycznego
|
---|
Zmienność
|
2 c 2, gdy α = 2 , inaczej nieokreślone
|
---|
Asymetria
|
0, gdy α = 2 , w przeciwnym razie niezdefiniowane
|
---|
Znormalizowana kurtooza
|
0, gdy α = 2 , w przeciwnym razie niezdefiniowane
|
---|
Entropia
|
brak ogólnego wyrażenia analitycznego, z wyjątkiem kilku wartości parametrów
|
---|
Funkcja generująca momenty
|
nieokreślony
|
---|
Charakterystyczna funkcja
|
exp[jatμ-|vst|α(1-jaβsgn(t)Φ)],{\ Displaystyle \ exp \! \ lewo [\; \ mathrm {i} t \ mu - | c \, t | ^ {\ alpha} \, (1- \ mathrm {i} \ beta \, {\ mbox { sgn}} (t) \ Phi) \; \ right],}![{\ Displaystyle \ exp \! \ lewo [\; \ mathrm {i} t \ mu - | c \, t | ^ {\ alpha} \, (1- \ mathrm {i} \ beta \, {\ mbox { sgn}} (t) \ Phi) \; \ right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae17110a7f0640b38c988eb0e99faee0ffcd9bc5)
lub Φ={dębnikπα2gdyby α≠1-2πlog|t|gdyby α=1{\ Displaystyle \ Phi = {\ rozpocząć {przypadki} \ tan {\ tfrac {\ pi \ alpha} {2}} & {\ text {si}} \ alpha \ neq 1 \\ - {\ tfrac {2} { \ pi}} \ log | t | & {\ text {si}} \ alpha = 1 \ end {sprawy}}}
|
---|
Prawo stabilny lub obcięte dystrybucja Lévy , nazwany po matematyk Paul Lévy , to prawo prawdopodobieństwa stosowane w matematyce , fizyce i analizy ilościowej ( finansów rynek ).
Rzeczywista stabilna zmienna losowa
Definicja
Mówimy, że prawdziwa zmienna losowa ma stabilny rozkład, jeśli spełnia jedną z 3 równoważnych właściwości:
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Dla wszystkich ściśle dodatnich liczb rzeczywistych i istnieje ściśle dodatnia rzeczywista i rzeczywista taka, że zmienne losowe i mają ten sam rozkład, gdzie i są niezależnymi kopiami .W{\ displaystyle A}
b{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
re{\ displaystyle D}
WX1+bX2{\ displaystyle AX_ {1} + BX_ {2}}
VSX+re{\ displaystyle CX + D}
X1{\ displaystyle X_ {1}}
X2{\ displaystyle X_ {2}}
X{\ displaystyle X}![{\ displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Dla każdej liczby całkowitej istnieje ściśle dodatnia stała i rzeczywista taka, że zmienne są losowe i mają ten sam rozkład, gdzie są niezależne kopie .nie≥2{\ Displaystyle n \ geq 2}
VSnie{\ displaystyle C_ {n}}
renie{\ displaystyle D_ {n}}
X1+X2+⋯+Xnie{\ Displaystyle X_ {1} + X_ {2} + \ kropki + X_ {n}}
VSnieX+renie{\ displaystyle C_ {n} X + D_ {n}}
X1,X2,...,Xnie{\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ kropki, X_ {n}}
X{\ displaystyle X}![{\ displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Istnieje realne , , i takie, że funkcja charakterystyczna z kontroli, dla wszystkich ,α∈]0,2]{\ displaystyle \ alpha \ in] 0,2]}
σ≥0{\ displaystyle \ sigma \ geq 0}
β∈[-1;1]{\ Displaystyle \ beta \ w [-1; 1]}
μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}
X{\ displaystyle X}
θ∈R{\ displaystyle \ theta \ in \ mathbb {R}}![{\ displaystyle \ theta \ in \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31351fd5a472b6b13c8ab8228000ff1576fdbdb)
mi[mijaθX]={exp{-σα|θ|α(1-jaβ(sgnθ)dębnikπα2)+jaμθ} gdyby α≠1,exp{-σ|θ|(1+jaβ2π(sgnθ)ln|θ|)+jaμθ} gdyby α=1,{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta X} \ prawej] = \ lewo \ {{\ początek {tablica} {lc} \ exp \ lewo \ { - \ sigma ^ {\ alpha} | \ theta | ^ {\ alpha} (1- \ mathrm {i} \ beta (\ nazwa operatora {sgn} \ theta) \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2} }) + \ mathrm {i} \ mu \ theta \ right \} & {\ text {si}} \ alpha \ neq 1, \\\\\ exp \ left \ {- \ sigma | \ theta | (1+ \ mathrm {i} \ beta {\ frac {2} {\ pi}} (\ nazwa operatora {sgn} \ theta) \ ln | \ theta |) + \ mathrm {i} \ mu \ theta \ right \} & { \ text {si}} \ alpha = 1, \ end {tablica}} \ right.}![{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta X} \ prawej] = \ lewo \ {{\ początek {tablica} {lc} \ exp \ lewo \ { - \ sigma ^ {\ alpha} | \ theta | ^ {\ alpha} (1- \ mathrm {i} \ beta (\ nazwa operatora {sgn} \ theta) \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2} }) + \ mathrm {i} \ mu \ theta \ right \} & {\ text {si}} \ alpha \ neq 1, \\\\\ exp \ left \ {- \ sigma | \ theta | (1+ \ mathrm {i} \ beta {\ frac {2} {\ pi}} (\ nazwa operatora {sgn} \ theta) \ ln | \ theta |) + \ mathrm {i} \ mu \ theta \ right \} & { \ text {si}} \ alpha = 1, \ end {tablica}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c80ee10751a85b2ae1183005472cf5089e69308)
lub sgnθ={1 gdyby θ>0,0 gdyby θ=0,-1 gdyby θ<0.{\ displaystyle \ operatorname {sgn} {\ theta} = \ lewo \ {{\ początek {tablica} {lc} 1 i {\ tekst {si}} \ theta> 0, \\ 0 i {\ tekst {si} } \ theta = 0, \\ - 1 & {\ text {si}} \ theta <0. \ end {array}} \ right.}![{\ displaystyle \ operatorname {sgn} {\ theta} = \ lewo \ {{\ początek {tablica} {lc} 1 i {\ tekst {si}} \ theta> 0, \\ 0 i {\ tekst {si} } \ theta = 0, \\ - 1 & {\ text {si}} \ theta <0. \ end {array}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8a28dca3941d4cd673a21f4a4d6a13ccb98df4)
Uwagi :
- Parametry , , i charakteryzować prawo . Piszemy wtedy .α∈]0,2]{\ displaystyle \ alpha \ in] 0,2]}
σ≥0{\ displaystyle \ sigma \ geq 0}
β∈[-1,1]{\ Displaystyle \ beta \ w [-1,1]}
μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}
X{\ displaystyle X}
X∼Sα(σ,β,μ){\ Displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}![{\ Displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8923f253630df98b287d90e5bb906b928c2b5d5e)
- Prawdziwym w nazywany jest parametr stabilności z . Pozytywny prawdziwy nazywany jest parametr skali od .α{\ displaystyle \ alpha}
]0;2]{\ displaystyle] 0; 2]}
X{\ displaystyle X}
σ{\ displaystyle \ sigma}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Współczynniki , i są związane zależnością .W{\ displaystyle A}
b{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
VSα=Wα+bα{\ Displaystyle C ^ {\ alfa} = A ^ {\ alfa} + B ^ {\ alfa}}![{\ Displaystyle C ^ {\ alfa} = A ^ {\ alfa} + B ^ {\ alfa}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e78d33f857b130e72743aca222888c90d181975)
- Na wszystko mamy .nie≥2{\ Displaystyle n \ geq 2}
VSnie=nie1/α{\ Displaystyle C_ {n} = n ^ {1 / \ alfa}}![{\ Displaystyle C_ {n} = n ^ {1 / \ alfa}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff28d66e7dd0a74205ecbf1fd1ff035d7565e54)
Mówimy, że prawdziwa zmienna losowa jest -stabilna, jeśli jest stabilna, a jej parametr stabilności jest .
X{\ displaystyle X}
α{\ displaystyle \ alpha}
α{\ displaystyle \ alpha}![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
Własności praw stabilnych
- Jeśli i są niezależne, to zX1∼Sα(σ1,β1,μ1){\ Displaystyle X_ {1} \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma _ {1}, \ beta _ {1}, \ mu _ {1})}
X2∼Sα(σ2,β2,μ2){\ Displaystyle X_ {2} \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma _ {2}, \ beta _ {2}, \ mu _ {2})}
X1+X2∼Sα(σ,β,μ){\ Displaystyle X_ {1} + X_ {2} \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}![{\ Displaystyle X_ {1} + X_ {2} \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed4c45647d483ddd89a280253079d8d21c6f3df)
σ=(σ1α+σ2α)1/α,β=β1σ1α+β2σ2ασ1α+σ2α, i μ=μ1+μ2.{\ Displaystyle \ sigma = (\ sigma _ {1} ^ {\ alpha} + \ sigma _ {2} ^ {\ alpha}) ^ {1 / \ alpha}, \, \ beta = {\ Frac {\ beta _ {1} \ sigma _ {1} ^ {\ alpha} + \ beta _ {2} \ sigma _ {2} ^ {\ alpha}} {\ sigma _ {1} ^ {\ alpha} + \ sigma _ {2} ^ {\ alpha}}}, \, {\ text {and}} \ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2}.}![{\ Displaystyle \ sigma = (\ sigma _ {1} ^ {\ alpha} + \ sigma _ {2} ^ {\ alpha}) ^ {1 / \ alpha}, \, \ beta = {\ Frac {\ beta _ {1} \ sigma _ {1} ^ {\ alpha} + \ beta _ {2} \ sigma _ {2} ^ {\ alpha}} {\ sigma _ {1} ^ {\ alpha} + \ sigma _ {2} ^ {\ alpha}}}, \, {\ text {and}} \ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d02998c13fba6330a7068301b9a509c787dd64)
- Jeśli i wtedy .X∼Sα(σ,β,μ){\ Displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}
w∈R{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}
X+w∼Sα(σ,β,μ+w){\ Displaystyle X + a \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu + a)}![{\ Displaystyle X + a \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu + a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b046eff7e953986264e8897725cfb8bec486294f)
- Jeśli z , toX∼Sα(σ,β,μ){\ Displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}
α∈]0,2[{\ displaystyle \ alpha \ in] 0,2 [}![{\ displaystyle \ alpha \ in] 0,2 [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6cd39995d3332147c6019c880ea51f239256f3)
{limλ→∞λαP.(X>λ)=VSα1+β2σα,limλ→-∞λαP.(X<λ)=VSα1-β2σα,{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {tablica} {l} \ Displaystyle \ lim _ {\ lambda \ do \ infty} \ lambda ^ {\ alfa} \ mathbb {P} (X> \ lambda) = C_ { \ alpha} {\ Frac {1+ \ beta} {2}} \ sigma ^ {\ alpha}, \\\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to - \ infty} \ lambda ^ {\ alpha} \ mathbb { P} (X <\ lambda) = C _ {\ alpha} {\ frac {1- \ beta} {2}} \ sigma ^ {\ alpha}, \ end {array}} \ right.}![{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {tablica} {l} \ Displaystyle \ lim _ {\ lambda \ do \ infty} \ lambda ^ {\ alfa} \ mathbb {P} (X> \ lambda) = C_ { \ alpha} {\ Frac {1+ \ beta} {2}} \ sigma ^ {\ alpha}, \\\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to - \ infty} \ lambda ^ {\ alpha} \ mathbb { P} (X <\ lambda) = C _ {\ alpha} {\ frac {1- \ beta} {2}} \ sigma ^ {\ alpha}, \ end {array}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ffa0f43007d8ab6233d6ff99a31dca034332c8)
gdzie .
VSα=(∫0+∞x-αgrzechxrex)-1=2Γ(α)grzech(πα/2)π{\ Displaystyle C _ {\ alpha} = \ lewo (\ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {- \ alpha} \ sin x \, \ mathrm {d} x \ prawej) ^ {- 1 } = {\ frac {2 \ Gamma (\ alpha) \ sin (\ pi \ alpha / 2)} {\ pi}}}![{\ Displaystyle C _ {\ alpha} = \ lewo (\ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {- \ alpha} \ sin x \, \ mathrm {d} x \ prawej) ^ {- 1 } = {\ frac {2 \ Gamma (\ alpha) \ sin (\ pi \ alpha / 2)} {\ pi}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06be6024d665d1550171d2eaded57e842fb9ac8)
- Jeśli z , toX∼Sα(σ,β,μ){\ Displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, \ beta, \ mu)}
α∈(0,2){\ Displaystyle \ alpha \ in (0,2)}![{\ Displaystyle \ alpha \ in (0,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a552a4f799b3fd6cadde7a1fd1ba5a1293d1e73d)
{mi[|X|p]<+∞ gdyby p∈]0,α[,mi[|X|p]=+∞ gdyby p≥α.{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {tablica} {ll} \ mathbb {E} [| X | ^ {p}] <+ \ infty i {\ tekst {si}} p \ in] 0, \ alfa [, \\\ mathbb {E} [| X | ^ {p}] = + \ infty & {\ text {si}} p \ geq \ alpha. \ end {array}} \ right.}![{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {tablica} {ll} \ mathbb {E} [| X | ^ {p}] <+ \ infty i {\ tekst {si}} p \ in] 0, \ alfa [, \\\ mathbb {E} [| X | ^ {p}] = + \ infty & {\ text {si}} p \ geq \ alpha. \ end {array}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3abed70cf9c3bd47913191df9d1be1b8680da0a)
Obudowa symetryczna
Mówimy, że jest symetrycznie -stable jeśli jest -stable i zmiennych losowych i są identycznie rozmieszczone.
X{\ displaystyle X}
α{\ displaystyle \ alpha}
X{\ displaystyle X}
α{\ displaystyle \ alpha}
X{\ displaystyle X}
-X{\ displaystyle -X}![{\ displaystyle -X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b65f9a4b50bbd3fd4db90fb57f580b7e32b89e)
-
X{\ displaystyle X}
jest symetrycznie stabilny prawnie wtedy i tylko wtedy, gdy . Po prostu zauważamy w tym przypadku .α{\ displaystyle \ alpha}
X∼Sα(σ,0,0){\ Displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} (\ sigma, 0,0)}
X∼SαS(σ){\ Displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} S (\ sigma)}![{\ Displaystyle X \ sim S _ {\ alpha} S (\ sigma)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de92758f6a7fe01231995d05acdecdfd3b1de67d)
-
X{\ displaystyle X}
ma rozkład symetryczny - stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego funkcja charakterystyczna spełnia dla wszystkich równości , gdzie jest parametrem skali .α{\ displaystyle \ alpha}
θ∈R{\ displaystyle \ theta \ in \ mathbb {R}}
mi[mijaθX]=mi-σα|θ|α{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta X} \ prawej] = \ mathrm {e} ^ {- \ sigma ^ {\ alpha} | \ theta | ^ {\ alpha}}}
σ{\ displaystyle \ sigma}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Stabilny wektor losowy i złożona stabilna zmienna losowa
Stabilny wektor losowy
Mówimy, że losowy wektor z ma prawo stabilne , jeżeli spełnia jeden z następujących 2 równoważnych właściwościach:
X=(X1,...,Xre){\ Displaystyle X = (X_ {1}, \ kropki, X_ {d})}
Rre{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}![{\ mathbb {R}} ^ {d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a713426956296f1668fce772df3c60b9dde8a685)
- Dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich ściśle i istnieje ściśle pozytywną rzeczywiście oraz wektor z takie, że losowych wektorów i mają ten sam rozkład, gdzie i są niezależne kopie .W{\ displaystyle A}
b{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
re{\ displaystyle D}
Rre{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
WX(1)+bX(2){\ Displaystyle AX ^ {(1)} + BX ^ {(2)}}
VSX+re{\ displaystyle CX + D}
X(1){\ Displaystyle X ^ {(1)}}
X(2){\ Displaystyle X ^ {(2)}}
X{\ displaystyle X}![{\ displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Istnieje skończony środka na sferę of a wektorem takie, że funkcji charakterystycznej o weryfikuje, dla wszystkich ,Γ{\ displaystyle \ Gamma}
Sre{\ displaystyle S_ {d}}
Rre{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
μ0∈Rre{\ Displaystyle \ mu ^ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {d}}
X{\ displaystyle X}
(θ1,...,θre)∈Rre{\ Displaystyle (\ theta _ {1}, \ kropki, \ theta _ {d}) \ w \ mathbb {R} ^ {d}}![{\ Displaystyle (\ theta _ {1}, \ kropki, \ theta _ {d}) \ w \ mathbb {R} ^ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e812e392e29a7c6da642f910cd390f8911ee0f)
mi[exp(ja∑l=1reθlXl)]={exp{-∫Sre|⟨θ,s⟩|α(1-jasgn(⟨θ,s⟩)dębnikπα2))Γ(res)+ja(θ,μ0)} gdyby α≠1,exp{-∫Sre|⟨θ,s⟩|(1+ja2πsgn(⟨θ,s⟩)ln|⟨θ,s⟩|)Γ(res)+ja(θ,μ0)} gdyby α=1,{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [\ exp \ lewo (\ mathrm {i} \ suma _ {l = 1} ^ {d} \ theta _ {l} X_ {l} \ prawo) \ w prawo] = \ left \ {{\ begin {array} {lc} \ exp \ left \ {- \ int _ {S_ {d}} | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | ^ {\ alpha} \ left (1- \ mathrm {i} \ nazwa operatora {sgn} (\! \ Langle \ theta, s \ rangle \!) \ Tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}}) \ right) \ Gamma (\ mathrm {d} s) + \ mathrm {i} (\ theta, \ mu ^ {0}) \ right \} & {\ text {si}} \ alpha \ neq 1, \\\\\ exp \ left \ {- \ int _ {S_ {d}} | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | \ left (1+ \ mathrm {i} {\ frac {2} {\ pi}} \ operatorname {sgn } (\! \ langle \ theta, s \ rangle \!) \ ln | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | \ right) \ Gamma (\ mathrm {d} s) + \ mathrm {i} (\ theta, \ mu ^ {0}) \ right \} & {\ text {si}} \ alpha = 1, \ end {array}} \ right.}![{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [\ exp \ lewo (\ mathrm {i} \ suma _ {l = 1} ^ {d} \ theta _ {l} X_ {l} \ prawo) \ w prawo] = \ left \ {{\ begin {array} {lc} \ exp \ left \ {- \ int _ {S_ {d}} | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | ^ {\ alpha} \ left (1- \ mathrm {i} \ nazwa operatora {sgn} (\! \ Langle \ theta, s \ rangle \!) \ Tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}}) \ right) \ Gamma (\ mathrm {d} s) + \ mathrm {i} (\ theta, \ mu ^ {0}) \ right \} & {\ text {si}} \ alpha \ neq 1, \\\\\ exp \ left \ {- \ int _ {S_ {d}} | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | \ left (1+ \ mathrm {i} {\ frac {2} {\ pi}} \ operatorname {sgn } (\! \ langle \ theta, s \ rangle \!) \ ln | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | \ right) \ Gamma (\ mathrm {d} s) + \ mathrm {i} (\ theta, \ mu ^ {0}) \ right \} & {\ text {si}} \ alpha = 1, \ end {array}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb782376369aceaf2f9836de2522c4adc1845f6)
gdzie jest klasyczny iloczyn skalarny .⟨⋅,⋅⟩{\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}
Rre{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}![{\ mathbb {R}} ^ {d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a713426956296f1668fce772df3c60b9dde8a685)
Uwagi :
- Ta para jest wyjątkowa.(Γ,μ0){\ Displaystyle (\ Gamma, \ mu ^ {0})}
![{\ Displaystyle (\ Gamma, \ mu ^ {0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408196727395dcb215da84f544d22844962f9136)
- Prawdziwy nazywany jest parametr stabilności z .α{\ displaystyle \ alpha}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Współczynniki , i są związane zależnością .W{\ displaystyle A}
b{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
VSα=Wα+bα{\ Displaystyle C ^ {\ alfa} = A ^ {\ alfa} + B ^ {\ alfa}}![{\ Displaystyle C ^ {\ alfa} = A ^ {\ alfa} + B ^ {\ alfa}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e78d33f857b130e72743aca222888c90d181975)
- Mówimy, że jest symetrycznie -stable jeśli jest -stable i zmiennych losowych i są identycznie rozmieszczone. W tym przypadku, jego funkcja charakterystyczna jest podana, za wszystko , przez .X{\ displaystyle X}
α{\ displaystyle \ alpha}
X{\ displaystyle X}
α{\ displaystyle \ alpha}
X{\ displaystyle X}
-X{\ displaystyle -X}
(θ1,...,θre)∈Rre{\ Displaystyle (\ theta _ {1}, \ kropki, \ theta _ {d}) \ w \ mathbb {R} ^ {d}}
mi[exp(ja∑l=1reθlXl)]=exp{-∫Sre|⟨θ,s⟩|αΓ(res)}{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [\ exp \ lewo (\ mathrm {i} \ suma _ {l = 1} ^ {d} \ theta _ {l} X_ {l} \ prawo) \ w prawo] = \ exp \ left \ {- \ int _ {S_ {d}} | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | ^ {\ alpha} \ Gamma (\ mathrm {d} s) \ right \}}![{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [\ exp \ lewo (\ mathrm {i} \ suma _ {l = 1} ^ {d} \ theta _ {l} X_ {l} \ prawo) \ w prawo] = \ exp \ left \ {- \ int _ {S_ {d}} | \! \ langle \ theta, s \ rangle \! | ^ {\ alpha} \ Gamma (\ mathrm {d} s) \ right \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9af2cbea18d2fd3747758f05a08de3b0f0cf14)
Własności stabilnych wektorów losowych
- Jeśli wektor jest -stabilny, to dla wszystkich liczb rzeczywistych rzeczywistą zmienną losową jest -stabilna.X=(X1,...,Xre){\ Displaystyle X = (X_ {1}, \ kropki, X_ {d})}
α{\ displaystyle \ alpha}
b1,...,bre{\ displaystyle b_ {1}, \ kropki, b_ {d}}
∑l=1reblXl{\ displaystyle \ sum _ {l = 1} ^ {d} b_ {l} X_ {l}}
α{\ displaystyle \ alpha}![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
- Jeśli i dla wszystkich liczb rzeczywistych zmienna losowa jest -stabilna, to wektor jest -stabilny.α∈[1,2]{\ displaystyle \ alpha \ in [1,2]}
b1,...,bre{\ displaystyle b_ {1}, \ kropki, b_ {d}}
∑l=1reblXl{\ displaystyle \ sum _ {l = 1} ^ {d} b_ {l} X_ {l}}
α{\ displaystyle \ alpha}
X=(X1,...,Xre){\ Displaystyle X = (X_ {1}, \ kropki, X_ {d})}
α{\ displaystyle \ alpha}![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
- Jeśli dla wszystkich liczb rzeczywistych rzeczywista zmienna losowa jest symetryczna -stabilna, to wektor jest symetryczny -stabilny.b1,...,bre{\ displaystyle b_ {1}, \ kropki, b_ {d}}
∑l=1reblXl{\ displaystyle \ sum _ {l = 1} ^ {d} b_ {l} X_ {l}}
α{\ displaystyle \ alpha}
X=(X1,...,Xre){\ Displaystyle X = (X_ {1}, \ kropki, X_ {d})}
α{\ displaystyle \ alpha}![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
Złożona stabilna zmienna losowa
Mówimy, że kompleks zmienna losowaZ=X+jaY{\ displaystyle Z = X + \ mathrm {i} Y}
ma -stable prawo , jeżeli wektor o to -stable.
α{\ displaystyle \ alpha}
(X,Y){\ displaystyle (X, Y)}
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
α{\ displaystyle \ alpha}![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
Mówimy także, że prawo jest izotropowy , jeżeli dla wszystkich , zmienne losowe i są identycznie rozmieszczone. W tym przypadku, funkcja sprawdza charakterystyczne dla wszystkich kompleks , gdzie jest dodatni realny zwany parametr skali od .
Z{\ displaystyle Z}
ϕ∈[0,2π[{\ Displaystyle \ phi \ in [0,2 \ pi [}]
mijaϕZ{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi} Z}
Z{\ displaystyle Z}
θ=θ1+jaθ2{\ displaystyle \ theta = \ theta _ {1} + \ mathrm {i} \ theta _ {2}}
mi[mija(θ1X1+θ1X1)]=mi-σα|θ|α{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ theta _ {1} X_ {1} + \ theta _ {1} X_ {1})} \ prawej] = \ mathrm {e} ^ {- \ sigma ^ {\ alpha} | \ theta | ^ {\ alpha}}}
σ{\ displaystyle \ sigma}
Z{\ displaystyle Z}![Z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd)
Szeregowe przedstawienie LePage
Prawdziwa symetryczna obudowa
Albo . Pozujemy . Niech i będą dwoma wzajemnie niezależnymi procesami zmiennych losowych zdefiniowanych w tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa, spełniającymi następujące właściwości:
α∈]0,2[{\ displaystyle \ alpha \ in] 0,2 [}
w(α)=(∫0+∞x-αgrzech(x)rex)-1/α{\ Displaystyle a (\ alfa) = \ lewo (\ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {- \ alpha} \ sin (x) \, \ mathrm {d} x \ prawej) ^ {- 1 / \ alpha}}
{Γm:m∈NIE}{\ displaystyle \ {\ Gamma _ {m.}: m \ in \ mathbb {N} \}}
{Zm:m∈NIE}{\ displaystyle \ {Z_ {m.}: m \ in \ mathbb {N} \}}
(Ω,sol,P.){\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {G}}, \ mathbb {P})}![{\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {G}}, \ mathbb {P})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0ab0f17d02f01743326e0ccfed9d34318c4d21)
- ,, czasy nadejścia procesu Poissona intensywności 1; to znaczy dla wszystkich mamy , gdzie jest ciągiem niezależnych wykładniczych zmiennych losowych z parametrem 1.Γm{\ displaystyle \ Gamma _ {m.}}
m∈NIE{\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}
m∈NIE{\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}
Γm=∑nie=1mνnie{\ Displaystyle \ Gamma _ {m} = \ suma _ {n = 1} ^ {m} \ nu _ {n}}
(νnie)nie∈NIE{\ Displaystyle (\ nu _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}![{\ Displaystyle (\ nu _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec29d0e86977dcdc4b1ff59395e70aa2d5abb67c)
- , Są rzeczywiste, symetryczne, niezależne, identycznie rozmieszczone i weryfikacji zmiennych losowych .Zm{\ displaystyle Z_ {m.}}
m∈NIE{\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}
mi[|Zm|α]<+∞{\ Displaystyle \ mathbb {E} [| Z_ {m.} | ^ {\ alfa}] <+ \ infty}![{\ Displaystyle \ mathbb {E} [| Z_ {m.} | ^ {\ alfa}] <+ \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b0998a04f27488523a4085ed86852f6f0c1b3)
Więc seria prawie na pewno jest zbieżna. Co więcej, ma symetryczno- stabilne prawo, a jego parametr skali spełnia .
∑m=1+∞ZmΓm-1/α{\ Displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {+ \ infty} Z_ {m} \ Gamma _ {m} ^ {- 1 / \ alfa}}
α{\ displaystyle \ alpha}
σ{\ displaystyle \ sigma}
σ=w(α)-1(mi[|Z1|α])1/α{\ Displaystyle \ sigma = a (\ alfa) ^ {- 1} \ lewo (\ mathbb {E} [| Z_ {1} | ^ {\ alfa}] \ prawej) ^ {1 / \ alfa}}![{\ Displaystyle \ sigma = a (\ alfa) ^ {- 1} \ lewo (\ mathbb {E} [| Z_ {1} | ^ {\ alfa}] \ prawej) ^ {1 / \ alfa}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05d3d3235f25d8c6f3289d080cdfee76b77a37f)
Złożony przypadek izotropowy
Albo . Pozujemy . Niech i będą dwoma wzajemnie niezależnymi procesami zmiennych losowych zdefiniowanych w tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa, spełniającymi następujące właściwości:
α∈]0,2[{\ displaystyle \ alpha \ in] 0,2 [}
w(α)=(∫0+∞x-αgrzech(x)rex)-1/α{\ Displaystyle a (\ alfa) = \ lewo (\ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {- \ alpha} \ sin (x) \, \ mathrm {d} x \ prawej) ^ {- 1 / \ alpha}}
{Γm:m∈NIE}{\ displaystyle \ {\ Gamma _ {m.}: m \ in \ mathbb {N} \}}
{Zm:m∈NIE}{\ displaystyle \ {Z_ {m.}: m \ in \ mathbb {N} \}}
(Ω,sol,P.){\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {G}}, \ mathbb {P})}![{\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {G}}, \ mathbb {P})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0ab0f17d02f01743326e0ccfed9d34318c4d21)
- ,, czasy nadejścia procesu Poissona intensywności 1.Γm{\ displaystyle \ Gamma _ {m.}}
m∈NIE{\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}![{\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42411e85d874a733209223302bbd8d5e3ad04cb0)
- , Są złożone zmienne losowe, izotropowe, niezależne, identycznie rozmieszczone oraz sprawdzenie , który oznacza część rzeczywistą .Zm{\ displaystyle Z_ {m.}}
m∈NIE{\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}
mi[|Re(Zm)|α]<+∞{\ Displaystyle \ mathbb {E} [| {\ tekst {Re}} (Z_ {m.}) | ^ {\ alfa}] <+ \ infty}
Re(Zm){\ displaystyle {\ text {Re}} (Z_ {m.})}
Zm{\ displaystyle Z_ {m.}}![{\ displaystyle Z_ {m.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7fc46c5360f0c7676ea0ef8fcfe2e272bc6a04)
Więc seria prawie na pewno jest zbieżna. Ponadto ma stabilne prawo izotropowe , a jego parametr skali spełnia .
∑m=1+∞ZmΓm-1/α{\ Displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {+ \ infty} Z_ {m} \ Gamma _ {m} ^ {- 1 / \ alfa}}
α{\ displaystyle \ alpha}
σ{\ displaystyle \ sigma}
σ=w(α)-1(mi[|Re(Z1)|α])1/α{\ Displaystyle \ sigma = a (\ alfa) ^ {- 1} \ lewo (\ mathbb {E} [| {{\ tekst {Re}} (Z_ {1}) |} ^ {\ alfa}] \ prawej ) ^ {1 / \ alpha}}![{\ Displaystyle \ sigma = a (\ alfa) ^ {- 1} \ lewo (\ mathbb {E} [| {{\ tekst {Re}} (Z_ {1}) |} ^ {\ alfa}] \ prawej ) ^ {1 / \ alpha}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1621bc51d59e44807cb43dc2ba27c390de9fbfe3)
Powiązania z innymi przepisami
W szczególnych przypadkach ma:
- Prawo Levy'ego (parametry α = 1/2 i p = 1), zdefiniowany przez wyraźnego wzoru analitycznej.
- Prawo normalne (parametr α = 2), określone przez jawną formułę analityczną.
- Rozkład Cauchy'ego (parametr α = 1) określony jawnym wzorem analitycznym.
Gnedenko i Kołmogorow ustalili uogólnienie centralnego twierdzenia granicznego, zgodnie z którym suma zmiennych losowych o ogonach rozkładu maleje zgodnie z 1 / | x | α + 1 z 0 <α <2 (stąd nieskończona wariancja) dąży do stabilnego prawa z parametrem α.
Bibliografia
-
(in) Samorodnitsky, G. i Taqqu, MS, Stable Non-Gaussian Random Processes. Modele stochastyczne z nieskończoną wariancją , Nowy Jork, Chapman and Hall, Londyn,1994, 632 s. ( ISBN 0-412-05171-0 )
-
(w :) Marcus, MB i Pisier, G., „ Characterizations of Almost Surely Continuous p-steady random Fourier series and Strongly stacjonarne procesy ” , Acta Math. ,1984, s. 245-301
-
(w) Kono, N. i Maejima, M., " Ciągłość Höldera przykładowych ścieżek niektórych stałych procesów samopodobnych " , Tokyo Journal of Mathematics ,1991, s. 93-100
-
Gnedenko, Boris Vladimirov. , Rozkłady graniczne dla sum niezależnych zmiennych losowych , Addison-Wesley Pub. Współ,1954( OCLC 859841311 , czytaj online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">