Diagram Hassego
W matematyce , schemat Hasse , nazwany na cześć niemieckiego matematyka Helmut Hasse , to wizualna reprezentacja skończonej kolejności. Podobnie jak zwykłe przedstawienie wykresu na papierze, ułatwia zrozumienie.
Na diagramie Hassego:
- Uporządkowane elementy są oznaczone kropkami.
- Relacja między dwoma elementami jest reprezentowana przez odcinek między dwoma punktami.
- Jeśli element x jest ≤ innego elementu y , to punkt reprezentujący x jest umieszczony niżej niż punkt dla y . Zatem segmenty nie muszą być oznaczone strzałkami, aby opisać ich orientację.
- Aby uniknąć przeciążenia diagramu, nie wszystkie możliwe relacje kolejności są reprezentowane. Ograniczają się do przechodniejszej redukcji refleksyjnej:
- Gdy x <y , jeśli istnieje z takie, że x <z <y , to żaden segment nie powinien łączyć x z y .
- Pętle od elementu do samego siebie nie są wyświetlane.
- Dokładamy wszelkich starań, aby nie przekraczać segmentów.
Zauważ, że w przypadku nieskończonego porządku nadal możemy używać diagramu Hassego i reprezentować skończone ograniczenie porządku.
Przykłady diagramów Hassego
- Uporządkowany zbiór jedenastu elementów, którego trzy maksima to trzy górne granice, a element minimum to zarówno unikalna dolna granica, jak i dolna granica zbioru.
- Dla zbioru dzielników 60, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, uporządkowanych przez relację podzielności, otrzymujemy wykres Hassego następujący:
- Zbiór S = A ∪ B ∪ C ∪ D, gdzie A, B, C i D są czworaczkami booleanów reprezentujących możliwe kombinacje części S, takie, że
B = { 0100 = {b}, 1100 = {a, b}, 0110 = {b, c}, 0101 = {b, d}, 1110 = {a, b, c}, 1101 = {a, b, d}, 0111 = {b, c, d}, 1111 = {a, b, c, d}}
C = { 0010 = {c}, 1010 = {a, c}, 0110 = {b, c}, 0011 = {c, d}, 1110 = {a, b, c}, 1011 = {a, c, d}, 0111 = {b, c, d}, 1111 = {a, b, c, d}}
D = { 0001 = {d}, 1001 = {a, d}, 0101 = {b, d}, 0011 = {c, d}, 1101 = {a, b, d}, 1011 = {a, c, d}, 0111 = {b, c, d}, 1111 = {a, b, c, d}} S = { 0000 = {}, 1000 = {a}, 0100 = {b}, 0010 = {c}, 0001 = {d}, 1100 = {a, b}, 1010 = {a, c}, 1001 = {a, d}, 0110 = {b, c}, 0101 = {b, d}, 0011 = {c, d}, 1110 = {a, b, c}, 1101 = {a, b, d}, 1011 = {a, c, d}, 0111 = {b, c, d}, 1111 = {a, b, c, d}}
Zatem z szesnastu czworaczków uporządkowanych przez relację inkluzji otrzymujemy następujący diagram Hassego:
 |
 |
 |
|
Wszystkie te cztery cyfry przedstawiają ten sam diagram Hassego, ale pod różnymi aspektami, aby pokazać różne właściwości:
- Pierwszy diagram ilustruje fakt, że zbiór części ( S ) jest częściowo uporządkowanym zbiorem stopniowanym: rząd każdego elementu (części S ) odpowiada jego wysokości na schemacie;
- Drugi diagram również uwzględnia tę zgodność między rzędem a wysokością, ale dodaje do niej, rozciągając pewne krawędzie, wzmocnienie tesseraktu jako sumy dwóch sześcianów (interpretując logiczne czworaczki jako współrzędne w wymiarze 4, z których każda odpowiada górnej części hipersześcian);
- Trzeci diagram podkreśla wewnętrzną symetrię konstrukcji;
- Czwarty diagram przedstawia wierzchołki ułożone analogicznie do współczynników macierzy kwadratowej rzędu 4.