Schemat Bodego

Schemat Bode jest sposób reprezentować częstotliwość odpowiedzi systemu, a zwłaszcza elektroniczny .

Hendrik Wade Bode z Bell Laboratories zaproponował ten schemat do prostego graficznego badania serwomechanizmu i sprzężenia zwrotnego w urządzeniu elektronicznym . Pozwala na szybką wizualizację marginesu wzmocnienia, marginesu fazy, ciągłego wzmocnienia, szerokości pasma , tłumienia zakłóceń i stabilności systemu z funkcji transferu .

Definicja

Schemat Bode systemu odpowiedzi częstotliwościowej składa się z dwóch wykresów: T(jotω) {\ Displaystyle T (j \ omega) \}

• zysk (lub amplitudy) w decybelach (dB). Jego wartość jest obliczana z .20log10⁡(|T(jotω)|) {\ Displaystyle 20 \ log _ {10} {(| T (j \ omega) |)} \}
• fazy w stopniach, podanycharg⁡(T(jotω)) {\ Displaystyle \ arg {(T (j \ omega))} \}

Skala impulsu jest logarytmiczna i wyrażona w rad / s (radianach na sekundę). Skala logarytmiczna pozwala na bardzo czytelny wykres, ponieważ jest zbudowany z odcinków linii prostej .

Asymptotyczny wykres układów analogowych

Weźmy dowolną funkcję przenoszenia, która jest zapisana w następujący sposób:

H.(p)=αpq∏k=1K.(1+2ξkpωk+(pωk)2)∏l=1L(1+pωl)∏m=1M(1+2ξmpωm+(pωm)2)∏nie=1NIE(1+pωnie){\ Displaystyle H (p) = \ alfa p ^ {q} {\ Frac {\ prod _ {k = 1} ^ {K} \ lewo (1 + 2 \ xi _ {k} {\ Frac {p} { \ omega _ {k}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {k}}} \ right) ^ {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ {L} \ left (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {l}}} \ right)} {\ prod _ {m = 1} ^ {M} \ left (1 + 2 \ xi _ {m} {\ frac {p} {\ omega _ {m.}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {m}}} \ right) ^ {2} \ right) \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ left (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {n}}} \ right)}}}

lub α∈R ; q∈Z ; ωk,ωl,ωm,ωnie∈R∗ ; ξk,ξm∈R {\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} \; \ q \ in \ mathbb {Z} \; \ \ omega _ {k}, \ omega _ {l}, \ omega _ {m}, \ omega _ {n} \ in \ mathbb {R} ^ {*} \; \ \ xi _ {k}, \ xi _ {m} \ in \ mathbb {R} \}

Chociaż funkcję transferu można zapisać na kilka sposobów, należy je zapisać w sposób opisany powyżej:

• stałe wyrazy elementarnych wielomianów pierwszego i drugiego stopnia muszą być ważne . Aby to zrobić, użyj stałej .1{\ displaystyle 1}α{\ displaystyle \ alpha}
• Wyrazy w elementarnych wielomianach pierwszego i drugiego stopnia muszą znajdować się w liczniku. (patrz przepisanie funkcji High Pass poniżej)p{\ displaystyle p}

Zauważ, że moduł jest równy sumie modułów składników elementarnych ze względu na logarytm . To samo dotyczy fazy, tym razem z powodu funkcji argumentu. Dlatego początkowo będziemy interesować się diagramami Bode'a terminów elementarnych. H.(p) {\ Displaystyle H (p) \}

Systemy pierwszego rzędu

Dolnoprzepustowy

• Definicja

Albo funkcja przenoszenia:

H.(p)=11+pω0 {\ Displaystyle H (p) = {\ Frac {1} {1 + {\ Frac {p} {\ omega _ {0}}}}} \}

Impuls nazywany jest impulsem odcięcia . ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}

• Działka asymptotyczna

Dla zatem i . ω≪ω0, H.(jotω)≈1 {\ Displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0}, \ H (j \ omega) \ około 1 \}|H.reb(jotω)|=0 {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = 0 \}arg⁡(H.(jotω))=0∘ {\ Displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = 0 ^ {\ Circ} \}

Dla zatem i . ω≫ω0, H.(jotω)≈-jotω0ω {\ Displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {0}, \ H (j \ omega) \ około -j {\ Frac {\ omega _ {0}} {\ omega}} \}|H.reb(jotω)|=-20log10⁡(ω)+20log10⁡(ω0) {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = -20 \ log _ {10} (\ omega) +20 \ log _ {10} (\ omega _ {0}) \}arg⁡(H.(jotω))=-90∘ {\ Displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = - 90 ^ {\ Circ} \}

W logarytmicznej wartości odniesienia daje nachylenie -20 dB / dekadę lub nawet -6 dB / oktawę . Mówimy również o nachyleniu -1. Asymptotyczny diagram Bode'a dla modułu sprowadza się zatem do dwóch liniowych odcinków. |H.reb(jotω)| {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | \}

• Prawdziwy utwór

in , lub  : krzywa przechodzi 3 dB poniżej punktu odcięcia. ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}H.(jotω0)=11+jot{\ Displaystyle H (j \ omega _ {0}) = {\ Frac {1} {1 + j}}}|H.reb(jotω0)|=-20log10⁡(2)=-10log10⁡(2){\ Displaystyle | H_ {db} (j \ omega _ {0}) | = -20 \ log _ {10} ({\ sqrt {2}}) = - 10 \ log _ {10} (2)}

Wysokie przejście

Albo funkcja przenoszenia:

H.(p)=11+ω0p=pω01+pω0{\ Displaystyle H (p) = {\ Frac {1} {1 + {\ Frac {\ omega _ {0}} {p}}}} = {\ Frac {\ Frac {p} {\ omega _ {0} }}} {1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}}}}}

Wykres uzyskuje się przyjmując przeciwieństwo modułu w dB i fazy dolnoprzepustowej.

Systemy drugiego rzędu

Dolnoprzepustowy

• Definicja

System drugiego rzędu typu dolnoprzepustowego charakteryzuje się funkcją przenoszenia typu:

H.(p)=H.01+2ξpω0+(pω0)2 {\ Displaystyle H (p) = {\ Frac {H_ {0}} {1 + 2 \ xi {\ Frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ lewo ({\ Frac {p} {\ omega _ {0}}} \ right) ^ {2}}} \}

H.0{\ displaystyle H_ {0}}to zysk statyczny. Pulsacja nazywana jest pulsacją właściwą i jest tłumieniem. ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}ξ {\ displaystyle \ xi \}

• Wykres asymptotyczny i krzywa rzeczywista

W tej części przyjmuje się, że wzmocnienie statyczne jest równe 1. Asymptotyczny układ zależy od wartości tłumienia. Istnieją trzy przypadki: H.0{\ displaystyle H_ {0}}

• ξ >1{\ displaystyle \ xi \> 1}

Bieguny funkcji przenoszenia są prawdziwe (i ujemny dla stabilności) oraz systemu jest podzielona na produkt dwóch funkcji transferowych na 1 st  ordre.Soit i rzeczywistych bieguny funkcji przenoszenia: p1{\ displaystyle p_ {1}}p2{\ displaystyle p_ {2}}

H.(p)=11+2ξpω0+(pω0)2=1(1-pp1)(1-pp2){\ Displaystyle H (p) = {\ Frac {1} {1 + 2 \ xi {\ Frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ lewo ({\ Frac {p} {\ omega _ { 0}}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {p} {p_ {1}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {p} {p_ {2}}} \ right)}}}

• ξ =1{\ displaystyle \ xi \ = 1}

Bieguny są rzeczywiste, ujemne i równe (dwubiegunowe). Jeśli jest podwójnym biegunem funkcji transferu, otrzymujemy: p0{\ displaystyle p_ {0}}

H.(p)=11+2ξpω0+(pω0)2=1(1+pω0)2{\ Displaystyle H (p) = {\ Frac {1} {1 + 2 \ xi {\ Frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ lewo ({\ Frac {p} {\ omega _ { 0}}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ right) ^ {2}}} }

Dla zatem i . ω≪ω0 H.(jotω)≈1 {\ Displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0} \ H (j \ omega) \ około 1 \}|H.reb(jotω)|=0 {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = 0 \}arg⁡(H.(jotω))=0∘ {\ Displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = 0 ^ {\ Circ} \}

Dla zatem i . ω≫ω0 |H.(jotω)|≈(ω0ω)2 {\ Displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {0} \ | H (j \ omega) | \ ok \ lewo ({\ Frac {\ omega _ {0}} {\ omega}} \ prawej) ^ {2} \}|H.reb(jotω)|=-40log10⁡(ω)+40log10⁡(ω0) {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = -40 \ log _ {10} (\ omega) +40 \ log _ {10} (\ omega _ {0}) \}arg⁡(H.(jotω))=-180∘×sjasolniemi(ω0ξ)⁡ {\ Displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = - 180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {znak (\ omega _ {0} \ xi)} \}

W logarytmicznym benchmarku daje nachylenie -40 dB / dekadę lub nawet -12 dB / oktawę . Mówimy również o nachyleniu -2. Asymptotyczny diagram Bode'a dla modułu sprowadza się zatem do dwóch liniowych odcinków. |H.reb(jotω)| {\ Displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | \}

• ξ <1{\ displaystyle \ xi \ <1}

Schemat asymptotyczny jest taki sam jak w poprzednim przypadku. Bieguny funkcji przenoszenia są złożone i sprzężone, z ujemną częścią rzeczywistą. Kiedy system wykazuje rezonans. Maksymalna modułu funkcja przenoszenia jest wówczas w . Dlatego impuls odpowiadający maksimum jest zawsze mniejszy niż . ξ<22 {\ displaystyle \ xi <{\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \}|H.(jotω)|mwx=12ξ1-ξ2 {\ Displaystyle | H (j \ omega) | _ {max} = {\ Frac {1} {2 \ xi {\ sqrt {1- \ xi ^ {2}}}}} \}ωR=ω01-2ξ2 {\ Displaystyle \ omega _ {R} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1-2 \ xi ^ {2}}} \}ωR{\ displaystyle \ omega _ {R}}ω0{\ displaystyle \ omega _ {0}}

Wysokie przejście H.(p)=(pω0)21+2ξpω0+(pω0)2 {\ Displaystyle H (p) = {\ Frac {({\ Frac {p} {\ omega _ {0}}}) ^ {2}} {1 + 2 \ xi {\ Frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ left ({\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ right) ^ {2}}} \}

Wykres uzyskuje się przyjmując przeciwieństwo modułu w dB i fazy dolnoprzepustowej.

Wracając do przypadku ogólnego

Jak wskazaliśmy powyżej, możemy dodać wszystkie diagramy Bode'a składników elementarnych, aby otrzymać diagram funkcji transferu . H.(p) {\ Displaystyle H (p) \}

Jednak gdy ta funkcja przenoszenia jest skomplikowana, łatwiej jest wziąć pod uwagę składki każdego składnika w miarę wzrostu impulsu . ω {\ displaystyle \ omega \}

Na początku, gdy asymptotą modułu jest linia nachylenia q (q * 20 dB / dekada), a faza jest stała przy . Następnie, po każdym napotkaniu pulsacji, wykres jest modyfikowany zgodnie z następującą procedurą: ω→0 {\ displaystyle \ omega \ rightarrow 0 \}q×90∘ {\ displaystyle q \ times 90 ^ {\ circ} \}

• Bo dodajemy +2 do nachylenia modułu (+40 dB / dekadę) i do fazy.ω=ωk {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {k} \}180∘×sjasolniemi(ωkξk)⁡ {\ displaystyle 180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {znak (\ omega _ {k} \ xi _ {k})} \}
• Bo dodajemy +1 do nachylenia modułu (+20 dB / dekadę) i do fazy.ω=ωl {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {l} \}90∘×sjasolniemi(ωl)⁡ {\ displaystyle 90 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {znak (\ omega _ {l})} \}
• Ponieważ dodajemy -2 do nachylenia modułu (-40 dB / dekadę) i do fazy.ω=ωm {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {m.} \}-180∘×sjasolniemi(ωmξm)⁡ {\ Displaystyle -180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {znak (\ omega _ {m} \ xi _ {m})} \}
• Bo dodajemy -1 do nachylenia modułu (-20 dB / dekadę) i do fazy.ω=ωnie {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {n} \}-90∘×sjasolniemi(ωnie)⁡ {\ Displaystyle -90 ^ {\ Cir} \ razy \ nazwa operatora {znak (\ omega _ {n})} \}

Plotowanie systemów cyfrowych

Ograniczenie zakresu pulsacji

Tym razem mamy funkcję przenoszenia systemu dyskretnego. sol(z)=Z{sol(nie)} {\ Displaystyle G (z) = {\ mathcal {Z}} \ {g (n) \} \}

Aby otrzymać diagram Bode'a, musimy ocenić funkcję na okręgu jednostkowym.

Innymi słowy, z (otrzymujemy pełne koło przez symetrię). z=mi2πjotν {\ Displaystyle z = e ^ {2 \ pi j \ nu} \}ν∈[0;12]{\ Displaystyle \ nu \ in \ lewo [0; {\ Frac {1} {2}} \ prawo]}

Jeśli układ dyskretny został uzyskany z próbkowania w okresie T układu ciągłego, to z . z=mijotωT {\ displaystyle z = e ^ {j \ omega T} \}ω∈[0;πT]{\ Displaystyle \ omega \ in \ lewo [0; {\ Frac {\ pi} {T}} \ prawo]}

Ponadto stosunki i nie są racjonalne w . W konsekwencji badanie trasy jest skomplikowane i wymaga zasobów komputera. |sol(z)|z=mi2πjotν {\ Displaystyle | G (z) | _ {Z = e ^ {2 \ pi j \ nu}} \}wrsol(sol(z)z=mi2πjotν)⁡ {\ displaystyle \ operatorname {arg (G (z) _ {z = e ^ {2 \ pi j \ nu}})} \}ν {\ displaystyle \ nu \}

Transformacja dwuliniowa

Istnieje jednak aplikacja pozwalająca zredukować do przypadku ciągłego:

z=2T+w2T-w {\ Displaystyle Z = {\ Frac {{\ Frac {2} {T}} + w} {{\ Frac {2} {T}} - w}} \}

lub funkcja odwrotna w=2Tz-1z+1 {\ Displaystyle w = {\ Frac {2} {T}} {\ Frac {Z-1} {Z + 1}} \}

To jest przemiana Möbiusa .

Przekształcenie to powoduje, że urojona oś domeny ciągłej koresponduje z okręgiem jednostkowym

domeny dyskretnej z : w istocie przez pozowanie , który jest kompleksem podzielonym przez jego sprzężenie, a więc o module 1. Jest również zapisany , dlatego argument de jest połowa modulo  : argumentem . w=jotΩ {\ Displaystyle w = j \ Omega \}z=mijotωT {\ displaystyle z = e ^ {j \ omega T} \}ω=2Twrvstwnie(TΩ2)⁡ {\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {2} {T}} \ nazwa operatora {arctan \ lewo ({\ Frac {T \ Omega} {2}} \ prawo)} \}Z=2T+jotΩ{\ Displaystyle Z = {\ Frac {2} {T}} + j \ Omega}z=2T+jotΩ2T-jotΩ=ZZ∗ {\ Displaystyle Z = {\ Frac {{\ Frac {2} {T}} + j \ Omega} {{\ Frac {2} {T}} - j \ Omega}} = {\ Frac {Z} {Z ^ {*}}} \}z=Z2|Z|2 {\ Displaystyle Z = {\ Frac {Z ^ {2}} {| Z | ^ {2}}} \}Z {\ displaystyle Z \}z {\ displaystyle z \}π {\ displaystyle \ pi \}wrsol(Z)≡wrvstwnie(Ω2T)⁡ [π]≡12ωT [π]{\ displaystyle \ operatorname {arg (Z)} \ equiv \ operatorname {arctan \ left ({\ Frac {\ Omega} {\ Frac {2} {T}}} \ right)} \ [\ pi] \ equiv { \ frac {1} {2}} \ omega T \ [\ pi]}

Teraz, kiedy mamy , w którym to przypadku znajdujemy się w ciągłym przypadku racjonalnego ułamka do zbadania. Następnie możemy wrócić do klasycznego badania systemów analogowych, wiedząc, że wartości diagramu w pobliżu są skażone błędem. ωT≪1{\ displaystyle \ omega T \ ll 1}ω≈Ω {\ Displaystyle \ omega \ ok \ Omega \}ω∈[0;πT]{\ Displaystyle \ omega \ in \ lewo [0; {\ Frac {\ pi} {T}} \ prawo]}ω=πT {\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {\ pi} {T}} \}

Zobacz też

• Cybernetyka
• Filtr dolnoprzepustowy
• Filtr górnoprzepustowy
• Schemat Blacka
• Diagram Nyquista

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">