Diagram Eulera jest sposobem reprezentacji schematycznych z zestawów i relacji wewnątrz nich. Pierwsze użycie „kręgów Eulera” jest powszechnie przypisywane szwajcarskiemu matematykowi Leonhardowi Eulerowi (1707-1783). Są ściśle związane z diagramami Venna .
Diagramy Venna i Eulera zostały włączone do nauczania teorii mnogości we współczesnej matematyce w latach sześćdziesiątych XX w. Od tego czasu zostały również przyjęte w innych obszarach programu nauczania, takich jak czytanie.
Diagramy Eulera składają się z prostych zamkniętych krzywych (zwykle okręgów ) na płaszczyźnie reprezentującej zbiory . Rozmiary lub kształty krzywych nie są ważne: znaczenie diagramu polega na sposobie, w jaki okręgi nakładają się na siebie. Relacje przestrzenne między regionami wyznaczonymi przez każdą krzywą odpowiadają teoretycznym relacjom ze zbiorami ( przecięcie , podzbiory i dysjunkcja).
Każda krzywa Eulera dzieli płaszczyznę na dwa obszary lub „strefy”: wewnętrzną, która symbolicznie reprezentuje elementy zawarte w zestawie, oraz zewnętrzną, która reprezentuje wszystkie elementy, które nie są członkami całości. Krzywe, których wewnętrzne strefy nie przecinają się, reprezentują rozłączne zbiory . Dwie krzywe, których wewnętrzne strefy przecinają się, reprezentują zbiory, które mają wspólne elementy; obszar wewnątrz dwóch krzywych reprezentuje zbiór elementów wspólnych dla dwóch zbiorów ( przecięcie zbiorów). Krzywa, która jest w całości zawarta w wewnętrznej powierzchni innej, reprezentuje jej podzbiór .
Diagramy Venna są bardziej restrykcyjną formą diagramów Eulera. Diagram Venna musi zawierać 2 n możliwych stref odpowiadających liczbie kombinacji włączenia lub wyłączenia w każdym z zestawów. Regiony, które nie wchodzą w skład zestawu, są oznaczone kolorem czarnym, w przeciwieństwie do diagramów Eulera, gdzie przynależność do zestawu jest zaznaczona zakładką oraz kolorem. Kiedy liczba zestawów staje się większa niż 3, diagram Venna staje się wizualnie złożony, szczególnie w porównaniu z odpowiadającym mu diagramem Eulera. Różnicę między diagramami Venna i Eulera można zobaczyć na poniższym przykładzie. Lub trzy zestawy:
Diagramy Venna i Eulera tych zbiorów to:
Diagram Eulera
Diagram Venna
W ramach logicznych można użyć semantyki teoretycznej do interpretacji diagramów Eulera we wszechświecie dyskursu . W powyższych przykładach diagram Eulera pokazuje, że zestawy Animal i Mineral są rozłączne, ponieważ odpowiednie krzywe są rozłączne, a zestaw Four Legs jest podzbiorem zestawu Animal . Diagram Venna, który używa tych samych kategorii Animal , Mineral i Four Legged , nie obejmuje tych relacji. Tradycyjnie próżnia zespołu na diagramie Venna jest reprezentowana przez zacienienie danego regionu. Diagramy Eulera przedstawiają pustkę, albo przez zacienienie, albo przez brak regionu.
Sir William Hamilton w swojej pośmiertnie opublikowanej książce Wykłady o metafizyce i logice (1858-1860) twierdzi, że użycie okręgów w celu „uczynienia zrozumiałymi… abstrakcji logiki” ( s. 180 ) nie pochodzi od Leonharda Paula Euler (1707-1783), ale raczej Christian Weise (w) (1642-1708) w swoim Nucleus Logicae Weisianae, które ukazało się pośmiertnie w 1712 roku. Odnosi się do listów Eulera do niemieckiej księżniczki [Część II., List XXXV., Wyd. Cournot. - ED].
W Symbolic Logic z 1881 roku, w rozdziale V („Diagrammatic Representation”), John Venn komentuje niezwykłe rozpowszechnienie diagramu Eulera:
„Z pierwszych sześćdziesięciu traktatów logicznych, opublikowanych w ciągu ostatniego stulecia, które były konsultowane w tym celu: - nieco przypadkowo, bo były najbardziej dostępne: - okazało się, że trzydzieści cztery wzywają do pomocy diagramów, prawie wszystkie te wykorzystują diagram Eulera. "
- (Uwaga 1 s. 100 )
Niemniej jednak argumentował, że „nie można zastosować tego diagramu ze względu na bardzo ogólną logikę” ( s. 100 ). Venn kończy swój rozdział obserwacją zilustrowaną na poniższych przykładach, że ich użycie opiera się na praktyce i intuicji, a nie na ścisłej praktyce algorytmicznej :
„W rzeczywistości ... te diagramy nie tylko nie odpowiadają (sic) zwykłemu diagramowi, ale nie wydają się mieć rozpoznanego systemu zdań, z którymi mogłyby być stale powiązane”. "
- ( str. 124-125 )
We współczesnym użyciu diagram Venna zawiera „pudełko”, które otacza wszystkie okręgi i reprezentuje wszechświat mowy .
Couturat zauważa teraz, że w sposób algorytmiczny (systematyka formalna) w sposób bezpośredni nie można narysować zredukowanych równań Boole'a ani dowodu na wniosek „Nie X to Z”. Couturat doszedł do wniosku, że proces "ma ... poważne wady jako metoda rozwiązywania problemów logicznych" :
„Nie pokazuje, w jaki sposób dane są ujawniane poprzez eliminację niektórych składników, ani jak łączyć pozostałe składniki w taki sposób, aby osiągnąć pożądane konsekwencje. Krótko mówiąc, służy tylko do przedstawienia jednego kroku argumentacji, a mianowicie równania problemu. Jest więc bardzo mało przydatny, ponieważ składniki mogą być reprezentowane przez symbole algebraiczne, a także przez obszary, i są znacznie łatwiejsze do przetworzenia w tej postaci. "
- ( str. 75 )
W 1952 roku Maurice Karnaugh zaadaptował i rozwinął metodę zaproponowaną przez Edwarda W. Veitcha (en) ; praca ta oparta jest na metodzie tablic prawdy precyzyjnie zdefiniowanej w 1921 roku w tezie Emila Posta Wprowadzenie do ogólnej teorii zdań elementarnych i zastosowaniu logiki zdań do logiki obwodów autorstwa (m.in.) Claude'a Shannona , George'a Stibitza (w :) i Alan Turing . Na przykład w rozdziale „Algebra Boole'a” Hill i Peterson (1968, 1964) przedstawiają sekcje 4,5ff „teoria mnogości jako przykład algebry Boole'a”, aw niej przedstawiają diagram Venna z zacienienie. Podają przykłady diagramów Venna do rozwiązania, na przykład, problemów z obwodami, ale kończą się tym stwierdzeniem:
„Dla wielu zmiennych większych niż trzy ilustracyjna forma diagramu Venna nie jest już odpowiednia. Możliwe są rozszerzenia, jednak najwygodniejszy jest stół Karnaugha, który zostanie omówiony w rozdziale 6. "
- ( s. 64 )
W rozdziale 6, podrozdziale 6.4 („Reprezentacja funkcji boolowskich na mapie Karnaugha”) rozpoczynają się one od:
„Zastosowanie Karnaugh 1 [ 1 Karnaugh 1953] jest jednym z najpotężniejszych narzędzi w repertuarze logiki ... Tablicę Karnaugha można uznać albo za obrazową formę tabeli prawdy, albo za rozszerzenie tablicy Venna diagram. "
- ( str. 103–104 )
Historia rozwoju jego stołu przez Karnaugha jest niejasna. Karnaugh, w swoim artykule z 1953 r. , Odwołuje się do Veitch 1951 , Veitch odwołuje się do Shannona 1938 (zasadniczo pracy magisterskiej Shannona na MIT ), a Shannon z kolei, między innymi autorami tekstów logicznych, odwołuje się do Couturat 1914 . W metodzie Veitcha zmienne są ułożone w prostokącie lub kwadracie; jak opisano w tabeli Karnaugha, Karnaugh zmienił kolejność zmiennych w swojej metodzie, aby dopasować to, co jest obecnie znane jako hipersześcian.
Ten przykład pokazuje diagramy Eulera Venna i Karnaugha weryfikujące dedukcję „nie X to Z”. W poniższej tabeli zastosowano następujące symbole logiczne:
1 można odczytać jako „prawda”, 0 jako „fałsz”; ~ dla NIE i w skrócie „. Na przykład x '= zdefiniowane NIE x; + dla logicznego LUB (z algebry Boole'a : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1); & ( Logiczne AND ) między zdaniami; czasami jest pomijany w taki sam sposób jak znak mnożenia: na przykład x'y'z = zdefiniowane ~ x & ~ y & z (z algebry Boole'a: 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 0, 1 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, gdzie * cyfra dla przejrzystości); → ( Logiczne ZAANGAŻOWANIE ): czytać JEŻELI ... TO ..., lub „ZAANGAŻOWANE”, P → Q = zdefiniowane NIE P LUB Q.Biorąc pod uwagę wniosek sformułowany jako „Nie X to Z”, można sprawdzić, czy dedukcja jest poprawna, używając tabeli prawdy . Najprostszą metodą jest umieszczenie wzoru po lewej stronie (w skrócie „P”) i odliczenie (możliwe) po prawej (w skrócie „Q”) i połączenie ich dzięki logicznej implikacji, czyli P → Q, czytane jako JEŻELI P TO P. Jeśli ocena tablicy prawdy daje tylko 1s pod znakiem implikacji, to P → Q jest tautologią . Biorąc pod uwagę ten fakt, możemy „ odłączyć ” wzór po prawej stronie, jak opisano poniżej tabeli prawdy.
Biorąc pod uwagę powyższy przykład, wzór na diagramy Eulera i Venna to:
„Nie Y to Z” i „All X is Y”: (~ (y & z) & (x → y)) = zdefiniowane Pa proponowane odliczenie to:
„Nie X to Z”: (~ (x i z)) = zdefiniowane QZatem teraz formułę do oceny można skrócić:
(~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)): P → Q JEŻELI („Nie Y to Z” i „Wszystkie X to Y”) TO („Żadne X to Z”).# | Venn, Karnaugh | x | y | z | (~ | (y | & | z) | & | (x | → | y)) | → | (~ | (x | & | z)) |
0 | X Y Z ' | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
1 | X Y Z | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
2 | X Y Z ' | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
3 | X Y Z | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
4 | X Y Z ' | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
5 | X Y Z | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
6 | X Y Z ' | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
7 | X Y Z | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
W tym momencie powyższa implikacja P → Q (~ (y i z) & (x → y)) → ~ (x i z)) jest nadal formułą, a dedukcja - „oderwanie” Q od P → Q - nie miało miejsca. Ale biorąc pod uwagę dowód, że P → Q jest tautologią, następnym krokiem jest procedura modus ponens w celu „oderwania” Q: „Nie X to Z” i rozmieszczenia wyrażeń po lewej stronie.
W ponens Modus (lub „fundamentalną regułą wnioskowania” ) jest często zauważyć, co następuje: dwa warunki na lewo, „P → Q” i „P”, nazywane są przesłanki (według konwencji związanej przecinkiem), symbol ⊢ oznacza „udowodnić” (w sensie logicznej dedukcji), a termin po prawej nazywa się wnioskiem :
P → Q, P ⊢ Q.Aby modus ponens odniósł sukces, obie przesłanki P → Q i P muszą być prawdziwe . Ponieważ, jak wykazano powyżej, przesłanka P → Q jest tautologią, „prawda” jest zawsze aktualna, nie ma znaczenia, jakie wartości x, yiz, przyjmą, ale „prawda” nie będzie miała miejsca w przypadku P w tych okolicznościach tylko wtedy, gdy P zostanie ocenione jako „prawda” (na przykład kolumny 0 LUB 1 LUB 2 LUB 6: x'y'z '+ x'y'z + x'yz' + xyz '= x' y „+ yz”).
P → Q, P ⊢ Q czyli: (~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)), (~ (y & z) & (x → y)) ⊢ (~ (x & z)) tj .: JEŻELI „Nie Y to Z” i „Wszystkie X to Y” TO „Żadne X to Z” („Żadne Y to Z” i „Wszystkie X to Y” ⊢ „Żadne X to Z”).Możemy teraz „oddzielić” wniosek „Nie X nie jest Z”, który można wykorzystać w późniejszej dedukcji.
Użycie implikacji tautologicznej oznacza, że istnieją inne możliwe dedukcje oprócz „Nie X to Z”.
Diagram Venna pokazujący wszystkie możliwe skrzyżowania.
Diagram Eulera przedstawiający rzeczywistą sytuację, a mianowicie relacje między różnymi ponadnarodowymi organizacjami europejskimi. (Wersja klikalna)
Humorystyczny diagram porównujący diagramy Eulera i Venna.
Schemat Eulera typów trójkątów.
Posortowane według daty publikacji: