Dekonwolucja Wienera

Dekonwolucja Wienera jest operacją matematyczną zastosowaniu filtra Wienera, aby wyeliminować lub złagodzić niektóre z szumu w sygnale. Działa w domenie częstotliwości, starając się zminimalizować wpływ szumu, gdy stosunek sygnału do szumu jest zły.

Ta metoda jest odpowiednia nie tylko dla dźwięku, ale także dla obrazów , ponieważ widmo częstotliwości większości obrazów wizualnych jest często dobrze uwarunkowane i można je łatwo oszacować.

Jej nazwa pochodzi od matematyka Norberta Wienera .

Definicja

Biorąc pod uwagę system:

{\ Displaystyle \ r (t) = h (t) * x (t) + v (t)}

gdzie oznacza splot i: $*$

$x ( t )$ jest (nieznanym) sygnałem wejściowym w czasie t.
$h ( t )$ jestznaną odpowiedzią impulsową niezmiennego w czasie układu liniowego.
$v ( t )$ jest nieznanym szumem addytywnym, niezależnym od $x ( t )$ .
$y ( t )$ jest obserwowanym sygnałem.

Celem jest znalezienie $g ( t )$ , abyśmy mogli oszacować $x ( t )$ w następujący sposób:

{\ Displaystyle \ {\ kapelusz {x}} (t) = g (t) * r (t)}

gdzie jest oszacowaniem $x$ $($ $t$ $),$ które minimalizuje średni błąd kwadratowy . ${\ displaystyle \ {\ hat {x}} (t)}$

Filtr Wienera zapewnia takie $g ( t )$ . Filtr jest łatwiejszy do opisania w dziedzinie częstotliwości :

{\ Displaystyle \ G (f) = {\ Frac {H ^ {*} (f) S (f)} {| H (f) | ^ {2} S (f) + N (f)}}}

lub:

$G ( f )$ i $H ( f )$ są transformaty Fouriera o $g$ i $h$ , odpowiednio przy częstotliwości $f$ .
$S ( f )$ jest średnią widmową gęstością mocy sygnału wejściowego $x ( t )$ .
$N ( f )$ oznacza średnią widmową gęstość mocy szumu $v ( t )$
wykładnik oznacza złożoną koniugację. ${\ displaystyle {} ^ {*}}$

Operację filtrowania można przeprowadzić w dziedzinie czasu, jak powyżej, lub w dziedzinie częstotliwości:

{\ Displaystyle \ {\ kapelusz {X}} (f) = G (f) Y (f)}

gdzie jest transformata Fouriera . Wtedy wystarczy wziąć odwrotność transformacji Fouriera w celu otrzymania . ${\ displaystyle \ {\ hat {X}} (f)}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} (t)}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {X}} (f)}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {x}} (t)}$

Ma to zastosowanie w przypadku obrazów, zastępując zmienne $t$ i $f$ ich dwuwymiarowymi odpowiednikami.

Interpretacja

Sposób działania filtra Wienera staje się oczywisty po przepisaniu powyższego równania filtra:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G (f) & = {\ Frac {1} {H (f)}} \ lewo [{\ Frac {| H (f) | ^ {2}} {| H ( f) | ^ {2} + {\ frac {N (f)} {S (f)}}}} \ right] \\ & = {\ frac {1} {H (f)}} \ left [{ \ frac {| H (f) | ^ {2}} {| H (f) | ^ {2} + {\ frac {1} {\ mathrm {SNR} (f)}}}} \ right] \ end {aligned}}}

Tutaj $1 / H ( f )$ jest odwrotnością pierwotnego systemu, a $SNR ( f ) = S ( f ) / N ( f )$ jest stosunkiem sygnału do szumu . Gdy szum jest pomijalny, wyraz w nawiasach kwadratowych wynosi 1, co oznacza, że filtr Wienera jest po prostu odwrotnością systemu, jak można by się spodziewać. Jednak wraz ze wzrostem szumu przy pewnych częstotliwościach stosunek sygnału do szumu maleje, więc wartość wyrażona w nawiasach kwadratowych również maleje. Oznacza to, że filtr Wienera tłumi częstotliwości zgodnie z ich stosunkiem sygnału do szumu.

Powyższe równanie filtra Wienera wymaga znajomości zawartości widmowej typowego obrazu oraz szumu. Często nie mamy dostępu do tych dokładnych ilości, ale możemy znaleźć się w sytuacji, w której można dokonać dobrych szacunków. Na przykład w przypadku obrazów fotograficznych sygnał (oryginalny obraz) ma na ogół silną niską częstotliwość i niską wysoką częstotliwość, aw wielu przypadkach zawartość szumu będzie stosunkowo płaska z częstotliwością.

Pochodzenie

Jak wspomniano powyżej, szukamy oszacowania pierwotnego sygnału, które minimalizuje średni kwadratowy błąd, który można wyrazić w następujący sposób:

{\ Displaystyle \ \ epsilon (f) = \ mathbb {E} \ lewo | X (f) - {\ kapelusz {X}} (f) \ prawo | ^ {2}}

gdzie oznacza nadzieję. ${\ displaystyle \ \ mathbb {E}}$

Jeśli podstawimy wyrażenie otrzymane wcześniej, otrzymamy: ${\ displaystyle \ {\ hat {X}} (f)}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ epsilon (f) & = \ mathbb {E} \ lewo | X (f) -G (f) Y (f) \ prawo | ^ {2} \\ & = \ mathbb {E} \ left | X (f) -G (f) \ left [H (f) X (f) + V (f) \ right] \ right] \ right | ^ {2} \\ & = \ mathbb {E} \ left | \ left [1-G (f) H (f) \ right] X (f) -G (f) V (f) \ right | ^ {2} \ end {wyrównane}}}

Skąd :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ epsilon (f) & = \ lewo [1-G (f) H (f) \ prawo] \ lewo [1-G (f) H (f) \ prawo] ^ { *} \, \ mathbb {E} | X (f) | ^ {2} \\ & \ qquad - \ left [1-G (f) H (f) \ right] G ^ {*} (f) \ , \ mathbb {E} \ left \ {X (f) V ^ {*} (f) \ right \} \\ & \ qquad -G (f) \ left [1-G (f) H (f) \ po prawej] ^ {*} \, \ mathbb {E} \ left \ {V (f) X ^ {*} (f) \ right \} \\ & \ qquad + G (f) G ^ {*} (f ) \, \ mathbb {E} | V (f) | ^ {2} \ end {wyrównane}}}

Zakłada się jednak, że szum jest niezależny od sygnału, więc:

{\ Displaystyle \ \ mathbb {E} {\ duży \ {} X (f) V ^ {*} (f) {\ duży \}} = \ mathbb {E} {\ duży \ {} V (f) X ^ {*} (f) {\ Big \}} = 0}

Ponadto definiujemy gęstość widmową mocy w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} S (f) & = \ mathbb {E} | X (f) | ^ {2} \\ N (f) & = \ mathbb {E} | V (f) | ^ {2} \ end {aligned}}}

W konsekwencji otrzymujemy:

{\ Displaystyle \ epsilon (f) = \ lewo [1-G (f) H (f) \ prawej] \ lewo [1-G (f) H (f) \ prawo] ^ {*} S (f) + G (f) G ^ {*} (f) N (f)}

Aby poznać minimalną wartość błędów, staramy się usunąć pochodną względem $G ( f )$ . Ponieważ jest to wartość zespolona, $G * ( f )$ działa jak stała.

{\ Displaystyle \ {\ Frac {\ operatorname {d} \ epsilon (f)} {\ operatorname {d} G (f)}} = G ^ {*} (f) N (f) -H (f) \ lewa [1-G (f) H (f) \ prawa] ^ {*} S (f) = 0}

Tę ostateczną równość można zmienić, aby uzyskać filtr Wienera.

Bibliografia

(en) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Wiener deconvolution ” ( zobacz listę autorów ) .
Rafael Gonzalez, Richard Woods i Eddins Steven, Digital Image Processing Using MATLAB , Prentice Hall, 2003

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

(pl) Ślepa dekonwolucja (porównanie różnych metod dekonwolucji)
(en) Dekonwolucja z filtrami odwrotnymi i Weinera