Stosunek sygnału do szumu

Stosunek sygnału do szumu , czasami określany jako SNR z angielskiego stosunku sygnału do szumu, jest wskaźnikiem jakości transmisji informacji . Wyrażenie stosunku sygnału do szumu jest implicite oparte na liniowości danego zjawiska, dzięki czemu zasada superpozycji jest stosowana do części składających się na sygnał i szum.

Jest to koncepcja wynikająca z elektroniki , w której wyznacza stosunek mocy pomiędzy

sygnał elektryczny o maksymalnej amplitudzie, dla których zakłócenie w produkcji pozostaje poniżej wartości granicznej;
szum tła , sygnał, który nie może być przekształcony na informację, co często odpowiada tej modulacji na wyjściu z urządzenia w przypadku braku sygnału na wejściu.

W tym kontekście jest zwykle wyrażany w decybelach (dB) .

Koncepcja stosunku sygnału do szumu rozprzestrzenia się na wszystkie dyscypliny. Jest to zatem stosunek wartości wielkości niosącej informację, między tą, która może być zinterpretowana, a tą, która w procesie interpretacji jest przypadkowa. W tej definicji stosunek ten można wyrazić jako mnożnik współczynnika odchylenia standardowego szumu.

Definicja ilości

Poziom sygnału

Maksymalny poziom sygnału jest ograniczony możliwościami technicznymi używanego urządzenia. Po osiągnięciu tych granic sygnały są przesyłane z niezamierzonym zniekształceniem zwanym zniekształceniem, które stopniowo wzrasta. Poziom maksymalny jest określany przez określenie maksymalnego dopuszczalnego zniekształcenia.

Przykład: maksymalny poziom wzmacniacza audio:

maksymalny poziom wzmacniacza audio jest zdefiniowany w następujący sposób:

maksymalny poziom mierzony przy obciążeniu rezystancyjnym 8 omów: 25 V rms (całkowite zniekształcenie harmoniczne <1%).

Te szczegóły wskazują warunki pomiaru (obciążenie rezystancyjne). We wzmacniaczu wartość zniekształceń harmonicznych stopniowo rośnie wraz z przeciążeniem, wybrana wartość jest większa niż oczekiwana podczas normalnej pracy, pozostając jednocześnie wystarczająco niska.

Charakterystyka wzmacniacza wymaga kilku innych wartości, z którymi nie mamy tutaj do czynienia.

Stosunek sygnału do szumu urządzenia można poprawić, zwiększając maksymalną wartość sygnału. Często jednak po pewnym momencie działania podjęte w celu zwiększenia wartości maksymalnej wpływają również na szum tła sygnału.

Szum

Hałas ma wewnętrzną lub zewnętrzną pochodzenia do urządzenia:

Źródła wewnętrzne są często z powodu przypadkowych mikroskopijnych zjawisk spotykanych w szczególności gdy wzmocnienie elektronicznego sygnału: szum termiczny , hałasu strzał , hałas migotania ( „migotania hałasu”), przedarł się hałas , lawina hałas ;
Źródła zewnętrzne to zakłócenia istniejące na zewnątrz urządzenia, które przedostają się do niego z powodu braku izolacji (patrz kompatybilność elektromagnetyczna ) lub z powodu braku możliwości ich odizolowania (transmisja w środowisku otwartym).

Szum kwantyzacji w sygnałach cyfrowych

Kwantyfikacja jest procesem, który ogranicza liczbę możliwych wartości sygnału.

Przykłady kwantyfikacji:

Konwersja analogowo-cyfrowa (konwersja A / D) przekształca sygnał analogowy z nieskończoną liczbą możliwych wartości w szereg liczb pobranych ze zbioru możliwych wartości:
- z kodowaniem liniowym w liczbach całkowitych na 16 bitach, 65 536 możliwych wartości, regularnie rozmieszczonych (przypadek płyty kompaktowej );
- z 8-bitowym kodowaniem A-law , 256 możliwych wartości, tym bardziej oddalone od siebie (w przypadku telefonii stacjonarnej).
Zamiana pierwszego cytowanego w drugim jest kwantyfikacją.
Kwantyzacja 32-bitowego zmiennoprzecinkowego kodu liczbowego IEEE 754 o pojedynczej precyzji, używanego w wewnętrznych obliczeniach 16-bitowego DSP z kodowaniem liczb całkowitych, zmniejsza liczbę możliwych wartości z 4 278 190 079 do 65 536.

Kwantyzacja dzieli sygnał na dwie części:

wartość zaokrągloną do jednej z możliwych w kodzie cyfrowym, która stanowi sygnał cyfrowy,
reszta, która jest błędem kwantyzacji , którą porzucamy.

Błąd kwantyzacji jest co najwyżej równy połowie kroku kwantyzacji; nie jest ani stała, ani przypadkowa , zależy od sygnału. W przypadku silnych sygnałów tę korelację można pominąć; dlatego mówimy o szumie kwantyzacji.

Stosunek sygnału do szumu w cyfrowym kanale transmisyjnym jest stosunkiem między wartością skuteczną sygnału sinusoidalnego o maksymalnej amplitudzie, którą można przedstawić w kodzie cyfrowym, a wymazaną wartością szumu tła. Generalnie jest przedstawiany jako stosunek mocy wyrażony w decybelach, zostanie odnotowany . Szum kwantyzacji jest minimalnym szumem tła, stosunek sygnału do szumu jest wtedy co najwyżej równy: ${\ Displaystyle S / N}$ ${\ Displaystyle (S / N) _ {\ Mathrm {dB}}}$

{\ Displaystyle S / N = {\ Frac {V _ {\ mathrm {sygnał}}} {V _ {\ mathrm {szum}}}} = {\ sqrt {\ Frac {3} {2}}} 2 ^ {n}}

lub w decybelach .

{\ Displaystyle (S / N) _ {\ operatorname {dB}} = 20 \ log (S / N) \ simeq 6 {,} 02 \ n + 1 {,} 76}

Demonstracja

Błąd kwantyzacji jest równy różnicy między napięciem sygnału a napięciem skwantowanego sygnału . ${\ displaystyle e_ {q}}$ ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {sygnał}}}$ ${\ displaystyle v_ {q}}$

Badany sygnał jest trójkątnym sygnałem o pełnej skali, zakłada się, że ostateczny wynik będzie ważny dla sinusoidalnego sygnału w pełnej skali, gdy tylko rozdzielczość, głębokość kwantyzacji, czyli liczba bitów, będzie większa niż 6 .

Obliczamy wartość skuteczną błędu kwantyzacji:

{\ Displaystyle E_ {q} = {\ sqrt {\ langle e_ {q} ^ {2} (t) \ rangle}} = {\ sqrt {{\ Frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} e_ {q} ^ {2} (t) \ \ mathrm {d} t}}}

Równanie linii, która podpiera każdy ząb piłokształtny, ma postać z . Średnia kwadratu jest taka sama dla każdego zęba piłokształtnego, więc ${\ Displaystyle e_ {q} (t) = a \ x + b}$ ${\ displaystyle a = \ pm {\ frac {q} {\ delta t}}}$

{\ Displaystyle E_ {q} = {\ sqrt {{\ Frac {1} {\ Delta t}} \ int _ {0} ^ {\ Delta t} (a \, t + b) ^ {2} \ \ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle b = -q / 2}

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ Delta t} (a \, t + b) ^ {2} \ \ mathrm {d} t = {\ Frac {a ^ {2}} {3}} \ Delta t ^ {3} + {\ frac {2 \, a \, b} {2}} \ Delta t ^ {2} + b ^ {2} \ Delta t}

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ Delta t}} \ int _ {0} ^ {\ Delta t} (a \, t + b) ^ {2} \ \ mathrm {d} t = {\ Frac {q ^ {2}} {3}} - {\ frac {q ^ {2}} {2}} + {\ frac {q ^ {2}} {4}} = {\ frac {q ^ {2 }} {12}}}

{\ Displaystyle E_ {q} = {\ sqrt {\ Frac {q ^ {2}} {12}}} = {\ Frac {q} {2 {\ sqrt {3}}}}}

Dla sygnału sinusoidalnego o amplitudzie równej połowie pełnej skali . ${\ Displaystyle V_ {s} = {\ Frac {V_ {pe}} {2 {\ sqrt {2}}}} = {\ Frac {2 ^ {n} \, q} {2 {\ sqrt {2} }}}}$

A więc . ${\ Displaystyle S / N = {\ Frac {V_ {s}} {E_ {q}}} = 2 ^ {n} {\ sqrt {\ Frac {3} {2}}}}$

Gdzie: . ${\ Displaystyle (S / N) _ {\ operatorname {dB}} = 20 \, n \ log 2 + 10 \ log (3/2) \ simeq 6 {,} 02 \, n + 1 {,} 76}$

Otrzymujemy 98 dB dla 16 bitów i 6 dB więcej na każdy bit dodatkowej rozdzielczości. To jest absolutna granica.

W przypadku sygnałów o niskim poziomie korelacja błędu kwantyzacji może być opisana jako zniekształcenie. Aby go przetworzyć, do użytecznego sygnału przed kwantyzacją dodawany jest słaby sygnał losowy, jeśli jest go za mało. Ta operacja nazywa się dithering (pobudzenie, wahanie). Dodaje około 3 dB do szumu tła. Optymalny poziom hałasu jest większy niż teoretyczny minimalny poziom hałasu tła (zjawisko rezonansu stochastycznego ).

W pozostałej części łańcucha przetwarzania sygnału poziom szumów może tylko wzrosnąć.

Poprawiony stosunek sygnału do szumu

Klasyczne metody poprawy stosunku sygnału do szumu to:

optymalizacji procesów wewnętrznych w celu zmniejszenia źródeł hałasu (wartości i liczba komponentów, projekt obwodu);
ograniczać szerokość pasma ściśle do pasma użytecznego przez filtrowanie elektroniczne lub optyczne (zgodnie z przysłowiem „otwarcie okna oznacza wpuszczenie kurzu”); w przypadku sygnału przechowywanego i / lub transmitowanego analogicznie, możliwe jest zwiększenie słabych sygnałów bez wpływu na silne sygnały, aby nie powodować nasycenia, przez operację kompresji; podczas restytucji stosowana jest operacja odwrotna, czyli ekspansja, która „miażdży” szum tła; jest to na przykład metoda używana przez proces Dolby NR ;
obniżyć temperaturę, aby zmniejszyć hałas termiczny;
zmniejszyć zewnętrzne zakłócenia poprzez ekranowanie elektromagnetyczne lub jakikolwiek inny proces;
- w astronomii teleskopy są umieszczane z dala od miast i ich zanieczyszczenia światłem ; zjawiska peryferyjne względem Słońca są widoczne, gdy Słońce jest przesłonięte przez zaćmienie ;
- w przypadku obrazów dyfrakcyjnych na monokryształach ( obrazy Laue z promieniowaniem rentgenowskim lub obrazy dyfrakcyjne w transmisyjnej mikroskopii elektronowej ) centralna plamka jest ukryta (jej powstawaniu zapobiega wstawienie maski), aby umożliwić dostrzeżenie plamek peryferyjnych;
jeśli sygnał można scharakteryzować, metody przetwarzania sygnału, takie jak filtr Kalmana , umożliwiają wybranie odpowiednich informacji.

Konsekwencje stosunku sygnału do szumu

Ilość informacji

Twierdzenie Shannona i Hartley (en)

W dziedzinie telekomunikacji relacja Shannona umożliwia obliczenie maksymalnej liczby stanów ( wartościowości ) systemu

n = {\ sqrt {1 + {\ frac {S} {N}}}}

gdzie S to poziom sygnału, a N to poziom rzekomego szumu Gaussa i szumu addytywnego, aw konsekwencji, przy szerokości pasma B, maksymalna szybkość informacji w bitach na sekundę:

B \ cdot {\ log _ {2}} \ left (1 + {\ frac {S} {N}} \ right)

Gęstość widmowa stosunku sygnału do szumu

Można przeprowadzić analizę widmową stosunku sygnału do szumu. Następnie brana jest pod uwagę szerokość pasma pomiaru mocy. Ponieważ szum, w przeciwieństwie do sygnału testowego, nie jest ograniczony do dobrze zdefiniowanej częstotliwości, szersze pasmo analizy nieuchronnie skutkuje wyższą mocą. Szerokość pasma odbiornika niekoniecznie jest jednolita - w analizie widmowej skala częstotliwości jest często logarytmiczna. Aby porównać wydajność, czasami konieczne jest odniesienie sygnału do gęstości widmowej szumu .

W transmisji satelitarnej gęstość sygnału do szumu $C / N 0$ ( nośna do szumu ) jest wyrażana w dB-Hz. $Jest$ to moc nośna wyrażona w decybelach w stosunku do 1 W lub do 1 mW , $N 0$ , gęstość mocy szumu wyrażona w decybelach przy tym samym poziomie odniesienia na jednostkę częstotliwości. Odbiornik GPS może wyświetlać $C / N 0$ między 37 a 45 dB-Hz , w zależności od mocy odbioru sygnałów (przekraczanie warstw atmosferycznych, zakłócenia otoczenia), wzmocnienia anteny odbiorczej i komponentów odbiornika.

Uogólnienie pojęcia

Pojęcie stosunku sygnału do szumu może być stosowane we wszystkich kontekstach niezwiązanych z elektroniką, a nawet do określenia istnienia nieznanego sygnału w przepływie informacji, gdy ma się „ matematyczny model szumu”. Jeżeli rozkład statystyczny informacji różni się znacznie od modelu, należy założyć, że istnieją inne przyczyny niż przewidziane w tym modelu. Te inne przyczyny są następnie przedmiotem badań, czyli sygnałem.

Następnie będziemy mówić o stosunku sygnału do szumu, aby wyrazić na przykład prawdopodobieństwo słabych sygnałów. Wykrycie sygnału, którego poziom jest równy odchyleniu standardowemu $σ$ szumu uznawanego za szum Gaussa, nie jest zbyt wiarygodne; przy 3 $σ$ prawdopodobieństwo, że wykryty sygnał jest szumem wynosi około 1%.

Uogólnienie pojęcia napotyka na trudność określenia w sposób ogólny, czym jest sygnał.

Obrazek

Aby zdefiniować wpływ szumu na obraz, generowane lub odtwarzane są jednolite zakresy. Zmiana sygnału w pewnym zakresie definiuje szum, który wpływa na obraz. W tym zakresie luminancja lub proporcjonalna do niej wielkość określa poziom nominalny.

Aby zdefiniować stosunek sygnału do szumu, który przypomina współczynnik elektroniki, arbitralnie zakładamy, że „moc” jest proporcjonalna do kwadratu tej wielkości. Moc szumów jest definiowana, tak jak w elektronice, przez odchylenie wokół wartości nominalnej. Stosunek sygnału do szumu to stosunek tej „mocy” obrazu do mocy szumu. Wyrażony w decybelach stosunek sygnału do szumu jest systematycznie większy o współczynnik 2√2 (9 dB ) niż w elektronice. Ten „stosunek sygnału do szumu” jest dodatkowo zwiększany poprzez przyjęcie maksymalnego poziomu obrazu jako podstawy w celu uzyskania PSNR ( Peak Signal to Noise Ratio ).

W idealnym przypadku bardzo dobrej jakości sygnału, w którym szum fotoniczny i szum elektroniczny są pomijalne, liniowa kwantyzacja na $n$ bitach skutkuje

{\ Displaystyle PSNR _ {\ mathrm {dB}} \ simeq 6 {,} 02 \, n + 10 {,} 76}

. Demonstracja

Mamy i ${\ Displaystyle V_ {s} = V_ {pe} = 2 ^ {n} \, q}$ ${\ Displaystyle E_ {q} = {\ sqrt {\ Frac {q ^ {2}} {12}}} = {\ Frac {q} {2 {\ sqrt {3}}}}}$

Tak dobrze, że . ${\ Displaystyle S / N = {\ Frac {V_ {s}} {E_ {q}}} = 2 ^ {n} {\ sqrt {12}}}$ ${\ Displaystyle (S / N) _ {\ operatorname {dB}} = 20 \, n \ log 2 + 10 \ log (12) \ simeq 6 {,} 02 \, n + 10 {,} 76}$

Aby osiągnąć ten idealny przypadek, każde miejsce czujnika musi otrzymać minimalną liczbę fotonów . Przypadkowe pojawienie się tych cząstek powoduje odgłos wystrzału . Praktyczna zasada mówi, że poniżej tysiąca fotonów szum fotonowy jest zauważalny w prostych, mało kontrastowych obrazach. W mikroskopii, astronomii lub przy krótkich czasach ekspozycji limit ten można osiągnąć lub przekroczyć.

Z wyjątkiem obrazów RAW , kodowanie sygnału obrazu podlega nieliniowej kwantyzacji z wartością gamma . Ta transformacja utrzymuje PSNR , obliczone na dwóch końcach krzywej, ale nie reprezentuje już stosunku między dwoma kolejnymi krokami w użytecznej strefie krzywej, blisko maksimum. Kodowanie sygnału obejmuje również stratną kompresję cyfrową, która znacznie zwiększa PSNR .

Załączniki

Bibliografia

Mario Rossi , Audio , Lausanne, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes,2007, 1 st ed. , s. 258.

Powiązane artykuły

Uwagi i uzupełnienia

Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu „ Décibel ” (zobacz listę autorów ) .

Kodowanie zmiennoprzecinkowe pojedynczej precyzji tylko koduje (2 × (2 8 -1) × 2 23 ) -1 policzalne wartości; pozostałe odpowiadają -0, ± ∞ i NaN (błąd matematyczny); 16-bitowe kodowanie liczb całkowitych wykorzystuje wszystkie 2 16 możliwych wartości.
Nie mylić z działaniem sprężarki . Zwiększa to szum tła, wraz ze wszystkimi innymi słabymi sygnałami, w celu zmniejszenia dynamiki sygnału i uczynienia go równomiernie głośniejszym. Kompresja mająca na celu redukcję szumów tła nie ma progu i ma niskie, stałe czasy ataku i zwolnienia, dzięki czemu jest odwracalna przez rozszerzanie, w przeciwieństwie do redukcji dynamicznej. Profesjonalne systemy działają szczególnie w paśmie częstotliwości, w którym szum tła jest najbardziej wrażliwy.
Wielkość sygnału zwiększa się o 2√2, przechodząc od wartości skutecznej sinusoidy, jak w elektronice, do jej amplitudy w przypadku obrazu.

Rossi 2007 , s. 258.
Rossi 2007 , s. 637.
(en) Doug Jones i Dale Manquen , rozdz. 28 „Nagrywanie i odtwarzanie magnetyczne” , Glen Ballou (reż.), Podręcznik dla inżynierów dźwięku , Nowy Jork, Focal Press,2008, s. 1078.
Richard Taillet , Loïc Villain i Pascal Febvre , Dictionary of Physics , Bruksela, De Boeck,2013, s. 576 „Stosunek sygnału do szumu”.
Taillet, Villain i Fèbvre 2013 , s. 626 "sygnał".
Henri Maître , Du photon au pixel: Aparat cyfrowy , ISTE,2016, s. 207.
Mistrz 2016 , s. 208.
Mistrz 2016 , s. 254.
Mistrz 2016 , s. 208-209.
Mistrz 2016 , s. 209-210.