Dane kontaktowe Kruskal-Szekeres
W Kruskala- Szekeres ( ) współrzędne są maksymalne przedłużenie analityczne z Metryka Schwarzschilda . Zapewniają dodatkowe rozwiązania w stosunku do rozwiązań Schwarzschilda, w szczególności istnieje podwójna domena odpowiadająca czarnym dziurom : białe dziury .
v,ty,θ,φ{\ displaystyle v, u, \ theta, \ phi}
W eponymous współrzędne są matematyk i fizyk amerykański Martin D. Kruskala- (1925-2006) i Hungaro - australijski matematyk György (George) Szekeres (1911-2005) którzy oboje je zaproponowali w 1960w celu opisania geometrii czarnej dziury Schwarzschilda .
We współrzędnych Kruskala-Szekeresa metryka Schwarzschilda jest zapisana:
res2=32sol3M3rvs6exp(-rvs22solM)(rev2-rety2)-r2(reθ2+grzech2θreφ2){\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {rc ^ {6}}} \ nazwa operatora {exp} \ lewo (- {\ frac {rc ^ {2} } {2GM}} \ right) \ left (dv ^ {2} -du ^ {2} \ right) -r ^ {2} \ left (d \ teta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ teta \, d \ fi ^ {2} \ prawo)},
lub :
-
sol{\ styl wyświetlania G}jest stałą grawitacyjną ,
-
vs{\ styl wyświetlania c}to prędkość światła ,
-
M{\ styl wyświetlania M}jest masa ,
-
r{\ styl wyświetlania r}jest funkcją i .ty{\ styl wyświetlania u}v{\ styl wyświetlania v}
Z ( por. promień Schwarzschilda ), ( por. funkcja wykładnicza ) i ( por. kąt bryłowy ) jest napisane:
RS=2solM/vs2{\ displaystyle R _ {\ matematyka {S}} = 2GM / c ^ {2}} exp(x)=mix{\ displaystyle \ operatorname {exp} \ left (x \ right) = e ^ {x}} reΩ2=reθ2+grzech2θreφ2{\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = d \ teta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}}
res2=4RS3rmi-rRS(rev2-rety2)-r2reΩ2{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4R _ {\ mathrm {S}} ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {R _ {\ mathrm { S} }}}} \ lewo (dv ^ {2} -du ^ {2} \ prawo) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}.
W jednostkach geometrycznych ( ) jest napisane:
vs=sol=1{\ styl wyświetlania c = G = 1}
res2=32M3rmi-r2M(rev2-rety2)-r2reΩ2{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32M ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {2M}}} \ lewo (dv ^ {2} -du ^ {2} \ prawo) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}.
Historyczny
W grudzień 1915, Karla Schwarzschilda opisuje pierwszy dokładnego rozwiązania równań Einsteina , które ujawnia nieoczekiwane osobliwości o promieniu Schwarzschilda , których charakter pozostaje słabo zrozumiany przez długi czas.
W 1924 Arthur Eddington naszkicował pierwszy nieosobliwy układ współrzędnych o tym słynnym promieniu. W 1938 roku Georges Lemaître opracował metrykę synchroniczną ( metryka Lemaître'a ); David Finkelstein (en) odkrył inną, niesynchroniczną, w 1958 roku, dziś nazywaną metryką Eddingtona-Finkelsteina . Synge zademonstruje, że ta ostatnia metryka obejmuje tylko część geometrii czasoprzestrzeni Schwarzschilda, tak jak ta z Lemaître: te metryki nie pozwalają nam na rozważenie wszystkich dynamicznych przypadków ciała w środowisku czarnej dziury Schwarzschilda . Wykazali jednak, że ten promień nie jest rzeczywistą, fizyczną osobliwością, a jedynie metryką wybraną przez Schwarzschilda.
W 1960 roku Martin Kruskal i George Szekeres stworzyli nową metrykę do badania wszystkich rodzajów ruchów ciała na zewnątrz i pod promieniem Schwarzschilda.
Dane kontaktowe Kruskala-Szekeres
Konwencja: podpis metryki to (- + + +).
Kruskal i Szekeres stosują współrzędne bezwymiarowe, dla współrzędnej radialnej i dla współrzędnej czasowej, zdefiniowane w celu wyeliminowania tego terminu w nowej metryce. Rekonstruują się przez funkcje transcendentne.
ty{\ styl wyświetlania u}v{\ styl wyświetlania v}(1-Rsr){\ displaystyle (1- \ textstyle {\ frac {R_ {s}} {r}})}r(ty,v),t(ty,v){\ styl wyświetlania r (u, v), t (u, v)}
Zmienne i są zdefiniowane przez:ty{\ styl wyświetlania u}v{\ styl wyświetlania v}
- ty2-v2=(rRs-1)mirRs{\ displaystyle u ^ {2} -v ^ {2} = (\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}} - 1) e ^ {\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s} }}}}
- ty+vty-v=mivstRs{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {u + v} {uv}} = e ^ {\ textstyle {\ frac {ct} {R_ {s}}}}}
Są dwa przypadki na czas:
- jeśli to ;r(ty,v)>Rs{\ styl wyświetlania r (u, v)> R_ {s}}tanhavst2Rs=vty{\ displaystyle \ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {v} {u}}}
- więc wtedy .r(ty,v)<Rs{\ styl wyświetlania r (u, v) <R_ {s}}tanhavst2Rs=tyv{\ displaystyle \ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {u} {v}}}
Otrzymujemy metrykę przekątną:
res2=4.Rs3rmi-rRs(rety2-rev2)+r2(reθ2+sjanie2θreφ2){\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4.R_ {s} ^ {3}} {r}} e ^ {- \ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}}} (z ^ {2} -dv ^ {2}) + r ^ {2} (d \ teta ^ {2} + sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}
który jest zdefiniowany dla wszystkiego . Z drugiej strony czas t jest nieskończony w promieniu Schwarzschilda ( ).
r(ty,v)>0{\ styl wyświetlania r (u, v)> 0}ty=±v{\ styl wyświetlania u = \ pm v}
Nieruchomości
Za osobliwą patologię metryki Schwarzschilda podstawiono relację .
r=0{\ styl wyświetlania r = 0}v2-ty2=1{\ displaystyle v ^ {2} -u ^ {2} = 1}
Mamy więc teraz dwie osobliwości .
{ty=v2-1ty=-v2-1{\ displaystyle {\ początek {przypadki} u = {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \\ u = - {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \ koniec {przypadki}}}
Linie we współrzędnych Schwarzschilda to hiperbole we współrzędnych Kruskala. Ich asymptoty to dwusieczne i . Linie we współrzędnych Schwarzschilda to linie przechodzące przez początek we współrzędnych Kruskala. Osobliwości są reprezentowane przez granice szarych stref hiperbolicznych na rysunku obok.
r=VSstmi{\ styl wyświetlania r = Cste}ty2-v2=VSstmi{\ displaystyle u ^ {2} -v ^ {2} = Cste}ty=v{\ styl wyświetlania u = v}ty=-v{\ styl wyświetlania u = -v}t=VSstmi{\ styl wyświetlania t = Cste}v/ty=VSstmi{\ styl wyświetlania v / u = Cste}
Geodezja typu lekkiego to linie zorientowane pod kątem 45°. Łatwo sprawdzić, że dla , mamy .
res=0{\ styl wyświetlania ds = 0}rety2=rev2{\ displaystyle du ^ {2} = dv ^ {2}}
Metryka Schwarzschilda rozróżnia dwa obszary czasoprzestrzeni ograniczone horyzontem zdarzeń. Region jest podzielony na pół za pomocą metryki Kruskal-Szekeres.
r>2M{\ styl wyświetlania r> 2M}
Warunkiem odpowiada na .
r>Rs{\ displaystyle r> R_ {s}}ty2>v2{\ styl wyświetlania u ^ {2}> v ^ {2}}{ty>|v|ty<-|v|{\ displaystyle {\ begin {przypadki} u> | v | \\ u <- | v | \ end {przypadki}}}
Cała geometria Schwarzschilda jest zatem reprezentowana przez cztery różne regiony we współrzędnych Kruskala.
Uwagi i referencje
-
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (współrzędne), s. 414, kol. 1 .
-
Hobson, Efstathiou i Lasenby 2010 , rozdz. 11 , § 11.9 , s. . 264.
-
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (współrzędne), s. 414, kol. 2 .
-
Kruskal 1960 .
-
Szekeres 1960 .
-
Taillet 2013 , s. 61.
-
(w) AS Eddington , „ Porównanie formuł Whiteheada i Einsteina ”luty 1924( DOI 10.1038 / 113192a0 , kod bib 1924Natur.113..192E ) ,s. 192 url =http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
-
Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna , t. 2: Teoria pola [ szczegóły wydań ], §102, przypis.
-
Synge, JL, Pole grawitacyjne cząstki , 1950, Proc. R. Irlandzki Acad. 53, 83-114.
-
Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna , t. 2: Teoria pola [ szczegóły wydań ], §103, przypis. Landau przywołuje również pracę Igora Novikova, który w 1963 roku uzyskał metrykę synchroniczną o podobnych właściwościach.
Zobacz również
Oryginalne artykuły Kruskala i Szekeresa
-
[Kruskal 1960] (en) MD Kruskal , „ Maksymalne rozszerzenie metryki Schwarzschilda ” , Phys. Obrót silnika. , tom. 119 n O 5,wrzesień 1960, s. 1743-1745 ( DOI 10.1103 / PhysRev.119.1743 , Bibcode 1960PhRv..119.1743K , podsumowanie ).
-
[Szekeres 1960] (en) G. Szekeres , „ O osobliwościach riemannowskiej rozmaitości ” , Wyd. Matematyka. (grudzień) , tom. 7,1960, s. 285-301 ( kod bib 1960PMatD...7.285S ).
Bibliografia
-
[Hobson, Efstathiou i Lasenby 2010] MP Hobson , GP Efstathiou i Lasenby ( tłum. Z Engl. Według L. Villain , rev. Według R. Taillet ,) Ogólnej Teorii Względności [ " ogólnej teorii względności: wprowadzenie dla fizyków "], Bruksela , De Boeck Univ. , z wyjątkiem kol. , luty 2010, 1 st ed. , 1 tom. , XX -554 s. , chory. , 28 cm ( ISBN 978-2-8041-0126-8 , EAN 9782804101268 , OCLC 690272413 , zawiadomienie BNF n O FRBNF42142174 , SUDOC 140535705 , prezentacja w Internecie , czytać on-line ) , rozdz. 11 („Czarne dziury Schwarzschilda”), § 11.9 („Współrzędne Kruskala”), s. 261-267.
-
[Misner Thorne Wheeler 1973] (i), rozdz. W. Misner , KS Thorne i JA Wheeler , grawitacja [ "grawitacyjne"], San Francisco, WH Freeman , przystawki Coli. ,1973, 1 st ed. , 1 tom. , XXVI -1279 s. , chory. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 i 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , zawiadomienie BNF n O FRBNF37391055 , bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , czytać online ) , s. 827 i s. 831-836.
-
[Taillet, Villain i luty 2018] R. Taillet , L. Villain i P. Febvre , Słownik fizyki , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , z wyjątkiem kol. ,sty 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. maj 2008), 1 obj. , X -956 s. , chory. i ryc. 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , prezentacja online , czytaj online ) , sv Kruskal-Szekeres (dane kontaktowe), s. 414-415.
Link zewnętrzny
-
[Szeftel 2013] J. Szeftel , „ Wstęp do ogólnej teorii względności z matematycznego punktu widzenia ”, Gargantua base of the École polytechnique ,grudzień 2013, 79 pkt. , rozdz. 6 („Przykłady rozwiązań jednoznacznych”), rozdz. 6.2 („Rozwiązanie Schwarzschilda”), 6.2.1. („Rozwiązanie i maksymalne rozszerzenie”), s. 59-61 ( czytaj online ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">