Naprężenie ścinające

Naprężenie ścinające τ (grecką literę „tau”) to naprężenie mechaniczne stosowane równolegle lub stycznie do powierzchni materiału, w przeciwieństwie do normalnych naprężeń , które jest wykonywane prostopadle do powierzchni. Jest to stosunek siły do ​​powierzchni. Ma zatem wymiar ciśnienia wyrażony w paskalach lub w przypadku dużych wartości w megapaskalach (MPa).

Definicja

Ogólny wzór do obliczania naprężenia ścinającego jest następujący:

τ=faW,{\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {\ mathrm {F}} {\ mathrm {A}}},}

lub:

τ{\ displaystyle \ tau}(Grecka litera „tau”) oznacza naprężenie ścinające lub rozszczepienie  ; F jest przyłożoną siłą styczną; A jest obszarem przekroju stycznego do siły. Używane jednostki

Rozmiar	Międzynarodowe jednostki systemowe (uSI)	Jednostki konwencjonalne
		Inżynieria mechaniczna (mm kg s)	Inżynieria mechaniczna (2)	System anglosaski
fa	niutony (N)	niutony (N)	dekanewtons (daN)	funt-siła (lbf)
W	metr kwadratowy (m 2 )	milimetr kwadratowy (mm 2 )	centymetr kwadratowy (cm 2 )	cal kwadratowy (w 2 )
τ{\ displaystyle \ tau}	paskale (Pa)	megapaskale (MPa)	bary (bar)	psi

W przypadku pełnych materiałów sprężystych naprężenie ścinające τ jest związane ze zmianą kąta prostego γ o moduł ścinania G zależnością:

τ=γ⋅sol{\ Displaystyle \ tau = \ gamma \ cdot \ mathrm {G}}

Kąt γ to również przemieszczenie względne ( na obrazie). Δl/l{\ Displaystyle \ Delta l / l}

Moduł ścinania jest zwykle wyrażany w megapaskalach lub gigapaskalach. Kąt γ jest zawsze w radianach .

Naprężenie ścinające dla płynu

W przypadku każdego rzeczywistego płynu o lepkości występują naprężenia ścinające. Rzeczywiście, nawet jeśli płyn jest w ruchu, musi mieć zerową prędkość w strefie kontaktu z ciałami stałymi. Każda różnica prędkości w lepkim płynie powoduje naprężenia ścinające: cząsteczki płynu poruszające się szybciej są hamowane przez te, które poruszają się wolniej. Dlatego też konieczne jest użycie określonej siły, aby wprawić płyn w ruch.

Zależność między naprężeniem ścinającym a gradientem prędkości jest zapisana dla płynu Newtona  :

τ(y)=μ∂u∂y,{\ Displaystyle \ tau (r) = \ mu {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe y}},}

lub:

μ{\ displaystyle \ mu}= lepkość dynamiczna  ; u{\ displaystyle u}= prędkość płynu na wysokości  ;y{\ displaystyle y} y{\ displaystyle y} = współrzędna przestrzenna wskazująca położenie płynu.

Ograniczenia materiałów

W teorii belki

W teorią belek , więc na części smukłe (dłuższa niż szersza) występuje, gdy ścinanie jest siła ścinania: jeśli x jest oś belki, elementy T Y i / lub T, z, na spójność torsor mają charakteru zero.

Proste ścinanie

Ścinanie proste występuje, gdy przyłożymy dwie siły i prostopadle do osi, punkty przyłożenia są lekko przesunięte (o wielkość oznaczoną d na wykresie obok): jeśli są one po prawej stronie (do tej samej odciętej), mamy ściskanie a jeśli są bardzo daleko od siebie, mamy zgięcie. Zauważmy mimochodem, że skutkuje momentem obrotowym T × d , który musi być skompensowany w innym miejscu, to właśnie ten moment powoduje zginanie, jeśli d jest ważne i który różnicuje czyste ścinanie (teoretyczne ścinanie obejmujące torsor kohezji zawiera tylko siłę ścinającą) prostego ścinania (zawierającego moment zginający) T→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {T}}}}-T→{\ Displaystyle - {\ vec {\ mathrm {T}}}}

Między punktami przyłożenia siły następuje proste ścinanie; nie znajdujemy się zatem w warunkach stosowania zasady Saint-Venanta . Uważamy, że stres jest jednolity:

τ=TS{\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}

gdzie S jest obszarem odcinka prostego.

Materiał pozostaje w obszarze sprężystym tak długo, jak długo sprawdzane jest ścinanie:

τ ≤ R np

gdzie R np. jest elastyczną granicą poślizgu. Jest to związane z ograniczeniami sprężystości na rozciąganie (R E ) i na ściskanie (r ec ) poprzez:

Rmisol=k01+k0⋅Rmi{\ Displaystyle \ mathrm {R_ {eg}} = {\ Frac {k_ {0}} {1 + k_ {0}}} \ cdot \ mathrm {R_ {e}}}

z

k0=RmivsRmi{\ Displaystyle k_ {0} = {\ Frac {\ mathrm {R_ {ec}}} {\ mathrm {R_ {e}}}}}.

Zazwyczaj:

• dla stali miękkich (R e ≤ 270  MPa ) i stopów aluminium: R np. = 0,5 × R e  ;
• dla stali półtwardych (320 ≤ R e ≤ 500  MPa ): R np. = 0,7 × R e  ;
• dla stali twardych (R e ≥ 600  MPa ) i żeliwa: R np. = 0,8 × R e .

W celu walidacji projektu na ogół stosuje się współczynnik bezpieczeństwa s . Walidacja w stanie granicznym nośności (ULS) jest następnie wyrażana przez warunek

τ ≤ R pg

gdzie R pg to praktyczna odporność na poślizg, R pg = R eg / s .

Walizka do gięcia

W przypadku zginania ( d „dostatecznie duże”) naprężenie nie jest już jednorodne: w warunkach zasady Saint-Venanta (a więc daleko od punktów przyłożenia sił), warunki równowagi narzucają naprężenie na swobodna powierzchnia jest prostopadła do tej powierzchni, a zatem τ = 0 w górę iw dół, a maksymalna na włóknie neutralnym .

W teorii Eulera-Bernoulliego ścinanie jest pomijane przy zginaniu. Jest on natomiast uwzględniony w teorii Tymoszenki (dla grubych belek).

Skrzynia skrętna

Podczas skręcania materiał poddawany jest czystemu ścinaniu.

W przypadku części zamkniętego przekroju walcowego jest to kwestia równomiernego skręcenia. Naprężenie jest zerowe w środku (z obojętnym włóknem) i maksymalne na obrzeżach. To maksymalne naprężenie można obliczyć za pomocą:

τmax=MtVS{\ Displaystyle \ tau _ {\ max} = {\ Frac {\ mathrm {M_ {t}}} {\ mathrm {C}}}}

lub

• M t jest momentem obrotowym;
• C to moduł sprężystości przy skręcaniu, zależny od geometrii przekroju.

Jednak w przypadku profili zamkniętych ( o kształtach wypukłych ) naprężenie styczne jest wyrażane jako funkcja grubości ( t) w następujący sposób :

τja=Tmire/(2Wkt){\ Displaystyle \ tau _ {i} = T_ {ED} / (2A_ {k} t)}

taki, że jest to obszar konturu narysowany w połowie grubości ściany.Wk{\ displaystyle A_ {k}}

W teorii płyt

W teorii płyt, gdy izoluje się element blachy, konieczne jest zdefiniowanie ścinania na dwóch parach przeciwległych ścian. Jeśli oś z jest prostopadła do płyty, nazywa się q x siłą ścinającą działającą na powierzchnię prostopadłą do osi x , a q y siłą ścinającą działającą na powierzchnię prostopadłą do osi y . W przypadku zginania, rozkład wyprysków τ xz ( z  ) i τ yz ( z  ) jest identyczny jak w przypadku zginanej belki.

Przykładowe aplikacje

W inżynierii mechanicznej przypadki uszkodzeń ścinania dotyczą głównie osi. Istotnym punktem jest liczenie ściętych odcinków.

W przypadku połączenia wspornikowego (typowy przypadek zawiasu ) występuje tylko jeden odcinek ścinany. Jeśli oś ma średnicę d , ścinany obszar jest po prostu

S = π d 2 /4.

W przypadku połączenia widełkowego część musi złamać się w dwóch miejscach, tak aby powstały dwie ścinane sekcje. Dlatego ścinany obszar jest

S = 2 x π d 2 /4. Oś przegubu

Siła N naraża oś na ścinanie w dwóch odcinkach S wyznaczonych przez zespół cięgna i widełek (rys. 1).

Naprężenie ścinające jest: , τ=NIES{\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {S}}}}

albo: . S=πre24{\ Displaystyle \ mathrm {S} = {\ Frac {\ pi d ^ {2}} {4}}}

Montaż nitów i śrub

Połączenia nitowane i skręcane są połączeniami klejonymi. To adhezja przeciwstawia się siłom, jeśli projekt jest prawidłowy, ścinanie nigdy nie powinno być. Jeśli jednak nie można było wywierać wystarczającej siły docisku (np. W przypadku wkrętów do drewna), należy zwymiarować ze ścinaniem.

W przypadku czystego ścinania wzór ma zastosowanie do każdej sekcji (rys. 3 ma dwie sekcje, rys. 2 i 4 mają cztery sekcje poddane ścinaniu). τ=NIES{\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {S}}}}

Nacisk na gwinty śrub

Na rysunku 5 maksymalna siła styczna (siła zaciskająca) przyłożona do trzpienia śruby będzie równa iloczynowi przekroju pierścieniowego (obwód na dole gwintu przez użyteczną wysokość nakrętki) pomnożoną przez wartość odporność na ścinanie materiału.

W mechanice mediów ciągłych

Składowe tensora naprężeń

Bryła jest opisana w bezpośrednim ortonormalnym układzie współrzędnych . Rozważmy sześcian materii o boku a, którego ściany są prostopadłe do osi układu współrzędnych. Policzmy jego twarze: (O,mi→1,mi→2,mi→3){\ Displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, {\ vec {e}} _ {3})}

twarze i oraz - i to ściany normalne do , zaczynając od środka sześcianu, punkt do i , powierzchnia - i będąca przeciwległą ścianą.mija→{\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}}}mija→{\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}}}

Na powierzchni 1 wywierany jest wektor siły . Styczna składowa tej siły powoduje ścinanie. Jeśli wektor siły ma dla komponentów fa→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1}}T→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {1}}

fa→1=(fa11fa21fa31){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} = {\ początek {pmatrix} \ mathrm {F} _ {11} \\\ mathrm {F} _ {21} \\\ mathrm { F} _ {31} \ end {pmatrix}}}

wtedy wektor styczny ma dla komponentów

T→1=(0fa21fa31){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {1} = {\ początek {pmatrix} 0 \\\ mathrm {F} _ {21} \\\ mathrm {F} _ {31} \ koniec {pmatrix}}}

w ten sposób definiuje się dla powierzchni 1 dwie składowe naprężenia ścinającego:

σ 21 = F 21 / a 2 σ 31 = F 31 / a 2

Ogólnie dla powierzchni j definiujemy dwie cje σ ij , i ≠ j . Naprężenia te są składowymi tensora naprężeń. Czasami oznaczamy je τ ij , i ≠ j .

Jeśli element materii jest w równowadze, nie może się poruszać. Naprężenie wywierane na ścianę - j jest więc przeciwieństwem tego wywieranego na j  : σ i -j = -σ ij  : są one symetryczne.

Co więcej, te ograniczenia tworzą parę. Jednak w stanie równowagi element materii nie może się obracać, więc mamy przeciwną parę (σ ji , σ j -i ). Wnioskujemy, że tensor naprężeń jest symetryczny:

σ ji = σ ij .Krąg Mohra

W przypadku czystego ścinania okrąg Mohra jest wyśrodkowany na początku znaku referencyjnego.

Zobacz też

Uwagi i odniesienia

1. D. Spenlé i R. Gourhant , Przewodnik po obliczeniach w mechanice: kontrolowanie wydajności systemów przemysłowych , Paryż, Hachette,2003, 272  pkt. ( ISBN  2-01-168835-3 , uwaga BnF n o  FRBNF39021238 ) , str.  191

Powiązane artykuły

• Moduł ścinania
• Wytrzymałość materiałów
• Strzyżenie