Budowa pięciokąta foremnego za pomocą linijki i cyrkla jest jednym z pierwszych nietrywialnych konstrukcji (po równobocznego trójkąta i kwadratu ), które mogą zostać zrealizowane dzięki aksjomatów Euklidesa .
Dokładna konstrukcja pięciokąta foremnego obejmuje złoty podział, a zwłaszcza jego geometryczny odpowiednik: złoty trójkąt . Euclid proponuje konstrukcję pięciokąta foremnego wpisanego w dany okrąg.
Ale istnieją inne szybsze metody konstrukcji, z których niektóre są omówione poniżej.
Inni matematycy lub geodeci również oferują przybliżone konstrukcje, które można uzyskać za pomocą pojedynczego odstępu kompasu. Dzieje się tak na przykład Abu l-Wafa w swojej książce na temat niezbędnych faktycznie rzemieślników budujących ( X th century) lub Mathias Roriczer w jego deutsch Geometria (1486), zbudowany przez Albrechta Dürera (1525).
Euklides konstruuje pięciokąta foremnego ( równoboczny i equiangle ) wpisany w okrąg. Jego podstawowym elementem jest złoty trójkąt : trójkąta równoramiennego, którego kąty podstawy są podwójnie kąta u góry (a więc kąta przy wierzchołku jest 5 p kąta płaskiego, 180/5 = 36).
Na załączonym rysunku, I jest punktem środkowym [AC], AC = AB, IB = ID, AD = AE = BF. Euclid pokazuje, że trójkąt ABF jest złotym trójkątem przy użyciu dość długich właściwości:
Obecnie demonstracja jest prostsza, ponieważ jeśli zanotujemy AC = 1, otrzymamy
Dlatego wymiary trójkąta ABF wynoszą 1, 1 i . To rzeczywiście złoty trójkąt.
Euclid udowadnia, że potrafi skonstruować złoty trójkąt wpisany w okrąg.
Animacja wykorzystuje następującą właściwość: w powyższym pięciokącie ABCDE, wpisanym w okrąg o promieniu 1, możemy wykazać, używając twierdzenia Pitagorasa, że boki AC i AB mają odpowiednie długości:
Rzeczywiście, AC jest bokiem kąta prostego w trójkącie prostokątnym AA'C, którego dwa inne wymiary to 2 i .
Jeśli chodzi o DC, obecność kątów prostych w czworoboku ACA'D pozwala stwierdzić, że AA '× DC = 2 × AC × A'C
W przedstawionej animacji ostatnie dwa skonstruowane okręgi mają promienie AM i AN (patrz rysunek obok). Jednak AM jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego MOA, którego dwa inne wymiary to 1 i . Zatem twierdzenie Pitagorasa pozwala udowodnić, że AM rzeczywiście odpowiada długości AB.
Jeśli chodzi o AN, jest to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ONA, którego pozostałe wymiary wynoszą 1, a zatem AN dobrze odpowiada długości AC.
Możemy znacznie uprościć konstrukcję Euclid, zachowując tę samą zasadę: buduj trójkąty ze złota lub srebra.
D, D1, D2, D3, D4 tworzą regularny pięciokąt.
Rzeczywiście, sprawdzamy, czy BZT2 jest złotym trójkątem, a BZT1 srebrnym trójkątem (ich podstawy to odpowiednio R / φ i φR, podczas gdy ich boki to R ).
Demonstracja :
Pokażmy, że OC = cos (2 ) = .
Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AOJ daje AJ 2 = (1/2) 2 + 1 2 .
Lub AB = AJ (promienie niebieskiego koła) i OB = AB - AO. Stąd OB = AJ - (1/2) lub OB = , stąd wynik, ponieważ OC = 1/2 OB.
Dowód: Jeśli nazywamy r promień okręgu wpisanego możemy udowodnić dzięki twierdzenie Pitagorasa tym . Skąd to się bierze, skąd bierze się złoty podział. Trójkąt OEH jest wówczas złotym trójkątem, a zatem kąt EOM wynosi 72 ° (kąt w środku pięciokąta foremnego).
W książce instrukcji pomiaru, za pomocą linijki i cyrkla, linii, płaszczyzn i brył , Albrecht Dürer proponuje tę konstrukcję, którą uważa za dokładne. Zainteresowanie tą konstrukcją wynika z faktu oszczędności zastosowanych środków: wszystkie narysowane okręgi mają ten sam promień.
Jednak narysowany pięciokąt jest rzeczywiście równoboczny, ale nie jest równoboczny : kąty bazowe wynoszą w przybliżeniu 108,35 ° zamiast oczekiwanego 108 °, a kąt na górze jest nieco większy niż 109 °. Dowód ten dostarczają geodeci Giovanni Battista Benedetti i Clavius .
Czerpiąc inspirację z budowy enneagonu, możemy narysować przybliżoną konstrukcję pięciokąta foremnego z linijką i kompasem według metody identycznej jak podana dla siedmiokąta .
Narysuj okrąg ze środkiem O o promieniu OX, o kącie AÔB = 120 °. Narysuj łuk okręgu o promieniu XY i środku X Narysuj łuk okręgu o promieniu YX i środku Y. Te łuki przecinają się w U Narysuj linie (UA) i (UB). Tną średnicę (XY) w C i D Od punktu C, na dowolnej prostej, użyj kompasu z pięcioma równymi segmentami CE = EF = FG = GH = HI Narysuj linię (ID) i narysuj do niej równoległość przechodzącą przez G (używając linijki i kompasu). Tnie (XY) w G '. Narysuj linię (UG '). Przecina ona okrąg w punkcie G' '. Odnieś się do kompasu wzdłuż okręgu na długość AG '', a następnie znajdujemy pięć wierzchołków pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg.Uwaga: aby stworzyć pięciokąt zawierający punkt B, należałoby obrać punkt F '.
Przy takiej konstrukcji kąt w środku AOG 'wynosi około 72,14 stopnia zamiast oczekiwanych 72, czyli względny błąd 1,92 na tysiąc.
Ta metoda umożliwia utworzenie dowolnego regularnego wielokąta. Wystarczy podzielić segment CD na tyle identycznych sektorów, ile jest pożądanych boków wielokąta. Następnie bierzemy trzeci punkt zaczynając od C (G '), rysujemy odcinek, który łączy go z U i otrzymujemy G' 'na przecięciu koła i tego odcinka (w półpłaszczyźnie niższej niż XY). Błąd kąta środkowego dla tej metody waha się od 1,92 do 11,7 na tysiąc w zależności od liczby boków.