Stała De Bruijna-Newmana

De Bruijn Newman stałym , oznaczony Λ , to matematyczny stałe i określone przez zer o określonej funkcji H (X, oo ), gdzie λ jest rzeczywistym parametrem i z jest złożona zmienna . H (λ, z) ma tylko zera rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy λ ≥ Λ.

W 2018 roku wykazano, że 0 ≤ Λ ≤ 0,22.

Stała jest ściśle związana z hipotezą Riemanna dotyczącą zer funkcji zeta Riemanna . Krótko mówiąc, hipoteza Riemanna jest równoważna z następującą hipotezą: Λ ≤ 0. Jeżeli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to Λ = 0.

Poszczególne analityczne wyrażenia H.

H (λ, z ) jest transformatą Fouriera exp (λ x 2 ) Φ ( x ):

{\ Displaystyle H (\ lambda, z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {\ lambda u ^ {2}} \ Phi (u) \ cos (zu) \ du}

gdzie jest szybko malejąca funkcja: $\ Phi$

{\ Displaystyle \ Phi (u) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} (2 \ pi ^ {2} n ^ {4} e ^ {9u} -3 \ pi n ^ {2} e ^ {5u}) \ exp (- \ pi n ^ {2} e ^ {4u}).}

H (0, x ) = ξ (1/2 + i x ), gdzie ξ oznacza funkcję Riemanna xi

\ xi (s) = \ frac12 s (s-1) \ pi ^ {- s / 2} \ Gamma (s / 2) \ zeta (s)

H ma reprezentację Wiener-Hopf:
- dla λ ≥ 0, ${\ Displaystyle \ xi (1/2 + {\ rm {i}} z) = A {\ Frac {\ sqrt {\ pi}} {\ lambda}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- (xz) ^ {2} / (4 \ lambda)} H (\ lambda, x) {\ rm {d}} x,}$
- dla λ <0,

{\ displaystyle H (z, \ lambda) = {\ Frac {B {\ sqrt {\ pi}}} {\ lambda}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp \ left ({\ frac {-1} {4 \ lambda}} (xz) ^ {2} \ right) \ xi (1/2 + ix) \, dx,}

z i

{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}

{\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}

gdzie A i B są rzeczywistymi stałymi.

Znajdowanie i przybliżanie

Majorant

Nicolaas Govert de Bruijn w 1950 roku wykazał, że Λ ≤ 1/2.

Ta górna granica nie uległa poprawie do 2008 roku, kiedy Ki, Kim i Lee wykazali, że Λ <1/2, czyniąc nierówność surową.

W 2018 r 15 th Polymath Projekt pokazał, że Λ ≤ 0,22.

Mniejszy

Charles Michael Newman (nie) przypuszczał, że 0 ≤ Λ.

Obszerne obliczenia dotyczące Λ są wykonywane od 1987 roku i nadal są wykonywane:

Lata	Mniejszy z Λ
1987	–50
1990	–5
1992	–0,385
1994	−4,379 × 10 −6
1993	−5,895 × 10 −9
2000	−2,7 x 10 −9
2011	−1,145 41 × 10 −11
2018	0

Demonstracja w styczeń 2018 że 0 ≤ Λ zatem potwierdza hipotezę Newmana.

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu z angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ De Bruijn - stała Newmana ” ( patrz lista autorów ) .

(w) Haseo Ki-Young Kim i One Jungseob Lee, „ O stałej de Bruijn-Newman ” , Postępy w matematyce , tom. 222 n o 1,wrzesień 2009, s. 281–306 ( DOI 10.1016 / j.aim.2009.04.003 , Math Reviews MR2531375 , czytaj online ).
(in) DHJ Polymath, „ Efektywne przybliżenie przepływu ciepła Ewolucja funkcji Riemanna ξ i nowa górna granica dla stałej de Bruijna-Newmana ” , Research in the Mathematical Sciences , tom. 6, n O 3,wrzesień 2019( DOI 10.1007 / s40687-019-0193-1 ).
(w) George Csordas, TS Norfolk Richard S. Varga , „ Dolna granica dla stałej de Bruijna-Newmana Λ ” , Numerische Mathematik (w) , t. 52 N O 5,Wrzesień 1987, s. 483–497 ( DOI 10.1007 / BF01400887 ).
(w) Herman Riele you , „ Nowa dolna granica dla stałej de Bruijna-Newmana ” , Numerische Mathematik (w) , vol. 58, n o 1,Grudzień 1990, s. 661–667 ( DOI 10.1007 / BF01385647 ).
(w) TS Norfolk, A. Ruttan i Richard S. Varga , „A Lower Bound for the de Bruijn-Newman Constant Λ. II ” , w: Andrey Aleksandrovich Gonchar (en) (red.) And Edward B. Saff (en) (red.), Progress in Approximation Theory , Nowy Jork, Springer, rozdz. "Springer Series in Computational matematyki" ( N O 19)1992( DOI 10.1007 / 978-1-4612-2966-7_17 ) , str. 403–418.
(w) George Csordas, Wayne Smith i Richard S. Varga , „ Peers of zeros Lehmera, stała de Bruijna-Newmana Λ, and the Riemann Hypothesis ” , Constructive Approximation (in) , tom. 10, n o 1,Marzec 1994, s. 107-129 ( DOI 10.1007 / BF01205170 ).
(w) George Csordas, Andrew Odlyzko , Wayne Smith i Richard S. Varga , „ Nowa para zer Lehmera i nowa dolna granica dla stałej De Bruijna-Newmana Λ ” , Electronic Transactions on Numerical Analysis , vol. 1,Grudzień 1993, s. 104–111 ( czytaj online ).
(w) Andrew Odlyzko , " Ulepszona granica dla stałej de Bruijna-Newmana " , Numerical Algorithms , vol. 25,Wrzesień 2000, s. 293–303 ( DOI 10.1023 / A: 1016677511798 , czytaj online ).
(w) Yannick Saouter Xavier Gourdon i Patrick Demichel, „ Ulepszona dolna granica dla stałej de Bruijna-Newmana ” , Mathematics of Computation , tom. 80, n o 276,2011, s. 2281–2287 ( DOI 10.1090 / S0025-5718-2011-02472-5 , Recenzje matematyczne 2813360 ).
(w) Brad Rodgers i Terence Tao , „ Stała De Bruijna-Newmana jest nieujemna ”18 stycznia 2018 r( arXiv 1801.05914 ) .
(w) Terence Tao , „ Stała De Bruijn-Newman jest nieujemna ” , blog Terence Tao,19 stycznia 2018 r.

(en) NG de Bruijn , „ Korzenie całek trygonometrycznych ” , Duke Mathematical Journal , t. 17 N O 3,Wrzesień 1950, s. 197–226 ( DOI 10.1215 / S0012-7094-50-01720-0 , Math Reviews 0037351 , czytaj online ).
(en) CM Newman , „ Fourier przekształca się tylko z rzeczywistymi zerami ” , Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 61 N O 2Grudzień 1976, s. 245–251 ( DOI 10.1090 / S0002-9939-1976-0434982-5 , Recenzje matematyczne 0434982 ).

Zobacz też

Powiązany artykuł

Tabela stałych matematycznych

Link zewnętrzny

(en) Eric W. Weisstein , „ de Bruijn - Newman Constant ” , na MathWorld