Connectedness (matematyka)

Łączność jest pojęcie topologii , która formalizuje pojęcie „obiektu w jednym kawałku”. Mówi się, że obiekt jest połączony, jeśli jest wykonany z jednego „elementu”. W przeciwnym razie każdy z elementów jest połączonym składnikiem badanego obiektu.

Definicja

Niech E będzie przestrzenią topologiczną . Poniższe cztery twierdzenia są równoważne:

E nie jest połączeniem dwóch rozłącznych, niepustych otworów ;
E nie jest połączeniem dwóch rozłącznych niepustych zamkniętych ;
jedyne otwarte i zamknięte z E to ∅ i E ;
każdy ciągły mapie z E na zestaw dwóch elementów z dyskretnych topologii jest stała.

Jeśli jeden z tych równoważnych warunków jest spełniony, mówimy, że przestrzeń E jest połączona .

Ostatnia z tych czterech charakterystyk jest często najwygodniejsza w użyciu do zademonstrowania wyniku połączenia.

Mówi się, że część X przestrzeni topologicznej E jest połączona, jeśli jest przestrzenią połączoną, gdy jest wyposażona w topologię indukowaną .

Łączność i liczby rzeczywiste

Połączone części ℝ to interwały .

Nieruchomości

Pojęcie więzi jest wyraźnie niezmienne w przypadku homeomorfizmów .
Dowolny zestaw wyposażony w zgrubną topologię jest podłączony. Wynika z tego, że pusty zestaw jest połączony, jak również każda przestrzeń zredukowana do punktu .

Związek, przecięcie, przyczepność, produkt

Jeśli X i Y są dwiema połączonymi częściami przestrzeni topologicznej, generalnie suma i przecięcie X i Y nie są połączone.

Z drugiej strony połączenie dwóch połączonych części jest połączone, gdy tylko mają wspólny punkt (wystarczy nawet, aby jedna z dwóch napotkała przyczepność drugiej). Bardziej ogólnie :

Dla każdej rodziny (skończonej lub nie) połączonych części, których przecięcie nie jest puste, związek jest połączony.

Przykłady zastosowań:

każda część połączona łukami jest połączona (jako suma ścieżek w tej części, z których wszystkie mają ten sam stały początek);
jeśli jest sekwencją połączonych części, tak że każda z nich ma wspólny punkt z następną, to związek jest połączony (jako zjednoczenie, które są połączone przez indukcję). $(X_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(\ forall n \ in \ mathbb {N}, X_ {n} \ cap X _ {{n + 1}} \ neq \ varnothing)$ $\ cup _ {{n \ in \ mathbb {N}}} X_ {n}$ $Y_ {n}: = \ cup _ {{k \ leq n}} X_ {k}$

Jeśli A jest połączoną częścią E, to jej przyleganie A jest połączone, ponieważ ogólnie rzecz biorąc, dowolna część B z E taka, że A ⊂ B ⊂ A jest połączona.

Twierdzenie rozliczeniowych zwyczajów: w przestrzeni topologicznej, to odnośne części, która spełnia zarówno część C i komplementarnej musi dopasować granicę na C .

Produkt bez pustych przestrzeni jest połączony, gdy (i tylko w przypadku), każdy współczynnik jest. Mówiąc bardziej ogólnie, całkowita przestrzeń wiązki podstawowej i powiązanego włókna jest połączona.

Powiązane elementy

Biorąc pod uwagę punkt x przestrzeni topologicznej E , połączenie wszystkich połączonych części zawierających x jest połączone. Jest to największa (w sensie relacji inkluzji) ze wszystkich połączonych części zawierających x . Jest oznaczony przez C x i nazywa się podłączone urządzenie z X w E . Połączone elementy punktów E są zatem maksymalnymi połączonymi częściami do włączenia (jest tylko jeden, jeśli przestrzeń jest połączona). Tworzą partycję o E ; tj: są klasy równoważności relacji na E . Mówi się, że dwa punkty E są połączone, jeśli znajdują się w tym samym połączonym elemencie.

Jako minimum mamy C x = { x }; oznacza to, że { x } jest jedynym połączonym podzbiorem E zawierającym x, ale niekoniecznie x jest odosobnionym punktem (patrz przykłady). Jeśli C x = { x } dla każdego punktu x z E , to znaczy, że E jest całkowicie nieciągły . Co najwyżej mamy C x = E ; tak jest w przypadku podłączenia E.

Połączone komponenty są zawsze zamknięte, ale nie zawsze otwarte (są wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń jest ich sumą topologiczną ); jednak:

połączone elementy lokalnie połączonej przestrzeni są otwarte;
każda połączona niepusta część, która jest zarówno zamknięta, jak i otwarta, jest komponentem połączonym.

Przykłady

ℝ * ma dwa połączone komponenty: ℝ + * i ℝ - *.
Mówiąc bardziej ogólnie, grupa GL ( n , ℝ) macierzy odwracalnych o rozmiarze n ma dwie połączone składowe, określone przez znak wyznacznika .
W ℕ i bardziej ogólnie w przestrzeni wyposażonej w dyskretną topologię, połączonymi składnikami są singletony.
W ℚ żaden punkt nie jest izolowany, ale połączone elementy są również singletonami. To samo zjawisko występuje w całym Cantorze . Są to zatem przykłady całkowicie nieciągłych przestrzeni .
Każde otwarcie ℝ jest lokalnie połączone (ponieważ ℝ jest), zatem jest związkiem ( a zatem połączeniem z najbardziej policzalnym ) $\cup k \inκ I k$ rozłącznych niepustych otwartych przedziałów: jego połączonych składników. Jest więc homeomorficzna dla ℝ × $κ$ (gdzie $κ$ jest wyposażone w dyskretną topologię ).

Łączność i ciągłość

Zgodnie z definicją przestrzeń jest połączona, gdy jej obraz przez ciągłą mapę nigdy nie jest przestrzenią dyskretną {0, 1}. Jednak ta ostatnia nie jest ( a fortiori ) połączona. Bardziej ogólnie :

Każdy ciągły obraz powiązanego jest powiązany.

To znaczy, jeżeli E jest połączony układ i f ciągłego odwzorowania E w przestrzeni F , a F ( E ) jest powiązany podzbiór F . Rzeczywiście, jeśli g jest ciągłą mapą f ( E ) w dyskretnej przestrzeni {0, 1}, to g ∘ f - ciągła na połączonym E - jest stała, więc g jest stała. W szczególności :

jest to dowód na to, że każda ścieżka jest połączona - co odpowiada przypadkowi, w którym E jest rzeczywistym przedziałem - oraz twierdzenie o wartościach pośrednich (co jest szczególnym przypadkiem ścieżki w ℝ) pod warunkiem wcześniejszego udowodnienia że każdy rzeczywisty przedział jest połączony, jak wskazano powyżej , bez korzystania z tego twierdzenia;
każdy iloraz połączonego jest połączony.

Lokalnie stałe aplikacje

Definicja - Mapę f przestrzeni topologicznej X w zbiorze Y mówi się, że jest lokalnie stała (en) na X, jeśli dowolny punkt X ma sąsiedztwo, w którym f jest stałe.

Lokalnie stała funkcja na X niekoniecznie jest stała względem X , ale dzieje się tak, jeśli przestrzeń X jest połączona, jak pokazuje poniższe twierdzenie.

Twierdzenie - Jeżeli f jest lokalnie w stałym X , gdy jest stały w każdym połączonego składnika X .

Odwrotność tego twierdzenia jest generalnie fałszywa (przyjmijmy, że X = ℚ), ale prawda, jeśli X jest lokalnie połączony.

Dwie podstawowe zastosowania analizy

Aby pokazać, że właściwość jest prawdziwa dla wszystkich punktów części, o których wiemy, że są połączone, pokazujemy, że zbiór punktów, który ją spełnia, jest otwarty i zamknięty.

To właśnie robimy dla twierdzenia o jednoznaczności globalnych rozwiązań równania różniczkowego i dla zasady rozszerzenia analitycznego .

Zastosowań jest wiele. Linia ℝ i płaszczyzna ℝ 2 nie są homeomorficzne: gdyby tak było, linia pozbawiona punktu byłaby homeomorficzna względem płaszczyzny pozbawionej punktu. Ale druga przestrzeń jest powiązana, pierwsza nie.

Ten sam argument pokazuje, że okrąg S 1 nie jest homeomorficzny w przedziale.

Ten argument nie dotyczy wyższych wymiarów. Jeśli chcemy pokazać, używając tych samych pomysłów, że ℝ 2 i ℝ 3 nie są homeomorficzne, musimy wprowadzić prostą łączność (to znaczy łączność za pomocą łuków przestrzeni koronki ). Wynik jest nadal prawdziwy dla wyższych wymiarów , ale wymaga potężniejszych narzędzi, takich jak homologia do demonstracji .

Możemy również przytoczyć, jako zastosowanie łączności, analizę zagadki trzech domów . Celem tej zagadki jest połączenie trzech punktów planu utożsamianych z domami z trzema innymi, utożsamianymi z dostawcami (woda, gaz i prąd). Każdy dom musi być powiązany z trzema dostawcami, a linki nie mogą się krzyżować. Dowód niemożności rozdzielczości opiera się na twierdzeniu Jordana , które wyraża się w kategoriach łączności.

W grupie topologicznej G połączony składnik tożsamości, zwany składnikiem neutralnym (en) i oznaczony jako G 0 , jest wyróżnioną podgrupą . Jak każdy połączony komponent , G 0 jest zamknięty w G , a ponadto otwarty, jeśli G jest połączony lokalnie (w szczególności, jeśli G jest lokalnie połączony łukami, w szczególności jeśli G jest grupą Lie ). Grupa ilorazów G / G 0 (wyposażona w topologię ilorazową ) jest całkowicie nieciągła ; jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy G 0 jest otwarte.

Następująca właściwość jest bardzo przydatna do wyświetlania wyników łączności:

Niech G będzie grupą topologiczną, a H podgrupą. Jeśli grupa H i przestrzeń G / H są połączone, to samo G jest połączone.

Uwagi i odniesienia

Ta właściwość jest zademonstrowana w rozdziale Wikiversity dotyczącym łączności ( patrz poniżej ).
(w) Gregory Naber, Topology, Geometry, and Gauge Fields: Foundations , Springer ,2013( czytaj online ) , s. 81.
Zobacz na przykład to poprawione ćwiczenie na Wikiwersytecie .
(w) Markus Stroppel, Lokalnie zwarte grupy , EMS ,2006( czytaj online ) , s. 55.
(en) O. Ya. Viro (en) , OA Ivanov, N. Yu. Netsvetaev and VM Kharlamov (de) , Elementary Topology , AMS ,2008( czytaj online ) , s. 192 i 201.

Zobacz też

Powiązane artykuły

Dobrze połączona przestrzeń
Space unicohérent (pl)
Twierdzenie Phragmén-Brouwer (en)

Bibliografia

Georges Skandalis , topologia i analiza 3 rd roku , Dunod , coll. „Sciences Sup”, 2001
Claude Wagschal, Topologia i analiza funkcjonalna , Hermann , pot. „Metody”, 1995