Ostateczność
Rozważmy zbiór A wyposażony w relację binarną ≤. Mówi się, że podzbiór B A jest kumulatywny, jeśli:
dla każdego elementu a z A istnieje element b z B taki, że a ≤ b ;
∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b .
Cofinality z serii A jest liczność najmniejszej cofinal podgrupy A.
CO - ostateczności z graniczną jest najmniejsza porządkowej tak, że nie jest nieodwzorowaną funkcji . Ta liczba porządkowa jest zwykle zapisywana lub .
α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}fa:β→α{\ displaystyle f: \ beta \ rightarrow \ alpha}cof(α){\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}por(α){\ displaystyle \ operatorname {cf} (\ alpha)}
Intuicyjnie, to najmniejsza liczba kroków, jakie należy wykonać, aby dojść do końca .
cof(α){\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}α{\ displaystyle \ alpha}
Na przykład możemy przejść do końca w krokach z funkcją tożsamości, ale nie możemy przejść do końca w skończonej liczbie kroków. Więc mamy .
ℵ0{\ displaystyle \ aleph _ {0}}ℵ0{\ displaystyle \ aleph _ {0}}ℵ0{\ displaystyle \ aleph _ {0}}cof(ℵ0)=ℵ0{\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {0}) = \ aleph _ {0}}
Kardynał, który jest równy jego współinowości, jak tutaj , nazywany jest zwykłym kardynałem .
ℵ0{\ displaystyle \ aleph _ {0}}
Podobnie, możemy w nim iść , ale nie możemy tego zrobić w policzalnej liczbie kroków. Więc mamy ; który jest zatem również zwykłym kardynałem.
ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}vsofa(ℵ1)=ℵ1{\ displaystyle cof (\ aleph _ {1}) = \ aleph _ {1}}
Ale możemy przejść do kroku z funkcją zdefiniowaną przez , tak .
ℵω{\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}ℵ0{\ displaystyle \ aleph _ {0}}fa:ℵ0→ℵω{\ displaystyle f: \ aleph _ {0} \ rightarrow \ aleph _ {\ omega}}fa(nie)=ℵnie{\ displaystyle f (n) = \ aleph _ {n}}vsofa(ℵω)=ℵ0{\ Displaystyle cof (\ aleph _ {\ omega}) = \ aleph _ {0}}
Kardynał, który nie jest regularny, to znaczy, który nie jest równy jego współfinałowi, jak tutaj nazywamy kardynałem liczby pojedynczej .
ℵω{\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}
Nieruchomości
Dla dowolnej liczby porządkowej granicznej mamy następujące właściwości:
α{\ displaystyle \ alpha}
-
cof(α){\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)} istnieć;
-
cof(α){\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}jest kardynałem ;
-
cof(α){\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}Innymi słowy , jest regularny ;cof(cof(α))=cof(α){\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ operatorname {cof} (\ alpha)) = \ operatorname {cof} (\ alpha)}
- Jeśli i wtedy jest ograniczony;X⊂α{\ Displaystyle \ mathrm {X} \ podzestaw \ alfa}|X|<cof(α){\ displaystyle | \ mathrm {X} | <\ operatorname {cof} (\ alpha)}X{\ displaystyle \ mathrm {X}}
- jeśli jest limitem porządkowym, to ; na przykład .β{\ displaystyle \ beta}cof(ℵβ)=cof(β){\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {\ beta}) = \ operatorname {cof} (\ beta)}cof(ℵℵ1)=cof(ℵ1)=ℵ1{\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {\ aleph _ {1}}) = \ operatorname {cof} (\ aleph _ {1}) = \ aleph _ {1}}
Dla każdego nieskończonego kardynała mamy następujące właściwości:
κ{\ displaystyle \ kappa}
-
κ<κcof(κ){\ Displaystyle \ kappa <\ kappa ^ {\ operatorname {cof} (\ kappa)}}, jest konsekwencją twierdzenia Königa ;
- dla każdej Cardinal , ; bo i otrzymujemy , dlatego mamy w szczególności ; jest to również konsekwencja twierdzenia Königa.λ{\ displaystyle \ lambda}cof(λκ)>κ{\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ lambda ^ {\ kappa})> \ kappa}λ=2{\ displaystyle \ lambda = 2}κ=ℵ0{\ displaystyle \ kappa = \ aleph _ {0}}cof(2ℵ0)>ℵ0{\ displaystyle \ operatorname {cof} (2 ^ {\ aleph _ {0}})> \ aleph _ {0}}2ℵ0≠ℵω{\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \ neq \ aleph _ {\ omega}}
Współfinałowość kardynałów pozwala uwydatnić pewne różnice w zachowaniu. Na przykład, w porównaniu z potęgowaniem kardynalnym, William B. Easton (in) zasadniczo udowodnił, że dla zwykłych kardynałów jedynymi możliwymi do udowodnienia ograniczeniami w funkcji są i . W przypadku pojedynczych kardynałów sytuacja jest inna. W szczególności Jack Silver (in) wykazał, że jeśli jest to pojedyncze i niezliczone współ-ostateczność, a jeśli na wszystko , to .
ZfaVS{\ displaystyle \ mathrm {ZFC}}fa(κ)=2κ{\ Displaystyle f (\ kappa) = 2 ^ {\ kappa}}κ≤λ⇒fa(κ)≤fa(λ){\ Displaystyle \ kappa \ równoważnik \ lambda \ Rightarrow f (\ kappa) \ równoważnik f (\ lambda)}cof(fa(κ))>κ{\ displaystyle \ operatorname {cof} (f (\ kappa))> \ kappa} κ{\ displaystyle \ kappa}λ<κ{\ Displaystyle \ lambda <\ kappa}2λ=λ+{\ Displaystyle 2 ^ {\ lambda} = \ lambda ^ {+}}2κ=κ+{\ Displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+}}
Uogólnienia
Możemy uogólnić pojęcie współfinałowości na dowolny zbiór z góry uporządkowany : jeśli jest to zbiór z góry uporządkowany, to współfinałowość jest najmniejszym kardynałem z części kinalowej w , tj. Takiej , że dla wszystkiego istnieje takie, że .
(W,≤){\ displaystyle (A, \ równoważnik)}W{\ displaystyle \ mathrm {A}}b{\ displaystyle \ mathrm {B}}W{\ displaystyle \ mathrm {A}}w∈W{\ displaystyle a \ in \ mathrm {A}}b∈b{\ displaystyle b \ in \ mathrm {B}}w≤b{\ displaystyle a \ leq b}
Na przykład, jeśli zbiór funkcji jest sam w sobie wyposażony w preorder zdefiniowany przez wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej z określonej rangi, to kowalność tego zamówienia w przedsprzedaży, ogólnie odnotowana i nazywana liczbą dominującą ( angielski : liczba dominująca ) , jest kardynałem między i , ale jego dokładnej wartości nie można określić w zwykłej aksjomacie teorii mnogości, ZFC .
W{\ displaystyle \ mathrm {A}}ω{\ displaystyle \ omega}≤∗{\ displaystyle \ leq ^ {*}}fa≤∗sol{\ displaystyle f \ leq ^ {*} g}fa(nie)≤sol(nie){\ Displaystyle f (n) \ równoważnik g (n)}nie{\ displaystyle n}re{\ displaystyle {\ mathfrak {d}}}ℵ1{\ displaystyle \ aleph _ {1}}2ℵ0{\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}
Teorii CPF (w) wprowadzono Saharon Shelah , badając możliwe cofinalités z ultraproducts niektórych uporządkowanych zestawy. To pozwoliło mu zademonstrować nowe nierówności w potęgowaniu kardynalnym, jak na przykład .
ℵωℵ0≤2ℵ0+ℵω4{\ displaystyle \ aleph _ {\ omega} ^ {\ aleph _ {0}} \ leq 2 ^ {\ aleph _ {0}} + \ aleph _ {\ omega _ {4}}}
Bibliografia
-
MyiLibrary ( usługa online) , Teoria mnogości , Springer ( ISBN 978-3-540-44085-7 i 3-540-44085-2 , OCLC 757105116 , czytaj online )
-
(w) William Bigelow Easton, „ Powers of regular cardinals ” , Annals Of Mathematical Logic , t. 1, N O 21970, s. 139-178 ( czytaj online )
-
(w) Jack Silver, „ On the singular cardinals problem ” , Proceedings of the International Congress of Mathematicians , tom. 1,1975(265-268)
-
Shelah Saharon , kardynał arytmetyka , Clarendon Press,1 st styczeń 2002, 481 str. ( ISBN 978-0-19-853785-4 , OCLC 909512480 , czytaj online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">