Beat (akustyczny)

Zasady składania dwóch fal sinusoidalnych obowiązują niezależnie od częstotliwości każdej z nich. Wydają słyszalny rytm tylko wtedy, gdy

• natężenie dźwięku obu składników jest w przybliżeniu równe, tak aby jeden nie przesłaniał drugiego;
• rytm nie jest zbyt wolny (nie słychać okresu dłuższego niż 5 sekund);
• rytm nie jest zbyt szybki (gdy jego częstotliwość wzrasta, w końcu dostrzegamy te dwie składowe).

Kiedy nie odbieramy rytmu, znajdujemy się w bardziej ogólnym przypadku wynikowego dźwięku .

Wykorzystanie zjawiska trzepotania

Pokonaj harmoniczne

Dźwięki emitowane przez instrumenty muzyczne nie są czystymi sinusoidami emitowanymi przez instrumenty laboratoryjne. Są to kompozycje częstotliwości harmonicznych , to znaczy wielokrotności częstotliwości podstawowej przez liczbę całkowitą. Te części składowe można również łączyć, powodując, że dudnienia są słyszalne.

W umiarkowanym zakresie ( diapason 440)

• zrobić 4 ma częstotliwość 261,6 Hz
• piętro 4 ma częstotliwość 392 Hz

To jest piąty interwał . Współczynnik wynosi około 3/2

• trzecia harmoniczna C ma częstotliwość 784,8 Hz
• druga harmoniczna gruntu ma częstotliwość 784 Hz

Te dwie harmoniczne są słyszalne jako dźwięk 784,4 Hz z tremolo 0,8 Hz.

Strojenie instrumentów

Zjawisko dudnienia można bardzo dobrze usłyszeć, gdy człowiek stroi instrument smyczkowy (na przykład gitarę ): słychać wibrację dźwięku, wynikającą z mieszania się dźwięków emitowanych przez dwie zerwane struny. Jest to zjawisko, które umożliwia strojenie instrumentów muzycznych po prostu przez ucho: interwał jest czysty, gdy nie słychać więcej uderzeń.

W muzycznej tradycji muzyki zachodniej uważamy za czyste odstępy między nutami, których stosunek częstotliwości jest równy ułamkowi prostemu (3/2, 4/3 itd.). Jednak ze względów technicznych i estetycznych stosujemy skalę jednakowego temperamentu , w której pojedyncza proporcja rządzi różnicą między kolejnymi nutami: półton odpowiada częstotliwości około + 5,6%, tak że 12 półtonów tworzy oktawę . W tej skali, jak pokazał powyższy przykład C i G , relacje między nutami nie są już dokładnie harmoniczne . Metody strojenia wykorzystują liczenie uderzeń, aby umieścić nuty dokładnie w temperowanym interwale, w którym powinny znajdować się w instrumencie o stałym brzmieniu, takim jak fortepian .

Dokładność i rytm w muzyce zachodniej

Istnienie rozpoznanego beatu umożliwia wykonanie strojenia lub intonacji . Na przykład użycie jednakowego temperamentu powoduje bicie tercji (patrz artykuł: Poprawność tercji ).

W umiarkowanym zakresie ( diapason 440)

• F3 ma częstotliwość 174,6 Hz
• 3 ma częstotliwość 220 Hz

To jest główny trzeci interwał . Stosunek wynosi około 5/4

• piąta harmoniczna fa ma częstotliwość 873 Hz
• 4. harmoniczna ma częstotliwość 880 Hz

Te dwie harmoniczne są słyszalne jak dźwięk 876,5 Hz z tremolo 7 Hz.

Trzecia wielka nigdy nie jest używana czysto, z wyjątkiem muzyki dawnej  ; jakość rytmu pozwala instrumentalistom upewnić się, że grają poprawnie .

Mniej spółgłoskowe, chociaż „właściwe” interwały, takie jak małe sekundy lub szóstki , mogą również wytwarzać dudnienia, które są nieodłączne dla ich natury. To jest powód ich słabej współbrzmienia .

Obliczenia i demonstracje

Sumowanie sinusoid o tej samej amplitudzie

Niech będzie sygnałem złożonym z sumy dwóch sinusoid

s(t)=grzech⁡(ω1t+φ1)+grzech⁡(ω2t+φ2){\ Displaystyle s (t) = \ sin {(\ omega _ {1} t + \ varphi _ {1})} + \ sin {(\ omega _ {2} t + \ varphi _ {2})}}

Charakterystyczną cechą każdego ze składników jest pulsacja ω, równa 2π × częstotliwość. Wiemy (patrz Trygonometria ) to

grzech⁡p+grzech⁡q=2grzech⁡p+q2⋅sałata⁡p-q2{\ Displaystyle \ sin p + \ sin q = 2 \ sin {{p + q} \ ponad 2} \ cdot \ cos {{pq} \ ponad 2}}

a więc

s(t) =grzech⁡(ω1t+φ1)+grzech⁡(ω2t+φ2) =2grzech⁡((ω1+ω2)t2+φ1+φ22)sałata⁡((ω1-ω2)t2+φ1-φ22){\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} s (t) \ & = \ sin {(\ omega _ {1} t + \ varphi _ {1})} + \ sin {(\ omega _ {2} t + \) varphi _ {2})} \\\ & = 2 \ sin {({\ frac {(\ omega _ {1} + \ omega _ {2}) t} {2}} + {\ frac {\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}} {2}})} \ cos {({\ frac {(\ omega _ {1} - \ omega _ {2}) t} {2}} + {\ frac {\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}} {2}})} \ end {aligned}}}

jeśli zapytamy

{ωm=ω1+ω22średnie uderzeniaωre=ω1-ω22połowa różnicy pulsacjiφm=φ1+φ22średnia fazyφre=φ1-φ22różnica w połowie fazy{\ displaystyle {\ begin {przypadki} \ omega _ {m} = {\ frac {\ omega _ {1} + \ omega _ {2}} {2}} & \ scriptstyle {\ text {średnie bicie serca}} \ \\ omega _ {d} = {\ frac {\ omega _ {1} - \ omega _ {2}} {2}} & \ scriptstyle {\ text {połowa różnicy w pulsach}} \\\ varphi _ { m} = {\ frac {\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}} {2}} & \ scriptstyle {\ text {faza średnia}} \\\ varphi _ {d} = {\ frac {\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}} {2}} & \ scriptstyle {\ text {różnica faz}} \ end {cases}}}

mamy

s(t) =grzech⁡(ω1t+φ1)+grzech⁡(ω2t+φ2) =2grzech⁡(ωmt+φm)⋅sałata⁡(ωret+φre){\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} s (t) \ & = \ sin {(\ omega _ {1} t + \ varphi _ {1})} + \ sin {(\ omega _ {2} t + \) varphi _ {2})} \\\ & = 2 \ sin (\ omega _ {m} t + \ varphi _ {m}) \ cdot \ cos (\ omega _ {d} t + \ varphi _ {d} ) \ end {aligned}}}

albo w całości

Sygnał ten jest okresowy tylko wtedy, gdy częstotliwości składowe są wielokrotnościami tej samej częstotliwości podstawowej przez liczby całkowite.

Sumowanie sinusoid o dowolnej amplitudzie

Jeśli teraz, dwie sinusoidy nie mają tej samej amplitudy:

s(t)=αgrzech⁡(ω1t+φ1)+βgrzech⁡(ω2t+φ2){\ Displaystyle s (t) = \ alfa \ sin {(\ omega _ {1} t + \ varphi _ {1})} + \ beta \ sin {(\ omega _ {2} t + \ varphi _ {2 })}}

Mamy takie same relacje jak poprzednio

s(t) =αgrzech⁡(ω1t+φ1)+βgrzech⁡(ω2t+φ2) =(α+β)grzech⁡((ω1+ω2)t2+φ1+φ22)sałata⁡((ω1-ω2)t2+φ1-φ22)+(α-β)sałata⁡((ω1+ω2)t2+φ1+φ22)grzech⁡((ω1-ω2)t2+φ1-φ22){\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} s (t) \ & = \ alfa \ sin {(\ omega _ {1} t + \ varphi _ {1})} + \ beta \ sin {(\ omega _ {2) } t + \ varphi _ {2})} \\\ & = (\ alpha + \ beta) \ sin {\ left ({\ frac {(\ omega _ {1} + \ omega _ {2}) t} {2}} + {\ frac {\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}} {2}} \ right)} \ cos {\ left ({\ frac {(\ omega _ {1} - \ omega _ {2}) t} {2}} + {\ frac {\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}} {2}} \ right)} + (\ alpha - \ beta) \ cos { \ left ({\ frac {(\ omega _ {1} + \ omega _ {2}) t} {2}} + {\ frac {\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}} {2} } \ right)} \ sin {\ left ({\ frac {(\ omega _ {1} - \ omega _ {2}) t} {2}} + {\ frac {\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}} {2}} \ right)} \ end {aligned}}}

Z tymi samymi zapisami, co poprzednio, mamy:

s(t) =αgrzech⁡(ω1t+φ1)+βgrzech⁡(ω2t+φ2) =(α+β)grzech⁡(ωmt+φm)⋅sałata⁡(ωret+φre)+(α-β)sałata⁡(ωmt+φm)⋅grzech⁡(ωret+φre){\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} s (t) \ & = \ alfa \ sin {(\ omega _ {1} t + \ varphi _ {1})} + \ beta \ sin {(\ omega _ {2) } t + \ varphi _ {2})} \\\ & = (\ alpha + \ beta) \ sin (\ omega _ {m} t + \ varphi _ {m}) \ cdot \ cos (\ omega _ { d} t + \ varphi _ {d}) + (\ alpha - \ beta) \ cos (\ omega _ {m} t + \ varphi _ {m}) \ cdot \ sin (\ omega _ {d} t + \ varphi _ {d}) \ end {aligned}}}

Różnica w fazach

Zaintrygowani różnicą między percepcją przez ucho, które słyszy uderzenie częstotliwości równej różnicy częstotliwości między składowymi, a wynikiem obliczeń matematycznych, staramy się porównać sygnał z pierwszej połowy okresu tremolo. fali sumarycznej (od czasu 0 do czasu 2π / ω d ) do sygnału drugiego półokresu, 2π / ω d później.

Więc zapytajmy

t′=t+πωre{\ displaystyle t '= t + {\ Frac {\ pi} {\ omega _ {d}}}}

Mamy

s(t′)=2grzech⁡(ωm(t+πωre))⋅sałata⁡(ωre(t+πωre)) =-2grzech⁡(ωm⋅t+πωmωre)⋅sałata⁡(ωret){\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} s (t ') & = 2 \ sin (\ omega _ {m} (t + {\ Frac {\ pi} {\ omega _ {d}}})) \ cdot \ cos (\ omega _ {d} (t + {\ frac {\ pi} {\ omega _ {d}}})) \\\ & = - 2 \ sin (\ omega _ {m} \ cdot t + { \ frac {\ pi \ omega _ {m}} {\ omega _ {d}}}) \ cdot \ cos (\ omega _ {d} t) \ end {aligned}}}

Widzimy, że s ( t ' ) różni się od s ( t ) tylko różnicą faz (1+ ω m / ω d ) π, która zależy tylko od względnego odchylenia częstotliwości.

Ucho , którego narządy percepcji dźwięku, komórki sierść narządu Cortiego , zachowują się w sposób, jak filtry rezonatora o bardzo wąskim paśmie , nie można jednocześnie określić dokładną wysokość i czas. Konkretnego. Dlatego są z konieczności niewrażliwe na tę fazę. Nie jest więc zaskakujące, że nie odczuwamy żadnej różnicy między dwiema częściami matematycznego okresu uderzenia.

Załączniki

Bibliografia

• Antonio Fischetti , Wprowadzenie do akustyki , Paryż, Belin ,2001, 288  str. ( ISBN  2-7011-2683-5 ) , str.  21-21
• Mpaya Kitantou , „La perception auditive” , w: Denis Mercier (reżyseria), Le Livre des Techniques du Son, tom 1- Fundamental ideas , Paryż, Eyrolles ,1987, 1 st  ed. ( prezentacja online )
• Mario Rossi , Audio , Lausanne, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes,2007, 1 st  ed.

Powiązane artykuły

• Jego wynik
• Dokładność tercji
• Mory w optyce , oferuje „wizualizację” z beatem.
• Consonance (muzyka)

Uwagi i odniesienia

1. Richard Taillet , Loïc Villain i Pascal Febvre , Dictionary of Physics , Bruksela, De Boeck ,2013, s.  64 ; Międzynarodowa Komisja Elektrotechniczna , „103. Matematyka. Funkcje ” w CIE60050. Międzynarodowe słownictwo elektrotechniczne ,1987( czytaj online ) , s.  103-06-16 „beat”.
2. Rossi 2007: 135.
3. Kitantou 1987: 164
4. Rossi 2007: 61 badań bije z fazerami .
5. To stwierdzenie jest dające się udowodnić; aby wykazać prawdopodobieństwo tego , wystarczy zadać pytanie - Ile czasu zajmuje rozróżnienie między częstotliwością 100  Hz a inną częstotliwością 99  Hz wśród pewnej liczby dźwięków o nieznanych częstotliwościach?