Amortyzacja fizyczna

W fizyce tłumienie z systemu jest jego tłumienie ruchów przez rozpraszanie energii, która je generuje. Można to powiązać na różne sposoby, aby przyspieszyć.

Tarcie pomiędzy dwoma stałych odpowiada rozpraszania w postaci ciepła. Jest ona regulowana przez prawo Coulomba , zgodnie z którą siła tarcia nie zależy od prędkości.
Gdy interfejs jest smarowany, energia mechaniczna jest nadal zamieniana na ciepło, ale siła tarcia staje się proporcjonalna do prędkości zgodnie z prawem lepkości . Mówimy wtedy o tłumieniu lepkim, chociaż ten liniowy efekt pojawia się również w mniej lub bardziej odległych zjawiskach. To jest właśnie aspekt pytania, który został omówiony głównie w tym artykule.
Ciało stałe, które oscyluje w płynie, jest poddawane takiemu tłumieniu, gdy jego prędkość jest wystarczająco mała, aby przepływ był laminarny . Przy wyższych prędkościach pojawia się wir lub burzliwy ślad, który rozprasza energię w czysto mechaniczny sposób. Prowadzi to do siły oporu w przybliżeniu proporcjonalnej do kwadratu prędkości.

Wyjaśnienie

W każdym rzeczywistym układzie część całkowitej energii jest rozpraszana, najczęściej w postaci ciepła, które wytwarza siłę tłumiącą.

W mechanice, to zależy od szybkości z organizmu . W wielu przypadkach można założyć, że układ jest liniowy, a tłumienie jest wówczas proporcjonalne do prędkości (patrz Układ oscylacyjny z jednym stopniem swobody ).

W elektryczności tłumienie odnosi się do efektu rezystancyjnego obwodu RLC.

Współczynnik tłumienia c definiujemy przez:

{\ displaystyle \ mathbf {F} = -c \ mathbf {v}}

Przykład: Mass-Spring-Damper

Przeanalizujmy idealny układ masa-sprężyna-amortyzator, ze stałą masą m (w tym sensie, że nadwozie zachowuje tę samą masę przez całe badanie), stałą sztywności k i współczynnikiem tłumienia c :

{\ Displaystyle \ mathbf {F_ {r}} = -k \ mathbf {x}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F_ {a}} = -c {\ Frac {d \ mathbf {x}} {dt}}}

Msza jest wolnym ciałem. Zakładamy inercyjne odniesienie, dlatego pierwszy wektor jest równoległy do sprężyny i amortyzatora. Od zachowania pędu :

{\ Displaystyle \ mathbf {F_ {r}} + \ mathbf {F_ {a}} = m {\ Frac {d ^ {2} \ mathbf {x}} {dt ^ {2}}}}

{\ Displaystyle -kx-c {\ Frac {dx} {dt}} = m {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}}

Równanie różniczkowe zwyczajne

Jest to zwykłe równanie różniczkowe drugiego rzędu. Jest liniowa, jednorodna i ma stałe współczynniki:

{\ Displaystyle m {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + c {\ Frac {dx} {dt}} + kx = 0}

Aby uprościć równanie, definiujemy dwa parametry:

częstotliwość drgań systemu ; $\ omega _ {0} = {\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}}$
i stawki amortyzacyjne : . ${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {km}}}}}$

Zatem równanie różniczkowe staje się:

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ Frac {dx} {dt}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0}

Rozwiązujemy charakterystyczny wielomian : stąd: ${\ Displaystyle \ omega ^ {2} + 2 \ zeta \ omega _ {0} \ omega + \ omega _ {0} ^ {2} = 0}$

{\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {0} (- \ zeta \ pm {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}})}

Reżim przejściowy systemu

Zachowanie systemu zależy od naturalnej pulsacji i współczynnika tłumienia. W szczególności zależy to w dużym stopniu od charakteru . $\omega$

Dieta pseudokresowa

Bo korzenie są złożone i sprzężone. Rozwiązaniem jest suma dwóch zespolonych wykładników: ${\ Displaystyle \ zeta <1}$ $\omega$

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {\ omega _ {1} t} + Be ^ {\ omega _ {2} t}}

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- \ omega _ {0} (\ zeta -j {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}) t} + Be ^ {- \ omega _ {0 } (\ zeta + j {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}) t}}

Zadając dostaje: . ${\ Displaystyle \ omega _ {d} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} (Ae ^ {j \ omega _ {d} t} + Be ^ {- j \ omega _ {d} t}) }$

Możemy przepisać rozwiązanie w postaci trygonometrycznej:

${\ Displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} (A (cos (\ omega _ {d} t) + jsin (\ omega _ {d} t)) + B ( cos (\ omega _ {d} t) -jsin (\ omega _ {d} t)))}$

${\ Displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} ((A + B) cos (\ omega _ {d} t) + j (AB) sin (\ omega _ {d } t))}$

${\ Displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} (Ccos (\ omega _ {d} t) + Dsin (\ omega _ {d} t))}$

Wreszcie,

${\ Displaystyle x (t) = e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}} [C \ cos (\ omega _ {d} t) + D \ sin (\ omega _ {d} t) ]}$ ,

gdzie jest stałą czasową systemu i jest własną pseudo-pulsacją systemu. ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {2m} {c}}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {d} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}}$

Zauważamy, że jest zawsze ściśle niższa niż pulsacja naturalna.

W większości przypadków stałe A i B wyznacza się dzięki warunkom początkowym oraz : $x_ {0}$ ${\ displaystyle {\ kropka {x_ {0}}}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}} \ lewo (\ lewo [\ omega _ {d} D - {\ Frac {C} {\ tau}} \ right] \ cos (\ omega _ {d} t) - \ left [\ omega _ {d} C + {\ frac {D} {\ tau}} \ right] \ sin (\ omega _ {d} t) \ right)}

Rozwiązujemy układ równań liniowych:

{\ displaystyle {\ begin {przypadki} C = x_ {0} \\ D = {\ Frac {1} {\ omega _ {d}}} ({\ kropka {x_ {0}}} + {\ frac { x_ {0}} {\ tau}}) \ end {sprawy}}}

Otrzymujemy ogólne jednorodne rozwiązanie:

{\ Displaystyle x (t) = e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}} [x_ {0} \ cos (\ omega _ {d} t) + D \ sin (\ omega _ {d } t)]}

Krytyczna dieta aperiodyczna

W szczególnym przypadku , gdy pierwiastek jest rzeczywisty i podwójny. Rozwiązanie jest iloczynem wielomianu rzędu 1 i rzeczywistego wykładnika: ${\ Displaystyle \ zeta = 1}$ $\omega$

{\ Displaystyle x (t) = (A + Bt) e ^ {- \ omega _ {0} t}}

W rzeczywistości nie tłumaczy już pulsacji, ale stałą czasową, więc zauważamy $\ omega_0$ ${\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {1} {\ omega _ {0}}} = {\ sqrt {\ Frac {m} {k}}}}$

{\ Displaystyle x (t) = (A + Bt) e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}}}

W większości przypadków stałe A i B wyznacza się dzięki warunkom początkowym oraz : $x_ {0}$ ${\ displaystyle {\ kropka {x_ {0}}}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = \ lewo (B - {\ Frac {A} {\ tau}} - B {\ Frac {t} {\ tau}} \ prawej) e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

Rozwiązujemy układ równań liniowych:

{\ displaystyle {\ begin {przypadki} A = x_ {0} \\ B = {\ kropka {x_ {0}}} + {\ frac {x_ {0}} {\ tau}} \ end {przypadki}} }

Otrzymujemy ogólne jednorodne rozwiązanie:

{\ Displaystyle x (t) = (x_ {0} + Bt) e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}}}

Krytyczna dieta jest często bardzo trudna do osiągnięcia.

Dieta okresowa

W takim przypadku korzenie są prawdziwe i wyraźne. Rozwiązaniem jest suma dwóch rzeczywistych wykładników: ${\ displaystyle \ zeta> 1}$ $\omega$

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {\ omega _ {1} t} + Be ^ {\ omega _ {2} t}}

Ponieważ i są rzeczywiste, nie tłumaczą już pulsacji, ale stałą czasową, więc zauważamy $\ omega _ {1}$ $\ omega _ {2}$

{\ Displaystyle \ tau _ {1} = {\ Frac {1} {\ omega _ {1}}} = {\ Frac {1} {\ omega _ {0} (\ zeta - {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}})}}}

{\ Displaystyle \ tau _ {2} = {\ Frac {1} {\ omega _ {2}}} = {\ Frac {1} {\ omega _ {0} (\ zeta + {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}})}}}

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- {\ Frac {t} {\ tau _ {1}}}} + Be ^ {- {\ Frac {t} {\ tau _ {2}}}}}

W większości przypadków stałe A i B wyznacza się dzięki warunkom początkowym oraz : $x_ {0}$ ${\ displaystyle {\ kropka {x_ {0}}}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = - {\ Frac {A} {\ tau _ {1}}} e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau _ {1}}}} - {\ frac {B} {\ tau _ {2}}} e ^ {- {\ frac {t} {\ tau _ {2}}}}}

Rozwiązujemy układ równań liniowych:

{\ Displaystyle {\ begin {przypadki} A = {\ Frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {1} - \ tau _ {2}}} ({\ kropka {x_ {0}}} + {\ frac {x_ {0}} {\ tau _ {2}}}) \\ B = {\ frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {2} - \ tau _ {1}}} ({\ dot {x_ {0}}} + {\ frac {x_ {0}} {\ tau _ {1}}}) \ end {sprawy}}}

Leksykon

Współczynnik tłumienia lub współczynnik strat , η , materiału lepkosprężystego ( liczba bezwymiarowa ). Zależy to od temperatury i częstotliwości ekscytujących wibracji. Można go zmierzyć za pomocą dynamicznej analizy mechanicznej (AMD lub DM (T) A).
Współczynnik tłumienia: wyrażony w kilogramach na sekundę . Obserwujemy, że istnieje zestaw sił zewnętrznych względem ciała, które są proporcjonalne do prędkości ciała. Współczynnik tłumienia służy do wyznaczenia zależności między tymi siłami a prędkością.
Stała sztywności: wyrażona w niutonach na metr . Obserwujemy, że istnieje zestaw sił zewnętrznych względem ciała, które są proporcjonalne do przemieszczenia ciała. Stałą sztywności wskazuje się na zależność między tymi siłami a przemieszczeniem.
Stała czasowa: wyrażenie w sekundach. Ogólnie rzecz biorąc, zauważamy moc ujemnego wykładnika obejmującego tylko czas jako stosunek między nim a współczynnikiem, również jednorodnym do czasu, który przyjmuje nazwę stałej czasowej. Przekłada skalę czasową na równowagę modelowanego zjawiska.
Własna pseudo-pulsacja: wyrażona w radianach na sekundę. Jest to pulsacja reżimu pseudo-okresowego, związana z częstotliwością zjawiska tłumionego.

Zobacz też

Powiązane artykuły