Równania Cauchy'ego-Riemanna

W Cauchy- Riemanna równania w złożonej analizy , tak nazwane na cześć Augustin Cauchy i Bernhard Riemann , dwa równań różniczkowych wyrażające warunek konieczny i wystarczający do funkcji (złożonego zmiennego o wartościach zespolonych) różniczkowalnych w sensie w punkt lub różniczkowalny w złożonym sensie w tym momencie.

Innymi słowy, są to warunki, które należy dodać do różniczkowalności w rzeczywistym sensie, aby uzyskać różniczkowalność w złożonym sensie.

Gdy funkcja jest różniczkowalna w rzeczywistym sensie w dowolnym punkcie otwarcia, równania te wyrażają konieczny i wystarczający warunek, aby była ona holomorficzna w tym otworze.

Uważamy funkcji zmiennej zespolonej, zdefiniowanej na otwartym U w płaszczyźnie zespolonej ℂ. Używane są tutaj następujące oznaczenia: $f: U \ do \ mathbb {C}$

zmienna zespolona jest oznaczona , gdzie x , y są rzeczywiste; $z$ $\ x + i \, y$
rzeczywistych i urojonych części oznaczono odpowiednio a , to znaczy :, gdzie , dwa rzeczywistymi funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistym. ${\ Displaystyle f (z) = f (x + i \, y)}$ $\ P (x, y)$ $\ Q (x, y)$ ${\ Displaystyle f (z) = P (x, y) + i \, Q (x, y)}$ $P.$ $Q$

ℂ-różniczkowalne funkcje zmiennej zespolonej

Definicja

Funkcja nazywa się różniczkowalna w złożonym sensie , ℂ-różniczkowalna lub nawet różniczkowalna , w punkcie, jeśli istnieje sąsiedztwo z takich, że i takie, że funkcja: $f: U \ do \ mathbb {C}$ $z_ {0} \ w U$ $V$ $z_0$ $V \ podzbiór U$

{\ displaystyle {\ begin {tablica} {lcl} V & \ rightarrow & \ mathbb {C} \\ zi \ mapsto & {\ Frac {f (z) -f (z_ {0})} {z-z_ {0}}} \ end {tablica}}}

przyznaje granice do rzeczy . Granica ta jest następnie zauważyć, i jest nazywana pochodną z pl . $z_0$ $f '(z_ {0})$ $fa$ $z_0$

Należy zauważyć, że warunek różniczkowalności dla złożonych funkcji zmiennych jest znacznie bardziej ograniczający niż analogiczny warunek dla rzeczywistych funkcji zmiennych. Różnica jest następująca:

w ℝ istnieją zasadniczo dwa sposoby zbliżania się do punktu: w prawo lub w lewo. Funkcja zmiennej rzeczywistej jest różniczkowalna w pewnym momencie wtedy i tylko wtedy, gdy „tempo wzrostu” dopuszcza w tym miejscu granicę po prawej i po lewej o tej samej (skończonej) wartości;
w ℂ istnieje nieskończona liczba sposobów zbliżania się do punktu; każdy z nich musi dać początek (skończonej) granicy „tempa wzrostu”, a ponadto wszystkie te granice są równe .

Ważna sprawa

Mówimy, że funkcja jest holomorficzna na otwarciu ℂ, jeśli jest ℂ-różniczkowalna w dowolnym punkcie tego otwarcia.

Charakterystyka funkcji różniczkowalnych ℂ w punkcie

Twierdzenie -

Aby funkcja f była ℂ-różniczkowalna w punkcie (gdzie są rzeczywiste), jest konieczne i wystarczające: z0=x0+jay0∈U{\ displaystyle \ z_ {0} = x_ {0} + i \, y_ {0} \ in U} $\ z_ {0} = x_ {0} + i \, y_ {0} \ w U$ x0,y0{\ displaystyle \ x_ {0}, \, y_ {0}} $\ x_ {0}, \, y_ {0}$
- że jest rozróżnialny w prawdziwym sensie w ; $\ z_ {0}$
- a ponadto weryfikuje w tym miejscu równania Cauchy'ego-Riemanna . Te równania można zapisać w następujących równoważnych formach:
  - ${\ frac {\ części f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0})$
  - ${\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ częściowe Q} {\ częściowe y}} (x_ {0}, y_ {0} )$ i ${\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe y}} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {\ częściowe Q} {\ częściowe x}} (x_ {0}, y_ {0 })$
  - $\ overline \ częściowe f (z_ {0}) = 0$ , gdzie operator różniczkowy jest z definicji równy . $\ overline \ częściowe$ ${\ frac 12} \ left ({\ frac \ częściowe {\ częściowe x}} + i {\ frac \ częściowe {\ częściowe y}} \ right)$
W tym wypadku :
- różnica w punkcie jest aplikacją ; $\ f$ $\ z_ {0}$ ${\ Displaystyle \ df (z_ {0}): \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}, h \ mapsto f '(z_ {0}) \, h}$
- $\ f '(z_ {0}) = {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) = - i \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} ( z_ {0}) = \ częściowe f (z_ {0})$ gdzie operator różniczkowy jest z definicji równy . $\ częściowe$ ${\ frac 12} \ left ({\ frac \ Partial {\ Partial x}} - i {\ frac \ Partial {\ Part Y}} \ right)$

Dowód twierdzenia Zachowujemy poprzednie oznaczenia; w szczególności przez r oznaczamy liczbę rzeczywistą taką, że i , a h liczbę zespoloną taką, że .

\ r> 0

\ B (z_ {0}, \, r) \ subset U

\ | h | <r

Przypuszczamy, że jest ℂ-różniczkowalna w : wtedy kiedy (oznaczymy pochodną ). fa{\ displaystyle \ f} $\ f$ z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ in U} $z_ {0} \ w U$ fa(z0+godz)-fa(z0)godz→W{\ Displaystyle {\ Frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} \ do A} ${\ frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} \ do A$ godz→0{\ displaystyle h \ do 0} $h \ do 0$ W{\ displaystyle \ A} $\ W$ fa′(z0){\ displaystyle \ f '(z_ {0})} $\ f '(z_ {0})$
- Definiujemy (funkcję zmiennej złożonej): ϵ: b(0,r)→VS{\ Displaystyle \ \ epsilon: \ B (0, \, r) \ do \ mathbb {C}} ${\ Displaystyle \ \ epsilon: \ B (0, \, r) \ do \ mathbb {C}}$
  - $\ \ epsilon (0) = 0$
  - $\ epsilon (h) = {\ frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} - A$ jeśli (*). Wtedy (z definicji A ): kiedy $h \ neq 0$ $\ epsilon (h) \ do 0$ $h \ do 0$
  - (*) można zapisać: (dla , a także dla ), $f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + A \, h + h \, \ epsilon (h)$ $\ h \ neq 0$ $\ h = 0$
  - lub jeszcze raz:, gdzie (**) $f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + L (h) + h \, \ epsilon (h)$ $\ L (h) = A \, h$
- Oczywiste jest, że mapa jest ℝ-liniowa (a nawet ℂ-liniowa, silniejsza właściwość). W związku z tym : L:VS→VS,godz↦Wgodz{\ Displaystyle L: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}, h \ mapsto A \, h} ${\ Displaystyle L: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}, h \ mapsto A \, h}$
  - $\ f$ jest ℝ-różniczkowalna w $\ z_ {0}$
  - ${\ frac {\ Partial f} {\ Partial x}} (z_ {0}) = L (1) = A$ , Lub: . ${\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = L (i) = A \, i$ ${\ frac {\ części f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0})$
Wzajemny: przypuszczamy, że jest różniczkowalna w ℝ- a , innymi słowy :, gdzie (wbrew temu, co często assert, nie używać tutaj żadnej hipotezy ciągłości pochodnych cząstkowych: wcześniejsze obawy hipoteza jeden punkt, to może być ℝ-różniczkowalne tylko w tym momencie). fa{\ displaystyle \ f} $\ f$ z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ in U} $z_ {0} \ w U$ ∂fa∂y(z0)=ja∂fa∂x(z0){\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = ja \, {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0})} ${\ frac {\ części f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0})$ ∂fa∂y(z0)=jaW{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = ja \, a} ${\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = i \, A$ W=∂fa∂x(z0){\ Displaystyle A = {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (Z_ {0})} $A = {\ frac {\ częściowa f} {\ częściowa x}} (z_ {0})$ fa{\ displaystyle \ f} $\ f$
- Przyjmując hipotezę, odnotowując L -różniczkę z en , możemy napisać: fa{\ displaystyle \ f} $\ f$ z0{\ displaystyle \ z_ {0}} $\ z_ {0}$
  - $f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + L (h) + h \, \ epsilon (h)$ , gdzie kiedy $\ epsilon (h) \ do 0$ $h \ do 0$
  - Jeśli (
u , v rzeczywiste), to przez ℝ-liniowość L , godz=u+jav{\ Displaystyle \ h = u + i \, v} $\ h = u + i \, v$ L(godz)=uL(1)+vL(ja)=u∂fa∂x(z0)+v∂fa∂y(z0)=uW+vjaW=W(u+jav)=Wgodz{\ Displaystyle \, L (h) = u \, L (1) + v \, L (i) = u \, {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) + v \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = u \, A + v \, i \, A = A \, (u + i \, v) = A \, h} $\, L (h) = u \, L (1) + v \, L (i) = u \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) + v \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z_ {0}) = u \, A + v \, i \, A = A \, (u + i \, v) = A \, h$
A więc: i kiedy $f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + A \, h + h \, \ epsilon (h)$ $\ epsilon (h) \ do 0$ $h \ do 0$
Jeśli wydedukujemy: kiedy . Istnienie tej granicy ustala, że jest ℂ-różniczkowalne w (tj .: istnieje ) i tamto . $h \ neq 0$ ${\ frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} = A + \ epsilon (h) \ do A$ $h \ do 0$ $\ f$ $\ z_ {0}$ $\ f '(z_ {0})$ $\ f '(z_ {0}) = A \ left (= {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) \ right)$
Dowodzi to również, że kiedy jest ℂ-różniczkowalne w : fa{\ displaystyle \ f} $\ f$ z0{\ displaystyle \ z_ {0}} $\ z_ {0}$
- jego różnicą jest zastosowanie . ${\ Displaystyle \ L: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}, \, h \ mapsto A \, h = f '(z_ {0}) \, h}$
- $\ f '(z_ {0}) = {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z_ {0}) = - i \, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} ( z_ {0}) = \ częściowe f (z_ {0})$ .

Ważna sprawa

Poniższa charakterystyka funkcji holomorficznych jest bezpośrednią konsekwencją poprzedniego twierdzenia, zastosowanego w każdym punkcie.

Twierdzenie : funkcja jest holomorficzna na otwartym U ℂ wtedy i tylko wtedy, gdy : $f: U \ do \ mathbb {C}$

jest ℝ-różniczkowalna w dowolnym punkcie U ;
i jest ona zgodna z równania Cauchy- Riemanna w dowolnym punkcie U .

Uwaga na ciągłość pochodnych cząstkowych : możemy wykazać (jest to ważny wynik teorii Cauchy'ego), że każda funkcja holomorficzna na zbiorze otwartym ℂ y jest analityczna : oznacza to, że w sąsiedztwie każdego punktu można ją w całości rozwinąć seria; dlatego każda funkcja holomorficzna jest nieskończenie różniczkowalna, a tym bardziej dopuszcza ciągłe pochodne cząstkowe na otwartej przestrzeni.

Przykłady

Funkcja jest klasy C 1 na ℂ, więc jest tam ℝ-różniczkowalna; ale nie jest ℂ-różniczkowalna w żadnym momencie, ponieważ nigdzie nie spełnia równań Cauchy'ego-Riemanna. Rzeczywiście, jak : fa:VS→VS,z↦z¯{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto {\ bar {z}}} ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto {\ bar {z}}}$ fa(z)=x-jay{\ Displaystyle \ f (z) = x - \, ja \, y} $\ f (z) = x - \, i \, y$
- $\ {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z) = 1$ i $\ {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z) = - i$
- i dla wszystkich , . ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ $\ {\ frac {\ częściowa f} {\ częściowa y}} (z) \ neq i \ {\ frac {\ częściowa f} {\ częściowa x}} (z)$
Funkcja jest klasy C 1 na ℂ, więc jest tam ℝ-różniczkowalna; jest ℂ-różniczkowalna w 0 i tylko w tym miejscu (nie jest holomorficzna na żadnym otwartym, jego zbiór ℂ-różniczkowalności jest pusty wnętrze). ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto | z | ^ {2}}$ $\ \ {0 \}$
Funkcja jest holomorficzna na ℂ i dla wszystkich , . Istotnie, jeśli a , kiedy . Mamy zatem: fa:VS→VS,z↦z2{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto z ^ {2}} ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, z \ mapsto z ^ {2}}$ z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}} ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ fa′(z)=2z{\ Displaystyle \ f '(z) = 2 \, z} $\ f '(z) = 2 \, z$ z0∈VS{\ displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C}} ${\ displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C}}$ godz∈VS∗{\ displaystyle h \ in \ mathbb {C} ^ {*}} ${\ displaystyle h \ in \ mathbb {C} ^ {*}}$ fa(z0+godz)-fa(z0)godz=2 z0+godz→2z0{\ Displaystyle {\ Frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} = 2 \ z_ {0} + h \ do 2 \, z_ {0}} ${\ frac {f (z_ {0} + h) -f (z_ {0})} {h}} = 2 \ z_ {0} + h \ do 2 \, z_ {0}$ godz→0{\ displaystyle \ h \ do 0} $\ h \ do 0$ fa(z)=x2-y2+2jaxy{\ Displaystyle \ f (z) = x ^ {2} -y ^ {2} +2 \, i \, x \, y} $\ f (z) = x ^ {2} -y ^ {2} +2 \, i \, x \, y$
- $\ {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (z) = 2 \, x + 2 \, i \, y = 2 \, z$
- $\ {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (z) = - 2 \, y + 2 \, i \, x = 2 \, i \, z = i \ {\ frac {\ częściowe f } {\ częściowe x}} (z)$ (Równania Cauchy'ego-Riemanna w punkcie z )
Ograniczający charakter warunku holomorficznego jest szczególnie uderzający, gdy zastosujemy warunki Cauchy'ego-Riemanna do funkcji o wartościach rzeczywistych zdefiniowanej na otworze ℂ: dwie pochodne cząstkowe względem x i do y muszą wtedy wynosić zero, a funkcja musi być lokalnie stały! Innymi słowy, funkcja holomorficzna z wartościami rzeczywistymi na połączonym zbiorze ℂ z konieczności redukuje się do stałej.

Na przykład funkcja argumentu z (rzeczywista i nie stała) nie jest holomorficzna. Łatwo jest zweryfikować, że równania Cauchy'ego-Riemanna nie są spełnione, ponieważ jego pochodnymi cząstkowymi są arctan ( y / x ). To samo dotyczy oczywiście funkcji modułu z (rzeczywistej, a nie stałej).

Uwagi i odniesienia

Zobacz też

Bibliografia

Walter Rudin , Real and complex analysis [ szczegóły wydań ]