Równanie Liouville'a

W geometrii różniczkowej , równanie Liouville'a , nazwany na cześć francuskiego matematyka Joseph Liouville , jest nieliniowa częściowy różnica równanie spełnione przez współczynnik konformalną Urządzony metryczny na powierzchni stałej krzywizny Gaussa K  : fa{\ displaystyle f} fa2(rex2+rey2){\ Displaystyle f ^ {2} (dx ^ {2} + dy ^ {2})}

Δlog⁡fa=-K.fa2,{\ Displaystyle \ Delta \; \ log f = -Kf ^ {2},}

gdzie jest operator Laplace'a . Δ{\ displaystyle \ Delta}

Δfa=∂2fa∂x2+∂2fa∂y2=4∂∂z∂fa∂z¯{\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe y ^ {2} }} = 4 {\ frac {\ części} {\ częściowy z}} {\ frac {\ częściowy f} {\ częściowy {\ bar {z}}}}}

Ogólne rozwiązanie

W prostym pokrewnym polu ogólne rozwiązanie daje: Ω{\ displaystyle \ Omega}

u(z,z¯)=12ln⁡(4|refa(z)/rez|2(1+K.|fa(z)|2)2){\ Displaystyle u (z, {\ bar {z}}) = {\ Frac {1} {2}} \ ln \ lewo (4 {\ Frac {| \ mathrm {d} f (z) / \ mathrm { d} z | ^ {2}} {(1 + K | f (z) | ^ {2}) ^ {2}}} \ right)}

gdzie jest lokalnie jednowartościowa funkcja meromorficzna i kiedy . fa{\ displaystyle f}1+K.|fa(z)|2{\ Displaystyle 1 + K | f (z) | ^ {2}}K.<0{\ displaystyle K <0}

Zobacz też

Równania Gaussa-Codazziego

Odniesienie

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „  Równanie Liouville'a  ” ( zobacz listę autorów ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">