Równanie Cole-Cole'a

Równanie Cole Cole jest złagodzenie wzór , który jest często stosowany do opisu relaksacji dielektrycznej z polimerów .

Jest dane przez

{\ Displaystyle \ varepsilon ^ {*} (\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + {\ Frac {\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}} {1+ (i \ omega \ tau ) ^ {1- \ alpha}}}}

gdzie jest złożoną stałą dielektryczną (lub względną przenikalnością elektryczną ) i są stałymi dielektrycznymi „statycznej” i „nieskończonej częstotliwości”, jest częstotliwością kątową i jest charakterystycznym czasem. $\ varepsilon ^ {*}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {s}}$ $\ varepsilon_ \ infty$ $\omega$ $\ tau$

Parametr , który przyjmuje wartość od 0 do 1, służy do opisu różnych kształtów widmowych. Kiedy model Cole-Cole'a zostaje zredukowany do modelu Debye'a . Kiedy relaksacja jest rozciągnięta , to znaczy, że obejmuje szerszy zakres niż relaksacja Debye'a. $\alfa$ $\ alpha = 0$ $\ alpha> 0$

Rozdzielenie złożonej stałej dielektrycznej zostało podane w oryginalnym artykule Cole'a i Cole'a w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ varepsilon (\ omega)}$

{\ Displaystyle \ varepsilon '= \ varepsilon _ {\ infty} + (\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}) {\ Frac {1 + (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2} {1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2 + (\ omega \ tau) ^ {2 (1- \ alpha) }}}}

{\ Displaystyle \ varepsilon '' = {\ Frac {(\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}) (\ omega \ tau) ^ {1- \ alfa} \ cos \ alfa \ pi / 2} {1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2 + (\ omega \ tau) ^ {2 (1- \ alpha)}}}}

Te ostatnie wyrażenia tłumaczone są, po wprowadzeniu funkcji hiperbolicznych , przez

{\ Displaystyle \ varepsilon '= \ varepsilon _ {\ infty} + {\ Frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} - \ varepsilon _ {\ infty}) \ lewo [1 - {\ Frac { \ sinh ((1- \ alpha) x)} {\ cosh ((1- \ alpha) x) + \ cos \ alpha \ pi / 2}} \ right]}

{\ Displaystyle \ varepsilon '' = {\ Frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} - \ varepsilon _ {\ infty}) {\ Frac {\ cos \ alpha \ pi / 2} {\ cosh ((1- \ alpha) x) + \ sin \ alpha \ pi / 2}}}

Gdzie . ${\ Displaystyle x = \ ln (\ omega \ tau)}$

Znajdujemy miny Debye'a, kiedy . ${\ displaystyle \ alpha = 0}$

Relaksacja Cole-Cole'a stanowi szczególny przypadek relaksacji Havriliaka-Negamiego, gdy parametr symetrii ( β ) jest równy 1, czyli gdy piki relaksacji są symetryczne. Inny szczególny przypadek relaksacji Havriliaka-Negami ( β <1, α = 1 ) jest znany jako „ relaksacja Cole'a-Davidsona ”.

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Równanie Cole-Cole'a ” ( zobacz listę autorów ) .

Kenneth S. Cole i Robert H. Cole , „ Dyspersja i absorpcja w dielektrykach: I - Charakterystyka prądu przemiennego ”, Journal of Chemical Physics , vol. 9 N O 4,1941, s. 341–351 ( DOI 10.1063 / 1.1750906 , Bibcode 1941JChPh ... 9..341C )

KS Cole and RH Cole , „ Dispersion and Absorption in Dielectrics - I Alternating Current Characteristics ”, J. Chem. Fiz. , vol. 9 N O 4,1941, s. 341–352 ( DOI 10.1063 / 1.1750906 , Bibcode 1941JChPh ... 9..341C )
KS Cole i RH Cole , „ Dyspersja i absorpcja w dielektrykach - II Charakterystyka prądu stałego ”, Journal of Chemical Physics , tom. 10 N O 21942, s. 98–105 ( DOI 10.1063 / 1.1723677 , Bibcode 1942JChPh..10 ... 98C )
YP Kalmykov , WT Coffey , DSF Crothers i SV Titov , „ Microscopic Models for Dielectric Relaxation in Disordered Systems ”, Physical Review E , vol. 70, n o 4,2004, s. 041103 ( PMID 15600393 , DOI 10.1103 / PhysRevE.70.041103 , Bibcode 2004PhRvE..70d1103K )