Równanie Böttchera

Równanie Böttcher , nazwany Lucjan Böttchera (1872-1937), to równanie funkcyjne

{\ Displaystyle F (h (z)) = (F (z)) ^ {n} ~,}

lub

h jest daną funkcją analityczną z super-przyciągającym stałym punktem rzędu n a, to znaczy: w sąsiedztwie a, gdzie n ≥ 2 ${\ Displaystyle h (z) = a + c (za) ^ {n} + O ((za) ^ {n + 1}) ~,}$
$F$ to nieznana funkcja.

Logarytm tego równania funkcjonalnej wynosi do równania Schröder .

Rozwiązanie

Lucian Emil Böttcher przedstawia w 1904 roku dowód na istnienie rozwiązania analitycznego F w sąsiedztwie stałego punktu a , takiego, że F ( a ) = 0. Rozwiązanie to jest czasami nazywane współrzędną Böttchera . (Pełna demonstracja została opublikowana przez Josepha Ritta w 1920 roku, który zignorował oryginalne sformułowanie).

Współrzędna Böttchera (logarytm funkcji Schrödera ) sprzęga h (z) $h (z)$ w sąsiedztwie punktu stałego z funkcją $z n$ . Szczególnie ważnym przypadkiem jest sytuacja, gdy $h (z)$ jest wielomianem stopnia n, a a = ∞.

Aplikacje

Równanie Böttcher odgrywa fundamentalną rolę w dziedzinie holomorficznych dynamiki , która bada iteracji z wielomianów o zmiennej zespolonej .

Globalne właściwości współrzędnej Böttchera zostały zbadane przez Fatou , Douady i Hubbarda .

Zobacz też

Równanie Schrödera

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Równanie Böttchera ” ( zobacz listę autorów ) .

LE Böttcher , „ Podstawowe prawa zbieżności iteracji i ich zastosowanie w analizie (po rosyjsku) ”, Izv. Kazań. Fiz.-Mat. Obshch. , vol. 14,1904, s. 155–234
Joseph Ritt , „ O iteracji funkcji racjonalnych ”, przeł. Gorzki. Matematyka. Soc , tom. 21, n o 3,1920, s. 348–356 ( DOI 10.1090 / S0002-9947-1920-1501149-6 )
Stawiska, Małgorzata (15 listopada 2013).
CC Cowen , „ Analityczne rozwiązania równania funkcyjnego Böttchera na dysku jednostkowym ”, Aequationes Mathematicae , tom. 24,1982, s. 187–194 ( DOI 10.1007 / BF02193043 )
P. Fatou , „ O równaniach funkcyjnych, I ”, Biuletyn Towarzystwa Matematycznego Francji , tom. 47,1919, s. 161–271 ( czytaj online )
A. Douady i J. Hubbard , „ Dynamiczne badanie złożonych wielomianów (część pierwsza) ”, Wyd. Matematyka. Orsay ,1984( czytaj online )