równanie Schrödingera

Równanie Schrödingera , opracowany przez fizyka austriackiego Erwin Schrödinger w 1925 , jest równanie podstawową w mechanice kwantowej . Opisuje ewolucję w czasie masywnej cząstki nierelatywistycznej, a zatem spełnia tę samą rolę, co fundamentalny związek dynamiki w mechanice klasycznej .

Narodziny równania

Kontekst historyczny

Na początku XX XX  wieku, stało się jasne, że światło było dwoistość fali cząstek , to znaczy, może się zdarzyć, w zależności od okoliczności, albo w postaci cząstek stałych, fotonów lub w postaci fal elektromagnetycznych . Louis de Broglie proponuje się uogólnić dualności do wszystkich cząstek aczkolwiek hipoteza ta miałaby paradoksalne skutkować produkcją zakłóceń przez elektronów - jak światło - następnie sprawdzona przez eksperymentu Davisson- kiełkowania . Analogicznie do fotonu Louis de Broglie przypisał każdej cząstce wolnej od energii i pędu częstotliwość i długość fali  : mi{\ styl wyświetlania E} p{\ styl wyświetlania p}ν{\ styl wyświetlania \ nu}λ{\ styl wyświetlania \ lambda}

{mi=hνp=hλ{\ displaystyle \ lewo \ {{\ początek {macierz} E = h \ nu \\ p = {\ frac {h} {\ lambda}} \ koniec {macierz}} \ po prawej.}

W obu powyższych wyrażeniach litera h oznacza stałą Plancka . Równanie Schrödingera, ustanowione przez fizyka Erwina Schrödingera w 1925 r. , jest równaniem funkcjonalnym, którego nieznaną funkcją jest funkcja falowa , która uogólnia powyższe podejście Louisa de Broglie'a na masywne cząstki, które nie podlegają relatywistycznej sile pochodzącej z potencjału V ( r), którego całkowita energia mechaniczna wynosi klasycznie:

mi=p22m+V(r).{\ displaystyle E = {p ^ {2} \ ponad 2 m} + V (r).} Powodzenie równania wywnioskować z tego przedłużenia przy użyciu zasady korespondencji było natychmiastowe na poziomie oceny skwantowane energii z elektronów w atomie z wodoru , ponieważ mogą wyjaśnić linie emisyjne z wodoru  series Lyman , Balmera , Brackett , Paschen ,  etc.

Powszechnie akceptowaną fizyczną interpretację funkcji falowej Schrödingera podał dopiero w 1926 roku Max Born . Ze względu na wprowadzony przez nią probabilistyczny charakter, mechanika falowa Schrödingera początkowo wzbudziła podejrzenia wśród niektórych znanych fizyków, takich jak Albert Einstein , dla którego „Bóg nie gra w kości” .

Podejście historyczne

Schemat pojęciowy użyty przez Schrödingera do uzyskania równania opiera się na formalnej analogii między optyką a mechaniką.

• W optyce fizycznej równanie propagacji w przezroczystym ośrodku o rzeczywistym indeksie n zmieniającym się powoli w skali długości fali prowadzi – przy poszukiwaniu rozwiązania monochromatycznego, którego amplituda zmienia się bardzo powoli przed fazą – do przybliżonego równania zwanego eikonal . Jest to przybliżenie optyki geometrycznej , z którą związana jest zasada wariacyjna Fermata .

• W hamiltonowskim ujęciu mechaniki klasycznej występuje tak zwane równanie Hamiltona-Jacobiego . W przypadku masywnej cząstki nierelatywistycznej poddanej działaniu siły pochodzącej od energii potencjalnej , całkowita energia mechaniczna jest stała, a równanie Hamiltona-Jacobiego dla „funkcji charakterystycznej Hamiltona” formalnie przypomina równanie eikonalne (powiązana zasada wariacyjna jest zasadą najmniejszego działanie ).

To podobieństwo zauważył Hamilton w 1834 r. , ale nie miał on wówczas powodu, by wątpić w słuszność mechaniki klasycznej. Po hipotezie De Broglie z 1923 r. Schrödinger powiedział sobie: równanie eikonalu będące przybliżeniem równania falowego optyki fizycznej, poszukajmy równania falowego „mechanika. undulatory” (do skonstruowania), którego przybliżeniem jest Równanie Hamiltona-Jacobiego. Co zrobił, najpierw dla fali stojącej ( E = stała), potem dla dowolnej fali.

Uwaga: Schrödinger w rzeczywistości zaczął od potraktowania przypadku relatywistycznej cząstki - tak jak w rzeczywistości przed nim de Broglie. Następnie uzyskał równanie znane dziś jako równanie Kleina-Gordona , ale jego zastosowanie do przypadku potencjału kulombowskiego dającego poziomy energii niezgodne z wynikami eksperymentalnymi atomu wodoru, wynikałoby z tego, że oparłoby się na przypadku nierelatywistycznym, z sukces, który znamy.

Wyprowadzenie elementarne

Po ustaleniu paraleli między optyką a mechaniką hamiltonowską, czyli nietrywialnej części rozumowania, koniec wyprowadzenia jest względnie elementarny. Rzeczywiście, równanie falowe spełnione przez przestrzenną amplitudę monochromatycznej fali pulsacji ustalonej w ośrodku o wolnozmiennym indeksie n jest zapisane: ω{\ styl wyświetlania \ omega}

(Δ + nie2ω2vs2) ψ(r→) = 0{\ Displaystyle \ lewo (\ Delta \ + \ {\ Frac {n ^ {2} \, \ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ po prawej) \ \ psi ({\ vec {r} }) \ = \ 0}

Wprowadzamy liczbę falową k w ośrodku o indeksie n , tak że:

k2 = nie2ω2vs2{\ displaystyle k ^ {2} \ = \ {\ frac {n ^ {2} \, \ omega ^ {2}} {c ^ {2}}}}

Następnie otrzymujemy równanie Helmholtza  :

(Δ + k2) ψ(r→) = 0{\ styl wyświetlania (\ Delta \ + \ k ^ {2}) \ \ psi ({\ vec {r}}) \ = \ 0}

Długość fali w środku jest określona przez . Równanie Helmholtza zostaje przepisane: λ=2π/k{\ displaystyle \ lambda = 2 \ pi / k}

(Δ + 4π2λ2) ψ(r→) = 0{\ Displaystyle \ lewo (\ \ Delta \ + \ {\ Frac {4 \ pi ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}} \ \ po prawej) \ \ psi ({\ vec {r}} ) \ = \ 0}

Stosujemy więc zależność de Brogliego dla cząstki nierelatywistycznej, dla której pęd p = mv  :

λ = hmv⟹1λ2 = m2v2h2{\ displaystyle \ lambda \ = \ {\ frac {h} {mv}} \ quad \ Longrightarrow \ quad {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ = \ {\ frac {m ^ {2 } \, v ^ {2}} {h ^ {2}}}}

Jednak energia kinetyczna jest zapisana dla cząstki nierelatywistycznej:

12mv2 = mi - V(r→){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, m \, v ^ {2} \ = \ E \ - \ V ({\ vec {r}})}

stąd stacjonarne równanie Schrödingera  :

[Δ + 8π2mh2(mi - V(r→)) ] ψ(r→) = 0{\ displaystyle \ lewo [\, \ Delta \ + \ {\ frac {8 \ pi ^ {2} m} {h ^ {2}}} \, \ lewo (\, E \ - \ V ({\ vec {r}}) \, \ po prawej) \ \ po prawej] \ \ psi ({\ vec {r}}) \ = \ 0}

Wprowadzając kwant działania , przedstawiamy go w zwykłej formie: ℏ=h/2π{\ styl wyświetlania \ hbar = h / 2 \ pi}

- ℏ22mΔψ(r→) + V(r→)ψ(r→) = miψ(r→){\ displaystyle - \ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 m}} \ \ delta \ psi ({\ vec {r}}) \ + \ V ({\ vec {r}}) \, \ psi ({\ vec {r}}) \ = \ E \, \ psi ({\ vec {r}})}

Pozostaje tylko ponownie wprowadzić czas t wyjaśniając zależność czasową dla fali monochromatycznej, a następnie wykorzystując zależność Plancka-Einsteina  : mi=ℏω{\ styl wyświetlania E = \ hbar \ omega}

ψ(r→,t) = ψ(r→) mi-jaωt = ψ(r→) exp⁡(-jamitℏ){\ styl wyświetlania \ psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ \ psi ({\ vec {r}}) \ \ mathrm {e} ^ {- \, i \, \ omega \, t} \ = \ \ psi ({\ vec {r}}) \ \ exp \ po lewej (- \, {\ frac {i \, E \, t} {\ hbar}} \ po prawej)}

W końcu otrzymujemy ogólne równanie Schrödingera  :

- ℏ22mΔψ(r→,t) + V(r→)ψ(r→,t) = jaℏ ∂ψ(r→,t)∂t{\ displaystyle - \ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 m}} \ \ delta \ psi ({\ vec {r}}, t) \ + \ V ({\ vec {r}}) \, \ psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ i \, \ hbar \ {\ frac {\ częściowy \ psi ({\ vec {r}}, t)} {\ częściowy t}} }

Nowoczesna formuła

W mechanice kwantowej stan w czasie t systemu jest opisany przez element o złożonej przestrzeni Hilberta - przy użyciu od Paula Diraca Notacja Diraca . Kwadrat modułu reprezentuje gęstości prawdopodobieństwa wyniku wszystkich możliwych miar systemu. |Ψ(t)⟩{\ styl wyświetlania | \ psi (t) \ rangle}|Ψ(t)⟩{\ styl wyświetlania | \ psi (t) \ rangle}

Ewolucję czasową opisuje równanie Schrödingera: |Ψ(t)⟩{\ styl wyświetlania | \ psi (t) \ rangle}

p→^22m|Ψ(t)⟩+V(r→^,t)|Ψ(t)⟩=jaℏreret|Ψ(t)⟩{\ displaystyle {\ frac {{\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {p}}}} ^ {2}} {2m}} | \ psi (t) \ rangle + V {\ Bigl (} {\ kapelusz { \ vec {\ mathbf {r}}}}, t {\ Bigr)} | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {d \ ponad dt} | \ psi (t) \ rangle}

lub

• ja{\ styl wyświetlania i}jest jednostką urojoną  :  ;ja2=-1{\ styl wyświetlania i ^ {2} = - 1}
• ℏ{\ styl wyświetlania \ hbar \,}jest stała Diraca  : gdzie h jest stałą Plancka = 6.62607004 x 10 -34 m 2 kg / s;ℏ=h2π{\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}}
• H^=p→^22m+V(r→^,t){\ displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ frac {{\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {p}}}} ^ {2}} {2 m}} + V ({\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {r}}}}, t)}jest hamiltonianem , generalnie zależnym od czasu, obserwowalnym odpowiadającym całkowitej energii układu;
• r→^{\ displaystyle {\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {r}}}} \,} jest obserwowalną pozycją;
• p→^{\ displaystyle {\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {p}}}} \,}jest obserwowalnym impulsem .

W przeciwieństwie do równań Maxwella zarządzających ewolucją fal elektromagnetycznych, równanie Schrödingera jest nierelatywistyczne . To równanie jest postulatem. Założono, że jest ona poprawna po tym, jak Davisson i Germer eksperymentalnie potwierdzili hipotezę Louisa de Broglie .

Rozwiązywanie równania

Równanie Schrödingera jako równanie wektorowe możemy przepisać w sposób równoważny w określonej bazie przestrzeni stanów. Jeśli wybierzemy np. bazę odpowiadającą reprezentacji pozycji (w) określonej przez |r→⟩{\ displaystyle | {\ vec {r}} \ rangle} 

r→^|r→⟩=r→|r→⟩{\ displaystyle {\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {r}}}} | {\ vec {r}} \ rangle = {\ vec {r}} | {\ vec {r}} \ rangle}

wtedy funkcja falowa spełnia następujące równanie Ψ(t,r→)≡⟨r→|Ψ(t)⟩{\ displaystyle \ psi (t, {\ vec {r}}) \ ekwiwalent \ langle {\ vec {r}} | \ psi (t) \ rangle \,}

jaℏ∂Ψ(t,r→)∂t=-ℏ22m∇→2Ψ(t,r→)+V(t,r→)Ψ(t,r→){\ displaystyle ja \ hbar {\ frac {\ częściowy \ psi (t, {\ vec {r}})} {\ częściowy t}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 m}} { \ vec {\ nabla}} ^ {2} \ psi (t, {\ vec {r}}) + V (t, {\ vec {r}}) \ psi (t, {\ vec {r}}) }

gdzie jest skalar Laplace'a . Rzeczywiście, obserwowalna pozycja nie zależy od czasu, więc jej własne stany nie zależą od: . ∇→2{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} ^ {2}}r→^{\ displaystyle {\ kapelusz {\ vec {\ mathbf {r}}}}}re|r→⟩ret=0{\ displaystyle {\ frac {\ matematyka {d} | {\ vec {r}} \ rangle} {\ matematyka {d} t}} = 0}

W tej postaci widzimy, że równanie Schrödingera jest równaniem różniczkowym cząstkowym z operatorami liniowymi , co umożliwia zapisanie rozwiązania generycznego jako sumy poszczególnych rozwiązań. Równanie jest w zdecydowanej większości przypadków zbyt skomplikowane, aby dopuścić rozwiązanie analityczne, a więc jego rozdzielczość jest przybliżona lub liczbowa.

Szukaj stanów własnych

Operatory występujące w równaniu Schrödingera są operatorami liniowymi; wynika z tego, że każda liniowa kombinacja rozwiązań jest rozwiązaniem równania. Sprzyja to poszukiwaniu rozwiązań, które mają duże znaczenie teoretyczne i praktyczne, a mianowicie stanów specyficznych dla operatora hamiltonowskiego.

Stany te są więc rozwiązaniami równania na stany i wartości własne:

H|φnie⟩=minie|φnie⟩{\ displaystyle H | \ varphi _ {n} \ rangle = E_ {n} | \ varphi _ {n} \ rangle} które jest czasami nazywane niezależnym od czasu równaniem Schrödingera . Stan własny jest powiązany z wartością własną , rzeczywistym skalarem, energią cząstki, której stan jest. |φnie⟩{\ displaystyle | \ varphi _ {n} \ rangle}minie{\ styl wyświetlania E_ {n}}|φnie⟩{\ displaystyle | \ varphi _ {n} \ rangle}

Wartości energetyczne mogą być dyskretne, podobnie jak powiązane rozwiązania studni potencjału (np. poziomy atomu wodoru); prowadzi to do kwantyfikacji poziomów energii. Mogą również odpowiadać widmu ciągłemu, takiemu jak swobodne roztwory studni potencjału (na przykład elektron mający wystarczającą energię, aby oddalić się w nieskończoność od jądra atomu wodoru).

Często zdarza się, że kilka stanów odpowiada tej samej wartości energii: mówimy wtedy o zdegenerowanych poziomach energii. |φnie⟩{\ displaystyle | \ varphi _ {n} \ rangle}

Ogólnie rzecz biorąc, wyznaczenie każdego ze stanów własnych hamiltonianu i związanej z nim energii daje odpowiedni stan stacjonarny, rozwiązanie równania Schrödingera: |φnie⟩{\ displaystyle | \ varphi _ {n} \ rangle}

|ψnie(t)⟩=|φnie⟩exp⁡(-jaminietℏ).{\ displaystyle | \ psi _ {n} (t) \ rangle \, = \, | \ varphi _ {n} \ rangle \, \ exp \ lewo ({\ frac {-iE_ {n} t} {\ hbar }} \ dobrze).} Rozwiązanie równania Schrödingera można więc bardzo ogólnie zapisać jako liniową kombinację takich stanów: |ψ(t)⟩=ΣnieΣjotvsnie,jot|φnie,jot⟩exp⁡(-jaminietℏ).{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle \, = \, \ suma _ {n} \ sum _ {j} c_ {n, j} | \ varphi _ {n, j} \ rangle \ exp \ lewo ( {\ frac {-iE_ {n} t} {\ hbar}} \ po prawej).}

Zgodnie z postulatami mechaniki kwantowej ,

• skalar zespolony to amplituda stanu nad stanem  ;vsnie,ja{\ styl wyświetlania c_ {n, i}}|ψ(t)⟩{\ styl wyświetlania | \ psi (t) \ rangle}|φnie,ja⟩{\ displaystyle | \ varphi _ {n, i} \ rangle}
• rzeczywista jest prawdopodobieństwem (w przypadku widma dyskretnego ) znalezienia energii podczas pomiaru energii w układzie.Σja|vsnie,ja|2{\ displaystyle \ Sigma _ {i} | c_ {n, ja} | ^ {2}}minie{\ styl wyświetlania E_ {n}}

Przestrzeń funkcji falowych jest przestrzenią Hilberta .

Rzadkość dokładnej rozdzielczości analitycznej

Poszukiwanie stanów własnych hamiltonianu jest generalnie złożone. Nawet analitycznie rozwiązywalny przypadek atomu wodoru jest ściśle rozwiązywalny w prostej formie tylko wtedy, gdy pominiemy sprzężenie z polem elektromagnetycznym, które umożliwi przejście stanów wzbudzonych, rozwiązań równania Schrödingera na l atomie, w kierunku fundamentalnym.

Niektóre proste modele, choć nie do końca zgodne z rzeczywistością, można rozwiązać analitycznie i są bardzo przydatne:

• wolna cząstka (potencjał zerowy);
• oscylator harmoniczny (potencjał kwadratowy);
• cząstka poruszająca się po pierścieniu;
• cząstka w prostokątnej studni potencjału;
• cząstka w pierścieniowym falowodzie;
• cząstka o potencjale sferycznie symetrycznym;
• cząstka w sieci jednowymiarowej (potencjał okresowy).

W pozostałych przypadkach konieczne jest odwołanie się do różnych technik aproksymacji:

• rachunek zaburzeń zapewnia wyrażeń analitycznych w postaci asymptotyczne ekspansji wokół niezakłócony dokładnie rozwiązywalne problemy.
• analiza numeryczna może badać sytuacje niedostępne rachunku zaburzeń.

Uogólnienie

Uogólnienie równania do dziedziny relatywistycznej doprowadziło do równania Kleina-Gordona , a następnie do równania Diraca  ; ten ostatni w naturalny sposób potwierdza istnienie spinu i antycząstek . Jednak nie ma w pełni spójnej interpretacji tych relatywistycznych równań falowych w ramach teorii opisującej pojedynczą cząstkę; Podstawą relatywistycznej teorii kwantowej jest kwantowa teoria pola .

Istnieją inne nieliniowe równania typu Schrödingera, takie jak półliniowe równanie Schrödingera lub podobne równanie Grossa-Pitaevskiego , które występują w teorii ultrazimnych atomów, plazmy, laserów  itp.

Kultura popularna

• Równanie Schrödingera zajmuje ważne miejsce w epizodzie innego świata z sezonu XV Serii Criminal Minds , będąc w centrum patologii seryjnego zabójcy polowali przez zespół BAU.

Uwagi i referencje

1. Schrödinger szczegółowo omawia związek między mechaniką hamiltonowską a optyką w drugim pamiętniku z 1926 r. (patrz bibliografia). Patrz: Walter Moore, Schrödinger - Life & Thought , Cambridge University Press (1989).
2. Szczegóły w Herbert Goldstein, Mechanika klasyczna , Addison-Wesley ( 2 e- wydanie 1980), rozdział 10.8, s.  484-492 .
3. Abraham Païs, Inward Bound , Oxford University Press (1986).
4. Otrzymana formuła Balmera jest prawidłowa, ale drobna struktura jest nieprawidłowa.

Zobacz również

Bibliografia

• [Schrödinger 1926] (w) Erwin Schrödinger , „  Falularna teoria mechaniki atomów i cząsteczek  ” [ „Falowa teoria mechaniki atomów i cząsteczek”], Phys. Obrót silnika. , 2 nd Series, tom.  28, n o  6,grudzień 1926, art.  N O  1, s.  1049-1070 ( OCLC  4643877942 , DOI  10.1103 / PhysRev.28.1049 , Bibcode  1926PhRv ... 28.1049S , streszczenie , czytaj online [PDF] ).
• Erwin Schrödinger, Memoirs on wave mechanics , Félix-Alcan, Paris, 1933. Reissue Jacques Gabay , przedmowa Marcel Brillouin , 1988 ( ISBN  2-87647-048-9 ) - Przedmowa autora i niepublikowane notatki specjalnie napisane dla tego tłumaczenia. - Zawiera francuskie tłumaczenie wspomnień historycznych z 1926 roku autorstwa Alexandre'a Proca :
  • „Kwantyfikowanie i wartości własne (I) i (II)”, Annalen der Physik (4) , 79 , 1926;
  • „O związkach, które istnieją między mechaniką kwantową Heisenberga-Borna-Jordana a moją”, Annalen der Physik (4) , 79 , 1926;
  • „Analiza ilościowa i wartości własnych (III), - rachunek zaburzeń z zastosowaniem do efektu Starka z linii Balmera  ” Annalen der Physik (4) 80 1926
  • „Kwantyfikowanie i wartości własne (IV)”, Annalen der Physik (4) , 81 , 1926; a także następujące artykuły:
  • „Upływ ciągłych mikro mechaniki do makroskopowej mechanicznego” Die Naturwissenschaften , 14 th  roku, 28 , 1926, s.  664-666  ;
  • „O efekcie Comptona”, Annalen der Physik (4) , 82 , 1927;
  • „Twierdzenie zachowania energii i pędu dla fal materialnych”, Annalen der Physik (4) , 82 , 1927;
  • „Wymiana energii według mechaniki fal”, Annalen der Physik (4) , 83 , 1927; "Wzbogacenie".

Powiązane artykuły

• Erwin Schrödinger
• atom wodoru
• Fizyka kwantowa
• Propagator równania Schrödingera
• Potencjał kwantowy
• Jedność
• Całka po ścieżce
• Równanie Kleina-Gordona
• równanie Diraca

Linki zewnętrzne

• Ewidencja organów  :
  • Biblioteka Narodowa Francji ( dane )
  • Uczelniany system dokumentacji
  • Biblioteka Kongresu
  • Gemeinsame Normdatei