Całka ścieżki

Pełna ścieżka ( „ całka ” w języku angielskim) jest funkcjonalny integralny , to znaczy, że integracja jest funkcjonalny i suma zostaje przejęty funkcji, a nie na liczbach rzeczywistych (lub złożone ), jak dla zwykłych całek . Mamy zatem do czynienia z całką w nieskończonym wymiarze. W ten sposób będziemy starannie odróżniać całkę po ścieżce (całkę funkcjonalną) od całki zwyczajnej obliczonej na ścieżce przestrzeni fizycznej, którą matematycy nazywają całką krzywoliniową .

To Richard Feynman wprowadził całki po ścieżce do fizyki w swojej pracy magisterskiej, której bronił w rMaj 1942zajmujący się formułowaniem mechaniki kwantowej w oparciu o Lagrangian . Pierwotna motywacja pochodzi z chęci uzyskania kwantowego sformułowania teorii absorbera Wheelera i Feynmana z Lagrangianu (zamiast Hamiltona ) jako punktu wyjścia. W związku z II wojną światową , te wyniki nie zostaną opublikowane dopóki 1948. To narzędzie matematyczne szybko stała się w fizyce teoretycznej z jej uogólnienia do teorii pola kwantowego , umożliwiając w szczególności ilościowego nie- Abelowych teorii cechowania. Prostsze niż kanonicznej kwantyzacji procedura.

Ponadto matematyk Mark Kac opracował następnie podobną koncepcję teoretycznego opisu ruchów Browna , inspirowaną wynikami uzyskanymi przez Norberta Wienera w latach 20. XX w. W tym przypadku mówimy o wzorze Feynmana-Kaca , który jest całką dla środek Wienera.

Geneza pojęcia całki po ścieżce

Jako student 3 e cyklu prowadzonego przez Wheelera na Uniwersytecie Princeton , młody Feynman poszukuje metody kwantyfikacji opartej na Lagrangianu w celu opisania systemu niekoniecznie wymagającego hamiltonianu . Jego główną motywacją jest ilościowe określenie nowego sformułowania klasycznej elektrodynamiki opartej na zdalnym działaniu, które właśnie opracował z Wheelerem.

Wiosną 1941 roku spotkał Herberta Jehle, wówczas gościa w Princeton, który podczas wieczoru w tawernie Nassau powiedział mu o istnieniu artykułu Diraca, który szczegółowo omawia kwantyfikację z Lagrangianu. Jehle wyjaśnia Feynmanowi, że to sformułowanie pozwala na kowariantne relatywistyczne podejście o wiele łatwiejsze niż to oparte na hamiltonianie. Następnego dnia dwaj fizycy udają się do biblioteki, aby przestudiować artykuł Diraca. Przeczytali w szczególności następujące zdanie:

Dla dwóch chwil i sąsiadów amplituda przejścia elementarnego jest podobna do

t

{\ Displaystyle t + \ epsilon \,}

{\ Displaystyle \ langle q_ {2} (t + \ epsilon) | q_ {1} (t) \ rangle \,}

{\ Displaystyle \ exp (iS [q] / \ hbar) \,}

W tym wzorze wielkość S [ q ( t )] jest działaniem klasycznym:

{\ Displaystyle S [q_ {2} (t + \ epsilon), q_ {1} (t)] \ = \ \ int _ {t} ^ {t + \ epsilon} L (q, {\ kropka {q} }) \ \ mathrm {d} t \ = \ L \ left (q_ {1}, {\ frac {q_ {2} -q_ {1}} {\ epsilon}} \ right) \ \ epsilon \,}

Aby zrozumieć, co Dirac rozumie przez analogię , Feynman bada przypadek nierelatywistycznej cząstki o masie m, dla której napisano Lagrangian:

{\ Displaystyle L (q, {\ kropka {q}}) \ = \ {\ Frac {m} {2}} {\ kropka {q}} ^ {2} \ - \ V (q)}

Wiemy to :

{\ Displaystyle \ langle q_ {2} | \ psi (t + \ epsilon) \ rangle \ = \ \ psi (q_ {2}, t + \ epsilon) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \, \ langle q_ {2} (t + \ epsilon) | q_ {1} (t) \ rangle \, \ langle q_ {1} | \ psi (t) \ rangle}

Feynman zakłada następnie relację proporcjonalności :

{\ Displaystyle \ psi (q_ {2}, t + \ epsilon) \ = \ A \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \, \ exp \, \ lewo (\, i \, {\ frac { S [q (t)]} {\ hbar}} \, \ right) \ \ psi (q_ {1}, t)}

gdzie A jest nieznaną stałą. W obecności Jehle Feynman pokazuje, że to równanie implikuje zgodność z równaniem Schrödingera: ${\ Displaystyle \ psi (q, t) \,}$

{\ Displaystyle \ lewo [\, - \ {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ {\ Frac {\ częściowe ^ {2} ~~} {\ częściowe q ^ {2}}} \ + \ V (q) \, \ right] \ \ psi (q, t) \ = \ i \, \ hbar \ {\ frac {\ części ~~} {\ częściowe t}} \ psi (q, t) }

pod warunkiem, że nieznana stała A jest równa:

{\ Displaystyle A \ = \ {\ sqrt {\ Frac {m} {2 \ pi \ hbar i \ epsilon}}}}

Jesienią 1946 roku, podczas dwustulecia Uniwersytetu Princeton, Feynman spotkał Diraca i odbyła się następująca krótka wymiana zdań:

Feynman. - " Czy wiesz, że te dwa rozmiary były proporcjonalne?" " Dirac. - " Czy oni? " Feynman. - „ Tak. " Dirac. - „ Och! To interesujące. "

Ta lakoniczna odpowiedź zakończy dyskusję ... Więcej szczegółów historycznych przeczytamy z zyskiem w artykule Schwebera.

Przypomnienia o propagatorze równania Schrödingera

Aby uprościć zapisy, ograniczamy się poniżej do przypadku pojedynczego wymiaru przestrzennego. Wyniki łatwo rozciągają się na dowolną liczbę wymiarów.

Definicja

Rozważmy nierelatywistyczną cząstkę masowe m , opisany w mechanice kwantowej przez funkcji fali . Przypuśćmy, że warunek początkowy podajemy w ustalonym momencie początkowym . Następnie funkcja falowa w późniejszej chwili , rozwiązanie równania Schrödingera , jest dana równaniem całkowym: ${\ Displaystyle \ psi (q_ {0}, t_ {0}) \,}$ ${\ displaystyle t_ {0} \,}$ ${\ displaystyle t_ {1}> t_ {0} \,}$

{\ Displaystyle \ psi (q_ {1}, t_ {1}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ { 0}) \ \ psi (q_ {0}, t_ {0})}

gdzie jest propagator cząstki: ${\ Displaystyle K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \,}$

{\ Displaystyle {K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \: = \ \ lewo \ langle q_ {1} {\ duży |} e ^ {- ja {\ kapelusz {H}} (t_ {1} -t_ {0}) / \ hbar} {\ Big |} q_ {0} \ right \ rangle}}

Ĥ jest hamiltonowskim operatorem cząstki.

Równanie Chapmana-Kołmogorowa

Przypomnijmy, że jeśli propagator przestrzega równania Chapmana-Kołmogorowa : ${\ displaystyle t_ {2}> t_ {1}> t_ {0} \,}$

{\ Displaystyle K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ K (q_ {2}, t_ {2 } | q_ {1}, t_ {1}) \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}

Ta relacja pozwoli nam znaleźć wyrażenie propagatora w postaci całki po ścieżce.

Wyrażenie propagatora w kategoriach całki po ścieżce

Poszukajmy wyrazu propagatora między momentem początkowym a momentem końcowym . ${\ Displaystyle K (q_ {f}, t_ {f} | q_ {i}, t_ {i}) \,}$ $t_ {i} \,$ ${\ displaystyle t_ {f} \,}$

Zastosowanie równania Chapmana-Kołmogorowa

Przedział czasu dzieli się na N elementarnych przedziałów czasu trwania , wprowadzając N + 1 razy: ${\ Displaystyle \ Delta t = t_ {f} -t_ {i} \,}$ $\ epsilon \,$

{\ Displaystyle t_ {k} \ = \ t_ {0} \ + k \ \ epsilon}

dla

{\ Displaystyle \, k \ in \ {0, \ kropki, N \}}

z i . Istnieje zatem N - 1 czasów pośrednich między czasem początkowym a czasem końcowym . Aby przedziały czasowe miały elementarny czas trwania , zakłada się ograniczenie . ${\ displaystyle t_ {0} = t_ {i} \,}$ ${\ displaystyle t_ {N} = t_ {f} \,}$ ${\ displaystyle t_ {k} \,}$ $t_ {0} \,$ ${\ displaystyle t_ {N} \,}$ ${\ Displaystyle \ epsilon = t_ {k + 1} -t_ {k} \,}$ ${\ Displaystyle N \ do + \ infty \,}$

Zastosowanie równania Chapmana-Kołmogorowa po raz pierwszy pozwala napisać:

{\ Displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {N-1} \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ K (q_ {N-1}, t_ {N-1} | q_ {0}, t_ {0})}

następnie, stosując go po raz drugi:

{\ Displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {N-1} \ operatorname {d} q_ {N- 2} \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ K (q_ {N-1}, t_ {N-1} | q_ {N- 2}, t_ {N-2}) \ K (q_ {N-2}, t_ {N-2} | q_ {0}, t_ {0})}

I tak dalej. W końcu uzyskać po N - 1 aplikacji do N - 1 razy pośrednich:

{\ Displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ lewo [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} \ mathrm {d} q_ {k} \, \ right] \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N- 1}, t_ {N- 1}) \ times \ cdots \ times K (q_ { k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ times \ cdots \ times K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) }

W ten sposób dochodzimy do rozważenia podstawowego propagatora :

{\ Displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ lewo \ langle q_ {k + 1} {\ Big |} e ^ { -i {\ hat {H}} \ epsilon / \ hbar} {\ Big |} q_ {k} \ right \ rangle}

Propagator pierwiastków: wzór Feynmana-Diraca

Dla jednowymiarowej nierelatywistycznej cząstki masy w potencjale, której operator Hamiltona jest zapisany: $m \,$

{\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} \ = \ {\ kapelusz {H}} _ {0} \ + \ V ({\ kapelusz {q}})}

a elementarny propagator jest napisany:

{\ Displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \, [\, {\ hat {H}} _ {0} + V ({\ hat {q}}) \,] \, \ epsilon / \ hbar} | q_ {k}>}

Używamy formuły Trotter-Kato :

{\ Displaystyle e ^ {t ({\ kapelusz {A}} + {\ kapelusz {B}})} \ = \ \ lim _ {n \ do \ infty} \ \ lewo [\ e ^ {{\ kapelusz { A}} t / n} \ \ times \ e ^ {{\ hat {B}} t / n} \ \ right] ^ {n}}

Ta formuła nie jest trywialna, bo operatorzy i generalnie nie dojeżdżają! Trafiamy tutaj: ${\ displaystyle {\ hat {A}} \,}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}} \,}$

{\ Displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \ epsilon {\ kapelusz {H}} _ {0} / \ hbar} \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V ({\ hat {q}}) / \ hbar} | q_ {k}>}

Możemy wyprowadzić wykładnik zawierający potencjał, który zależy tylko od pozycji:

{\ Displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \ epsilon {\ kapelusz {H}} _ {0} / \ hbar} | q_ {k}> \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V (q_ {k}) / \ hbar}}

Pozostały element macierzy jest propagatorem wolnej cząstki , więc możemy wreszcie napisać wyrażenie:

{\ Displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V (q_ {k}) / \ hbar}}

Teraz wyrażenie wolnego propagatora jest dokładnie znane:

{\ Displaystyle K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ {\ sqrt {\ Frac {m} {2 \ pi ja \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im (q_ {k + 1} -q_ {k}) ^ {2}} {2 \ hbar \ epsilon}} \ right)}

Zauważ, że wykładniczy argument można przepisać w postaci dyskretnego wyrażenia prędkości :

{\ Displaystyle {\ kropka {q}} _ {k} \ = \ {\ Frac {(q_ {k + 1} -q_ {k})} {\ epsilon}}}

tak jak :

{\ Displaystyle K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ {\ sqrt {\ Frac {m} {2 \ pi ja \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ right)}

Wnioskujemy, że elementarny propagator jest napisany:

{\ Displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi ja \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ right) \ times \ \ exp \ left ({\ frac {-i \ epsilon V (q_ {k})} {\ hbar}} \ right)}

Argumenty dwóch wykładników będących teraz liczbami zespolonymi można bez trudu napisać:

{\ Displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi ja \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ - \ i \ epsilon {\ frac { V (q_ {k})} {\ hbar}} \ right)}

lub jeszcze raz:

{\ Displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi ja \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ \ left ({\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} _ {k} ^ {2 } \ - \ V (q_ {k}) \ right) \ \ epsilon \ \ right]}

Termin w nawiasach przedstawia Lagrangian cząstki:

{\ Displaystyle L (q_ {k}, {\ kropka {q}} _ {k}) \ = \ {\ frac {m.} {2}} {\ kropka {q}} _ {k} ^ {2} \ - \ V (q_ {k})}

stąd wzór Feynmana-Diraca na elementarnego propagatora:

{\ Displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi ja \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ \ epsilon \ \ right]}

Całka ścieżki

Do wzoru ogólnego wstrzykujemy wyrażenie Feynmana-Diraca:

{\ Displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ lewo [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ right] \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ times \ dots \ times K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ times \ dots \ times K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}

On przychodzi :

{\ Displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ lewo (\, {\ Frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \, \ right) ^ {N / 2} \ \ int \ left [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ right] \ \ exp \ left [+ { \ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {N-1}, {\ dot {q}} _ {N-1}) \ \ epsilon \ \ right] \ times \ dots \ times \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ \ epsilon \ \ right] \ times \ dots \ times \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {0}, {\ dot {q}} _ {0}) \ \ epsilon \ \ right]}

Argument, że wykładniki są liczbami zespolonymi, możemy napisać:

{\ Displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ lewo (\, {\ Frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \, \ right) ^ {N / 2} \ \ int \ left [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ right] \ \ exp \ left [+ { \ frac {i} {\ hbar}} \ \ left [\, L (q_ {N-1}, {\ dot {q}} _ {N-1}) + \ dots + L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) + \ dots + L (q_ {0}, {\ dot {q}} _ {0}) \, \ right] \ \ epsilon \ \ right]}

W wykładniczym argumencie rozpoznajemy dyskretyzację działania klasycznego:

{\ Displaystyle \ lim _ {N \ do \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} L (q_ {k}, {\ kropka {q}} _ {k}) \ epsilon \ = \ \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {N}} L (q (t), {\ dot {q}} (t)) dt \ = \ S \ left [\, q (t) \ , \ dobrze]}

Za pomocą Feynmana wnioskujemy o wyrażeniu propagatora jako całki funkcjonalnej na wszystkich ciągłych ścieżkach:

{\ Displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int {\ mathcal {D}} q (t) \ {\ textrm {e}} ^ {+ {\ frac {i \, S \ left [\, q (t) \, \ right]} {\ hbar}}}}

ze środkiem formalnym:

{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} q (t) \ = \ \ lim _ {N \ do \ infty} \ lewo (\, {\ Frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \ , \ right) ^ {N / 2} \ \ left [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ right]}

Interpretacja

Wzór Feynmana:

{\ Displaystyle K (q_ {f}, t_ {f} | q_ {i}, t_ {i}) \ = \ \ int {\ mathcal {D}} q (t) \ {\ textrm {e}} ^ {+ {\ frac {i \, S \ left [\, q (t) \, \ right]} {\ hbar}}}}

dopuszcza następującą interpretację: aby obliczyć amplitudę przejścia od punktu początkowego w danej chwili do punktu końcowego w danym momencie , konieczne jest uwzględnienie wszystkich ciągłych ścieżek sprawdzających warunki brzegowe: i . Każdej ścieżce przypisana jest złożona „waga” modułu jednostkowego :, gdzie jest klasycznym działaniem obliczonym na tej ścieżce. Następnie „sumujemy” tę niezliczoną nieskończoność złożonych wag i ostatecznie otrzymujemy pożądaną amplitudę przejścia. $q_i \,$ $t_ {i} \,$ ${\ displaystyle q_ {f} \,}$ $t_f$ ${\ Displaystyle q (t) \,}$ ${\ Displaystyle q (t_ {i}) = q_ {i} \,}$ ${\ Displaystyle q (t_ {f}) = q_ {f} \,}$ ${\ Displaystyle \ exp (iS [q (t)] / \ hbar) \,}$ ${\ Displaystyle S [q (t)] \,}$

Ta interpretacja jest dziełem samego Feynmana, ponieważ Dirac nie podjął takiej decyzji. Jest to dorozumiane w jego tezie z 1942 roku i wyraźne w publikacji z 1948 roku.

Granica półklasyczna

W granicy, w której działanie układu jest znacznie większe niż , można zastosować rozwinięcie typu półklasycznego, gdzie występuje niewielkie zaburzenie trajektorii klasycznej : $\ hbar$ $y$ ${\ displaystyle x_ {c}}$ ${\ displaystyle x = x_ {c} + y}$

Rozważmy standardowy Lagrangian:

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [x, {\ kropka {x}}] = {\ Frac {m {\ kropka {x}} ^ {2}} {2}} - V (x)}$

Następnie piszemy akcję w następującej formie, ograniczając się do drugiego rzędu:

${\ Displaystyle S [x] \ ok S [x_ {c}] + \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t \ underbrace {\ left. {\ frac {\ częściowe S} {\ częściowe x (t)}} \ right | _ {x_ {c}}} _ {= 0} y (t) + {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ {i }} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t_ {1} \, \ mathrm {d} t_ {2} \ left. {\ frac {\ części ^ {2} S} {\ częściowe x (t_ {1}) \ częściowe x (t_ {2})}} \ right | _ {x_ {c}} y (t_ {1}) y (t_ {2}) \ Longrightarrow}$

${\ Displaystyle S [x] \ ok S [x_ {c}] + {\ Frac {1} {2}} \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t ( m {\ dot {y}} ^ {2} -V '' (x_ {c}) y ^ {2})}$

możemy zatem przybliżyć propagatora:

${\ Displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ ok \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar} \ int {\ mathcal {D}} [y] \ mathrm {e} ^ {i \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t (m {\ dot {y}} ^ {2} -V '' (x_ {c}) y ^ {2}) / 2 \ hbar}}$

zintegrowanie części doprowadzeń wykładnik potęgi, w postać Gaussa:

${\ Displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ ok \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar} \ int {\ mathcal {D}} [y] \ mathrm {e} ^ {i \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t (y [-m {\ frac {d ^ {2 }} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' (x_ {c})] y) / 2 \ hbar}}$

Zdefiniuj operatora ${\ Displaystyle {\ kapelusz {O}} = - m {\ Frac {d ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' (x_ {c})}$

Zasady obliczania całek Gaussa przewidują:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ ok. cste \ cdot {\ sqrt {\ frac {1} {\ mathrm {Det} ({\ hat { O}})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

Rozważmy teraz funkcję zdefiniowaną w następujący sposób: ${\ displaystyle \ Psi (t)}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {O}} \ Psi = \ lewo (-m {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' ( x_ {c}) \ right) \ Psi = 0}$

z warunkami brzegowymi:

${\ displaystyle \ Psi (t_ {i}) = 0}$

${\ displaystyle \ Psi '(t_ {i}) = 1}$

Możemy wtedy pokazać, że:

${\ Displaystyle Det ({\ kapelusz {O}}) = cste \ cdot \ Psi (t_ {f})}$

co daje nam przybliżenie propagatora:

${\ Displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ około {\ sqrt {\ Frac {A} {\ Psi (t_ {f})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

wyznaczamy stałą A z propagatora wolnej cząstki:

${\ displaystyle K_ {fp} (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = {\ sqrt {\ Frac {m} {2 \ pi ja \ hbar (t_ {f}) -t_ {i})}}} \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

w przypadku cząstki swobodnej funkcją spełniającą powyższe warunki jest , co od razu daje nam wyrażenie na A. Ostatecznie otrzymujemy tzw. przybliżenie półklasyczne propagatora: $\ Psi$ ${\ Displaystyle \ Psi (t) = t-t_ {i}}$

${\ Displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ około {\ sqrt {\ Frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ Psi (t_ {f}) )}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

przybliżenie to jest potężne i czasami może nawet dać dokładny wynik, jak w przypadku, gdy potencjał jest potencjałem oscylatora częstotliwości harmonicznej . W tym przypadku funkcja musi spełniać oprócz warunków brzegowych: $\omega$ $\ Psi$

${\ Displaystyle \ lewo (-m {\ Frac {d ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - m \ omega ^ {2} \ prawej) \ Psi = 0 \ Longrightarrow \ Psi (t) = {\ frac {\ sin \ omega (t-t_ {i})} {\ omega}}}$

i otrzymujemy dokładny wyraz propagatora oscylatora harmonicznego przez półklasyczne przybliżenie:

${\ Displaystyle K_ {ho} (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = {\ sqrt {\ Frac {m \ omega} {2 \ pi ja \ hbar \ sin \ omega (t_ {f} -t_ {i})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

z klasycznym działaniem oscylatora harmonicznego:

${\ Displaystyle S_ {cl} [x] = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t {\ mathcal {l}} [x, {\ kropka {x}} ] = {\ frac {m \ omega} {2}} \ left [(x_ {f} ^ {2} + x_ {i} ^ {2}) \ cot \ omega (t_ {f} -t_ {i} ) - {\ frac {2x_ {i} x_ {f}} {\ sin \ omega (t_ {f} -t_ {i})}} \ right]}$

zwróć uwagę na inne równoważne sformułowanie półklasycznego przybliżenia, znanego jako Van Vleck - Pauli - Morette , które wynika bezpośrednio z poprzedniego:

${\ Displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) _ {sc} = {\ sqrt {- {\ Frac {1} {2 \ pi i \ hbar}} {\ frac {\ części ^ {2} S_ {cl}} {\ częściowy x_ {i} \ częściowy x_ {f}}}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS_ {cl} / \ hbar}}$

Bibliografia

Teksty historyczne

Richard P. Feynman; Zasada najmniejszego działania w mechanice kwantowej , praca magisterska z Uniwersytetu Princeton. Ta teza została właśnie opublikowana przez Laurie M. Brown (patrz poniżej).

Richard P. Feynman; Podejście czasoprzestrzenne do nierelatywistycznej mechaniki kwantowej , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Artykuł jest reprodukowany w: Julian Schwinger (red.); Wybrane artykuły dotyczące elektrodynamiki kwantowej , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) .

PAM Dirac; Lagrange'a w mechanice kwantowej , Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Artykuł ten jest reprodukowany w: Julian Schwinger (red.); Wybrane artykuły dotyczące elektrodynamiki kwantowej , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) .

Laurie M. Brown (redaktor); Teza Feynmana: nowe podejście do teorii kwantów , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) . Zawiera oryginalną tezę Feynmana, a także dwa poprzednie artykuły.

Leksykony

Jean Zinn-Justin ; Integralna ścieżka w mechanice kwantowej: Wprowadzenie , Zbieranie aktualnej wiedzy, EDP Sciences / CNRS Éditions (2003), ( ISBN 2-86883-660-7 ) . Doskonałe wprowadzenie do tematu, książka ta jest efektem wieloletnich zajęć dydaktycznych na Międzyuczelnianym Magisterium Fizyki ENS.
Claude Cohen-Tannoudji ; Uzupełnienia mechaniki kwantowej (1966). Kurs podany w 1966 r. Przez Nagrodę Nobla z 1997 r. (Collège de France, Paryż). Podchodzi do Lagrange'a sformułowania mechaniki kwantowej i wykorzystania funkcji Greena. Notatki z wykładów napisane w 1966 roku przez Serge'a Haroche (Collège de France, Paryż).
Richard P. Feynman i André R. Hibbs, Mechanika kwantowa i całki ścieżki , Nowy Jork: McGraw-Hill (1965), ( ISBN 0-07-020650-3 ) .
Larry S. Schulman; Techniki i zastosowania integracji ścieżek , Jonh Wiley & Sons (Nowy Jork-1981), ISBN. Przedrukowano przez Dover Publications, Inc. (2005), ( ISBN 0-486-44528-3 ) . Kolejne odniesienie, trochę nowocześniejsze niż poprzednie.
Christian Grosche i Frank Steiner; Handbook of Feynman Path Integrals , Springer Tracts in Modern Physics 145, Springer-Verlag (1998), ( ISBN 3-540-57135-3 ) .
Philippe A. Martin; Całka funkcjonalna ; Presses Polytechniques Universitaires Romandes (1996), ( ISBN 2-88074-331-1 ) .
Lundqvist & co; Podsumowanie ścieżki ; World Scientific (1988), ( ISBN 9971-5-0597-5 ) .
Martin Veltman; Diagrammatica , CambridgeLNP
Lewis H. Ryder; Kwantowa teoria pola (Cambridge University Press, 1985), ( ISBN 0-521-33859-X ) .
RJ Rivers; Path Integrals Methods in Quantum Field Theory , Cambridge University Press (1987), ( ISBN 0-521-25979-7 ) .
Hagen Kleinert , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4. wydanie, World Scientific (Singapur, 2004), ( ISBN 981-238-107-4 ) . (Dostępne również online w formacie pdf ).
Christian Grosche; Wprowadzenie do całki ścieżki Feynmana , kurs podany na Quantenfeldtheorie und deren Anwendung in der Elementarteilchen- und Festkörperphysik , Universität Leipzig, 16-26 listopada 1992. Pełny tekst dostępny na ArXiv: hep-th / 9302097 .
Sanjeev Seahra; Całki ścieżki w kwantowej teorii pola , notatki z kursu Kwantowa teoria pola podanego w 2000 roku przez Erica Poissona na Uniwersytecie Waterloo (Kanada). Pełny tekst dostępny w formacie pdf .
Richard MacKenzie; Metody i zastosowania integralnych ścieżek , kurs prowadzony w Rencontres du Vietnam: VIth Vietnam School of Physics , Vung Tau, Wietnam, 27 grudnia 1999 - 8 stycznia 2000. Pełny tekst dostępny na ArXiv: quant-ph / 0004090 .
Gert Roepstorff; Path Integral Approach to Quantum Physics , Springer-Verlag (1994), ( ISBN 3-540-55213-8 ) .

Podejście rygorystyczne matematycznie

(en) Sergio Albeverio (en) i Raphael Høegh-Krohn (en) , Mathematical Theory of Feynman Path Integral , Lecture Notes in Mathematics 523, Springer-Verlag, 1976
(en) James Glimm and Arthur Jaffe , Quantum Physics: a Functional Integral Point of View , Nowy Jork, Springer-Verlag, 1981 ( ISBN 0-387-90562-6 )
(en) Gerald W. Johnson i Michel L. Lapidus, The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, 2002 ( ISBN 0-19-851572-3 )
(en) Pavel Etingof, Geometry and Quantum Field Theory , MIT OpenCourseWare, 2002Ten kurs online, przeznaczony dla matematyków, stanowi rygorystyczne wprowadzenie do kwantowej teorii pola poprzez całki funkcjonalne.
(en) Cécile DeWitt-Morette , „Całka po ścieżce Feynmana - Definicja bez procedury ograniczającej”, w Comm. Matematyka. Fiz. , lot. 28, n o 1, 1972, str. 47–67 . [ czytaj online ]
(en) Pierre Cartier i Cécile DeWitt-Morette, „Nowe spojrzenie na integrację funkcjonalną”, w J. Math. Fiz. , lot. 36, 1995, s. 2137-2340 . " Funct-an / 9602005 " , tekst w wolnym dostępie, na arXiv .
Pierre Cartier, „Całka ścieżek Feynmana: od intuicyjnego spojrzenia do rygorystycznej struktury”, w Today's Mathematical Lessons , Collection Le sel et le fer, Cassini, 2000 ( ISBN 2-84225-007 -9 ) , s. 27-59
(en) Alain Connes i Dirk Kreimer , „Renormalizacja w kwantowej teorii pola i problem Riemanna-Hilberta, I”, w Comm. Matematyka. Fiz. , lot. 210 n o 1, 2000 , str. 249-273
(en) Alain Connes i Dirk Kreimer, „Funkcja β, dyfeomorfizmy i grupa renormalizacji”, w Comm. Matematyka. Fiz. , lot. 216 n o 1, 2001, str. 215-241
(en) Alain Connes, strona osobista , artykuły 137, 148, 155, 157, 158, 162, 165, 167

Uwagi i odniesienia

Fizycy kwalifikują krzywoliniową całkę pola jako wektor cyrkulacji (na przykład działanie siły).
Richard P. Feynman; Zasada najmniejszego działania w mechanice kwantowej , praca magisterska z Uniwersytetu Princeton. Ta praca została właśnie opublikowana w Laurie M. Brown (redaktor); Teza Feynmana: nowe podejście do teorii kwantów , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
Richard P. Feynman; Podejście czasoprzestrzenne do nierelatywistycznej mechaniki kwantowej , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Artykuł jest reprodukowany w: Julian Schwinger (red.); Wybrane artykuły z elektrodynamiki kwantowej , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) , a także w: Laurie M. Brown (redaktor); Teza Feynmana: nowe podejście do teorii kwantów , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
Istnieje wyraźne formalne powiązanie między dwoma typami całek po ścieżce - Feynmana i Wienera - ponieważ podczas zapisywania równania Schrödingera swobodnej masywnej nierelatywistycznej cząstki: gdzie jest kwantowa funkcja fali, równanie dyfuzji w przestrzeni dla gęstość prawdopodobieństwa jest zapisana: Widzimy wyraźnie, że wystarczy ustawić: dla współczynnika dyfuzji i: dla czasu przekształcenia równania Schrödingera w równanie transmisji. Okazuje się jednak, że całka Wienera po ścieżce - dla równania dyfuzji - jest łatwiejsza do zdefiniowania matematycznie, niż ta z Feynmana - dla równania Schrödingera. Dlatego niektórzy autorzy zaproponowali zdefiniowanie całki Feynmana z miary Wienera poprzez analityczne rozszerzenie dla czasów urojonych. ${\ Displaystyle - {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ \ Delta \ psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ i \ hbar \ {\ Frac {\ częściowe \ psi ({\ vec {r}}, t)} {\ part t}}}$ $\ psi$ $P.$ ${\ Displaystyle D \ \ Delta P ({\ vec {r}}, \ tau) \ = \ {\ Frac {\ częściowe P ({\ vec {r}}, \ tau)} {\ częściowe \ tau}} }$ ${\ Displaystyle D = - \ hbar / 2m}$ ${\ displaystyle t = ja \ tau}$
Teoria ta zostanie opublikowana dopiero w 1945 roku: John Archibald Wheeler i Richard P. Feynman; Przegląd fizyki współczesnej 17 (1945) 157.
PAM Dirac; Lagrange'a w mechanice kwantowej , Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Artykuł ten jest reprodukowany w: Julian Schwinger (red.); Wybrane artykuły z elektrodynamiki kwantowej , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) , a także w: Laurie M. Brown (redaktor); Teza Feynmana: nowe podejście do teorii kwantów , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
(w) Silvan S. Schweber , " Wizualizacja procesów czasoprzestrzennych Feynmana " , Review of Modern Physics , tom. 58 N O 21 st kwiecień 1986, s. 449–508 ( DOI 10.1103 / RevModPhys.58.449 ).
To równanie zostało napisane przez Diraca w swoim artykule z 1933 roku.
Dużym problemem związanym z tą definicją jest to, że ta „miara formalna” nie jest miarą rzeczywistą w ścisłym sensie matematyka. Dokładna definicja całki Feynmana znajduje się w traktatach - często bardzo technicznych - w bibliografii.
Analogia z ruchem Browna pokazuje, że ścieżki, które mają istotny wkład w całkę Feynmana, są ciągłe, ale nie różniczkowalne . Dokładniej, są to lipchitzowskie ścieżki wykładników 1/2.