Transformacja Laplace'a
W matematyce The Laplace'a transformacja jest integralną przekształcenie , to znaczy operacja skojarzenie z funkcją ƒ (określona na dodatnich liczb rzeczywistych i wartości rzeczywiste) nowej funkcji o nazwie Laplace'a z ƒ (tradycyjnie oznaczona przez F, zdefiniowanych i kompleks wartości ) , poprzez całkę .
Uwaga: tradycyjnie oznaczamy t rodzajowy parametr ƒ (tworząc w ten sposób ƒ ( t )), podczas gdy oznaczamy raczej p jego transformację F (dlatego piszemy F ( p )).
Transformacja Laplace'a jest iniekcyjna i dzięki obliczeniom (lub przy użyciu tabel) można ją odwrócić. Ogromną zaletą transformaty Laplace'a jest to, że większość typowych operacji na pierwotnej funkcji ƒ ( t ), takich jak wyprowadzenie lub tłumaczenie zmiennej t , ma (bardziej) prostą translację na transformacji F ( p ). Więc :
- transformata Laplace'a pochodnej ƒ '( t ) jest po prostu p F ( p ) - ƒ (0 - );
- transformacja funkcji ƒ ( t - τ) (translacja) jest po prostu e - p τ F ( p ).
Transformacja ta została po raz pierwszy wprowadzona w formie zbliżonej do tej stosowanej przez Laplace'a w 1774 roku, w ramach teorii prawdopodobieństwa .
Transformacja Laplace'a uogólnia transformację Fouriera, która jest również używana do rozwiązywania równań różniczkowych : w przeciwieństwie do tego ostatniego, bierze pod uwagę warunki początkowe, a zatem może być stosowana w teorii drgań mechanicznych lub w elektryczności w badaniach wymuszonych reżimów. Bez zaniedbania system przejściowy. Zbiega się ona dla wszystkich funkcji, które ważone wykładniczo dopuszczają transformatę Fouriera; w konsekwencji wszystkie funkcje dopuszczające transformatę Fouriera dopuszczają transformatę Laplace'a, ale odwrotność nie jest prawdą. Ogólnie rzecz biorąc, jego właściwości w odniesieniu do wyprowadzenia pozwalają na prostsze traktowanie pewnych równań różniczkowych i dlatego jest szeroko stosowany w automatyce .
W tego typu analizie transformacja Laplace'a jest często interpretowana jako przejście z dziedziny czasu , w której wejścia i wyjścia są funkcjami czasu, do dziedziny częstotliwości , w której te same wejścia i wyjścia są funkcjami „częstotliwości” (złożony) str . Więc; można po prostu przeanalizować wpływ układu na dane wejściowe, aby uzyskać wynik w postaci prostych operacji algebraicznych (por. teoria transmitancji w elektronice lub mechanice).
Definicja
W matematyce , w szczególności analizy funkcjonalnej The transformata Laplace'a jednostronna w funkcji ƒ (ewentualnie powszechne, na przykład „ Diraca ”) o zmiennej rzeczywistej t z dodatnim wsparcia jest funkcja F o zmiennej złożonej P , określa się jako:
fa(p)=L{fa}(p)=∫0-+∞mi-ptfa(t)ret.{\ Displaystyle \ mathrm {F} (p) = {\ mathcal {l}} \ {f \} (p) = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {+ \ infty} {\ rm {e} } ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}Dokładniej, ten wzór jest ważny, gdy:
-
Re ( p )> α , gdzie α jest odciętą zbieżności (zdefiniowaną poniżej), –∞ ≤ α ≤ + ∞ ;
- a ƒ jest funkcją integrowalną lokalnie z dodatnim wsparciem, tj. zero poza przedziałem I = [0, + ∞ [ lub bardziej ogólnie „ ziarnem ” rozkładów określonych w otwartym sąsiedztwie (i ograniczonym poniżej) przedziału I = [ 0, + ∞ [ którego ograniczenie do dopełnienia ja w tym sąsiedztwie jest funkcją nieskończenie różniczkowalną (patrz artykuł Dwustronna transformacja Laplace'a ).
Jest to taki zarodek nazywany tutaj przez nadużywanie języka uogólnioną funkcją z pozytywnym wsparciem, a transformacja Laplace'a jest iniekcyjnie stosowana do tych uogólnionych funkcji.
Odcięta zbieżności α definiuje się następująco:
lub, dla prawdziwego-P, . Wtedy
α jest dolną granicą zbioru B β, dla którego ƒ β jest odpuszczonym rozkładem (stąd
α = + ∞, jeśli B jest puste).
faβ:t↦mi-βtfa(t){\ Displaystyle f _ {\ beta}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {- \ beta t} f \ lewo (t \ prawo)}R¯{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}Taka jest „ funkcja Diraca ”. Jej transformata Laplace'a jest warta 1 z odciętą zbieżności –∞ .
Właściwości tej transformacji sprawiają, że jest ona bardzo przydatna w analizie liniowych układów dynamicznych . Najbardziej interesującą z tych własności jest to, że całkowanie i wyprowadzanie są przekształcane na dzielenie i mnożenie przez p , w taki sam sposób, w jaki logarytm przekształca mnożenie na dodawanie. W ten sposób umożliwia sprowadzenie rozdzielczości liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach do rozwiązania równań afinicznych (których rozwiązaniami są funkcje wymierne p ).
Transformacja Laplace'a jest szeroko stosowana przez inżynierów do rozwiązywania równań różniczkowych i określania funkcji przenoszenia układu liniowego. Na przykład w elektronice , w przeciwieństwie do rozkładu Fouriera, który jest używany do wyznaczania widma okresowego lub nawet dowolnego sygnału , bierze pod uwagę istnienie stanu przejściowego poprzedzającego stan stały (przykład: biorąc pod uwagę kształt sygnału przed i po włączeniu generatora częstotliwości).
Wystarczy przetransponować równanie różniczkowe do domeny Laplace'a, aby otrzymać równanie znacznie łatwiejsze w obsłudze.
Na przykład podczas studiowania maszyny prądu stałego:
mi(t)=R⋅ja(t)+Lreja(t)ret{\ Displaystyle e (t) = \ matematyka {R} \ cdot ja (t) + \ matematyka {l} {\ frac {\ mathrm {d} ja (t)} {\ mathrm {d} t}}}w dziedzinie częstotliwości staje się
mi(p)=R⋅ja(p)+p⋅L⋅ja(p){\ displaystyle \ mathrm {E} (p) = \ mathrm {R} \ cdot \ mathrm {ja} (p) + p \ cdot \ mathrm {l} \ cdot \ mathrm {I} (p)}w okolicy Laplace. Jest to ważne tylko w zerowych warunkach początkowych: i (0) = 0 .
Użyliśmy tutaj właściwości transformacji Laplace'a, wyjaśnionych poniżej.
Uwaga: notacja „ s ” (zmienna Laplace'a) jest często używana w krajach anglosaskich, podczas gdy notacja „ p ” jest używana w szczególności we Francji i Niemczech.
Definiujemy również, w tych samych warunkach co powyżej, transformację Laplace'a- Carsona przez:
ϕ(p)=p∫0-+∞mi-ptfa(t)ret{\ Displaystyle \ phi (p) = p \ int _ {0 ^ {-}} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t }co pozwala na powiązanie funkcji obrazu z dowolną funkcją zmiennej .
t↦fa(t){\ displaystyle t \ mapsto f (t)}p↦ϕ(p){\ displaystyle p \ mapsto \ phi (p)}
Ta transformacja jest używana przez niektórych inżynierów, ponieważ:
- stała nad [0, + ∞ [ ma tę samą stałą co jej obraz;
- w niektórych przypadkach zapewnia większą łatwość użycia w rachunku macierzowym i tensorowym.
Inwersja
Odwrócenie transformacji Laplace'a odbywa się za pomocą całki w płaszczyźnie zespolonej. Korzystając z twierdzenia o resztach , udowadniamy wzór Bromwicha - Mellina :
fa(t)=L-1{fa}(t)=12πja∫γ-ja⋅∞γ+ja⋅∞miptfa(p)rep,{\ Displaystyle f (t) = {\ mathcal {l}} ^ {- 1} \ {\ mathrm {F} \} (t) = {\ Frac {1} {2 \ pi {\ rm {i}} }} \ int _ {\ gamma - {\ rm {i}} \ cdot \ infty} ^ {\ gamma + {\ rm {i}} \ cdot \ infty} {\ rm {e}} ^ {pt} \ mathrm {F} (p) \, {\ rm {d}} p,}gdzie γ jest tak dobrane, że:
- całka jest zbieżna, co oznacza, że γ jest większe niż część rzeczywista dowolnej osobliwości F ( p );
- i to w nieskończoności, | F ( p ) | zbliża się do 0 co najmniej tak szybko, jak .1|p|2{\ Displaystyle {\ dfrac {1} {\ vert p \ vert ^ {2}}}}
Gdy ten ostatni warunek nie jest spełniony, powyższa formuła jest nadal użyteczna, jeśli istnieje liczba całkowita n taka, że:
| p - n F ( p ) | dąży do 0 tak szybko, jak
1|p|2{\ Displaystyle {\ dfrac {1} {\ vert p \ vert ^ {2}}}}
czyli kiedy:
dla | p | dążenie do nieskończoności, | F ( p ) | jest ograniczony przez wielomian w | p |.
Zamieniając F ( p ) na p - n F ( p ) w powyższej całce, po lewej stronie równości znajdujemy funkcję uogólnioną o dodatnim wsparciu, której pochodną rzędu n (w sensie rozkładów) jest funkcja uogólniona (również z pozytywnym poparciem) poszukiwany.
W praktyce jednak wzór Bromwicha-Mellina jest rzadko używany, a odwrotności transformat Laplace'a są obliczane z tabel transformacji Laplace'a.
Nieruchomości
Transformacja Laplace'a jest liniowa, tzn. Niezależnie od funkcji f , g i dwóch liczb zespolonych a i b :
L{wfa+bsol}=wL{fa}+bL{sol}{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ lewo \ {af + bg \ prawo \} = a \, {\ mathcal {l}} \ lewo \ {f \ prawo \} + b \, {\ mathcal {L }} \ left \ {g \ right \}}.
Ta liniowość wynika oczywiście z całki.
Jeśli jest ciągła i jeśli całka niewłaściwa jest zbieżna, to jest dobrze zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych i jest ciągła . W szczególności .
fa:R+→VS{\ displaystyle f: \ mathbb {R} _ {+} \ do \ mathbb {C}} ∫0∞fa{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f}Lfa(x){\ displaystyle {\ mathcal {l}} f (x)}x≥0{\ displaystyle x \ geq 0}Lfa{\ displaystyle {\ mathcal {L}} f}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}∫0∞fa=lim0+Lfa{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f = \ lim _ {0 ^ {+}} {\ mathcal {l}} f}
Rzeczywiście, reguła Abla obowiązuje tutaj jednolicie w odniesieniu do x .
Transformata Laplace'a od jest holomorficzny i jego pochodne N -tego jest ( patrz infra ).
fa(p)=L{fa(t)}{\ Displaystyle \ mathrm {F} (p) = {\ mathcal {l}} \ {f (t) \}}fa{\ displaystyle f}fa(nie)(p)=(-1)nieL{tniefa(t)}{\ Displaystyle \ mathrm {F} ^ {(n)} (p) = (- 1) ^ {n} {\ mathcal {l}} \ {t ^ {n} f (t) \}}
Transformacja Laplace'a pochodnej
Stosowana w pochodną z F, to odpowiada transformacji Laplace'a, do stałej addytywnej, do mnożenia przez p transformaty:
fa′{\ displaystyle f '}
L{fa′}=pL{fa}-fa(0-){\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '\} = p {\ mathcal {l}} \ {f \} - f (0 ^ {-})}.
Demonstracja
Albo do obliczenia:
L{fa′}=∫0-∞mi-ptfa′(t)ret.{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '\} = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f' (t) \ , {\ rm {d}} t.}Przez całkowanie przez części otrzymujemy:
L{fa′}=[mi-ptfa(t)]0-∞+p∫0-∞mi-ptfa(t)ret,{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '\} = \ lewo [{\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \ prawo] _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} + p \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, {\ rm {d}} t,}lub wreszcie: L{fa′}=pL{fa}-fa(0-).{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '\} = p {\ mathcal {l}} \ {f \} - f (0 ^ {-}).}
Krok po kroku lub cyklicznie można pokazać dla kolejnych wyprowadzeń:
L{fa′}=pL{fa}-fa(0-){\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '\} = p {\ mathcal {l}} \ {f \} - f (0 ^ {-})}
L{fa″}=p2L{fa}-pfa(0-)-fa′(0-){\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '' \} = p ^ {2} {\ mathcal {l}} \ {f \} - pf (0 ^ {-}) - f '(0 ^ {-})}
L{fa(nie)}=pnieL{fa}-pnie-1fa(0-)-⋯-fa(nie-1)(0-){\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ lewo \ {f ^ {(n)} \ prawo \} = p ^ {n} {\ mathcal {l}} \ {f \} - p ^ {n-1 } f (0 ^ {-}) - \ cdots -f ^ {(n-1)} (0 ^ {-})}
To ostatnie wyrażenie można napisać, ze wszystkim ,
∂0jafa(0-): =fa(ja)(0-){\ Displaystyle \ częściowe _ {0} ^ {i} f \ lewo (0 ^ {-} \ prawo): = f ^ {\ lewo (i \ prawo)} \ lewo (0 ^ {-} \ prawo)}ja≥0{\ displaystyle i \ geq 0}
L(fa(nie))=pnieL(fa)-pnie-∂0niep-∂0fa(0-).{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ lewo (f ^ {\ lewo (n \ prawo)} \ prawo) = p ^ {n} {\ mathcal {l}} \ lewo (f \ prawo) - {\ frac {p ^ {n} - \ częściowe _ {0} ^ {n}} {p- \ częściowe _ {0}}} f \ left (0 ^ {-} \ right).}
Należy zauważyć, że biorąc pod uwagę podaną powyżej definicję funkcji uogólnionej z dodatnim wsparciem (przy użyciu pojęcia zarodka), ilości nie są na ogół zerowe.
fa(0-),...,fa(nie-1)(0-){\ Displaystyle f (0 ^ {-}), ..., f ^ {(n-1)} (0 ^ {-})}
Z drugiej strony, jeśli f jest zwykłą funkcją z dodatnim wsparciem, 0 - należy wszędzie zastąpić 0 + .
Dokładniej, napiszmy, gdzie jest krok jednostkowy Heaviside, a g jest funkcją ciągłą różniczkowalną (w zwykłym sensie) w sąsiedztwie 0. Następnie zgodnie z regułą Leibniza,
fa=solΥ{\ displaystyle f = g \ Upsilon}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}
fa′=sol′Υ+solΥ′{\ displaystyle f '= g' \ Upsilon + g \ Upsilon '} z
Υ′=δ.{\ displaystyle \ Upsilon '= \ delta.}
Ponieważ w związku z tym .
solδ=sol(0)δ{\ Displaystyle g \ delta = g (0) \ delta}fa′=sol′+sol(0)δ{\ displaystyle f '= g' + g (0) \ delta}L{fa′}=L{sol′}+sol(0){\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '\} = {\ mathcal {l}} \ {g' \} + g (0)}
Mamy też, ponieważ .
L{fa′}=pL{fa}-fa(0-)=pL{fa}{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '\} = p {\ mathcal {l}} \ {f \} - f (0 ^ {-}) = p {\ mathcal {l}} \ { f \}}fa(0-)=0{\ Displaystyle f (0 ^ {-}) = 0}
Teraz i . Z definicji, ponieważ w grę wchodzi transformacja jednostronna . Więc w końcu otrzymujemy
L{fa}=L{solΥ}{\ displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f \} = {\ mathcal {l}} \ {g \ Upsilon \}}sol(0)=(solΥ)(0+){\ Displaystyle g (0) = (g \ Upsilon) (0 ^ {+})}L{sol′}=L{sol′Υ}{\ displaystyle {\ mathcal {l}} \ {g '\} = {\ mathcal {l}} \ {g' \ Upsilon \}}
L{sol′Υ}=pL{solΥ}-(solΥ)(0+).{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {g '\ Upsilon \} = p {\ mathcal {l}} \ {g \ Upsilon \} - (g \ Upsilon) (0 ^ {+}).}Kontynuując to rozumowanie, otrzymujemy, jeśli g jest klasy w sąsiedztwie [0, + ∞ [ ,
VSnie{\ displaystyle C ^ {n}}
L(sol(nie)Υ)=pnieL(solΥ)-pnie-∂0niep-∂0(solΥ)(0+){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ lewo (g ^ {\ lewo (n \ prawej)} \ Upsilon \ prawej) = p ^ {n} {\ mathcal {L}} \ lewo (g \ Upsilon \ prawo) ) - {\ frac {p ^ {n} - \ częściowy _ {0} ^ {n}} {p- \ częściowy _ {0}}} (g \ Upsilon) \ left (0 ^ {+} \ right) }
z dla wszystkich .
∂0ja(solΥ)(0+): =(sol(ja)Υ)(0+){\ Displaystyle \ częściowe _ {0} ^ {i} (g \ Upsilon) \ lewo (0 ^ {+} \ prawej): = (g ^ {\ lewo (i \ prawej)} \ Upsilon) \ lewo (0 ^ {+} \ right)}ja≥0{\ displaystyle i \ geq 0}
Przykład
Albo . Więc i . Mamy i
sol(t)=sałata(ωt){\ Displaystyle g (t) = \ cos (\ omega t)}L{solΥ}(p)=pp2+ω2{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {g \ Upsilon \} (p) = {\ Frac {p} {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}solΥ(0+)=1{\ Displaystyle g \ Upsilon (0 ^ {+}) = 1}sol′(t)=-ωgrzech(ωt){\ Displaystyle g '(t) = - \ omega \ sin (\ omega t)}
pL{solΥ}(p)-solΥ(0+)=p2p2+ω2-1=-ω2p2+ω2{\ Displaystyle p {\ mathcal {L}} \ {g \ Upsilon \} (p) -g \ Upsilon (0 ^ {+}) = {\ Frac {p ^ {2}} {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}} - 1 = - {\ frac {\ omega ^ {2}} {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}. W związku z tym,
L{t↦grzech(ωt)Υ(t)}(p)=ωp2+ω2.{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {t \ mapsto \ sin (\ omega t) \ Upsilon (t) \} (p) = {\ Frac {\ omega} {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}.}
Zastosowanie do pochodnej funkcji Heaviside'a
Funkcja Heaviside ma wartość 0 dla t <0, 1 dla t > 0 (jej wartość w 0 nie ma znaczenia). Ponieważ funkcja jest nieciągła, nie można jej wyprowadzić w zwykłym sensie. Z drugiej strony, jego pochodną w sensie rozkładów jest „funkcja” Diraca . On przychodzi
Υ{\ displaystyle \ Upsilon}δ{\ displaystyle \ delta}
L(δ)=pL(Υ)-Υ(0-)=1-0=1,{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ lewo (\ delta \ prawej) = p {\ mathcal {l}} \ lewo (\ Upsilon \ prawo) - \ Upsilon \ lewo (0 ^ {-} \ prawo) = 1-0 = 1,}od
L(Υ)=1p,ℜ(p)>0.{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ lewo (\ Upsilon \ prawej) = {\ dfrac {1} {p}}, \ Re (p)> 0}Zwróć uwagę, że gdybyśmy we wzorze reguły wyprowadzenia zastąpili ƒ (0 - ) przez ƒ (0 + ), znaleźlibyśmy fałsz (wrócimy do tego później). Niektóre źródła mogą mieć ten błąd.
L(δ)=0{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ lewo (\ delta \ prawej) = 0}
Podobnie czasami widzimy następującą definicję transformacji Laplace'a:
fa(p)=∫α+∞mi-ptfa(t) ret{\ Displaystyle F \ lewo (p \ prawo) = \ int _ {\ alpha} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f \ lewo (t \ prawo) ~ {\ rm { d}} t}z , a nawet brak precyzji na tej granicy. Jeśli f jest funkcją w zwykłym znaczeniu tego terminu, z dodatnim wsparciem, jest to całka Lebesgue'a, która pokrywa się z tą, która odpowiada , ponieważ jest równa zeru; w tym przypadku można też pisać bez dwuznaczności . Nie jest tym samym, jeśli f jest „funkcją uogólnioną”, to znaczy rozkładem dla Gelfanda i Shilova (in) , gdy ta ma masę niezerową na początku. Prototypem jest dystrybucja Diraca. Algebraicznie ten rozkład jest neutralnym elementem w algebrze konwolucyjnej dodatnio wspieranych rozkładów; a ponieważ transformacja Laplace'a przekształca produkt splotu w zwykły produkt, musimy zatem mieć transformatę Laplace'a . Jednak będzie to prawdą tylko wtedy, gdy . Rzeczywiście, otrzymalibyśmy transformatę Laplace'a równą 0. Byłoby to tym bardziej aberracyjne, że transformata Laplace'a nie byłaby iniekcyjna, ponieważ .
α=0+{\ Displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}α=0-{\ Displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}{0}{\ Displaystyle \ lewo \ {0 \ prawo \}}α=0{\ displaystyle \ alpha = 0} δ{\ displaystyle \ delta}re+′{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {+} ^ {\ prime}}δ{\ displaystyle \ delta}L(δ)=1{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ lewo (\ delta \ prawej) = 1}α=0-{\ Displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}α=0+{\ Displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}δ≠0{\ displaystyle \ delta \ neq 0}
Mnożenie przez potęgę t
Mnożenie przez w dziedzinie czasu odpowiada, z wyjątkiem znaku, n- tej pochodnej transformacji:
tnie,nie∈NIE{\ displaystyle t ^ {n}, n \ in \ mathbb {N}}
L{tniefa(t)}=(-1)nierenieL{fa}repnie{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ lewo \ {t ^ {n} f \ lewo (t \ prawo) \ prawo \} = \ lewo (-1 \ prawo) ^ {n} {\ dfrac {\ mathrm {d} ^ {n} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \}} {\ mathrm {d} p ^ {n}}}}.
Demonstracja
(1) Załóżmy, że f jest integrowalne lokalnie z dodatnim wsparciem. Transformata Laplace'a f jest zatem zdefiniowana dla , gdzie jest odcięta zbieżności, o
ℜ(p)>α{\ Displaystyle \ Re (p)> \ alfa}α{\ displaystyle \ alpha}
L{fa}(p)=∫0+∞fa(t)mi-pt ret{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ lewo \ {f \ prawo \} (p) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt } ~ {\ rm {d}} t}.
Funkcja jest holomorficzna . Albo i . Następnie i przez wzrosty porównawcze , funkcja jest całkowalna na [0, + ∞ [ . Funkcja jest zatem holomorficzna, a jej pochodną uzyskuje się przez różniczkowanie pod znakiem sumy :
p↦fa(t)mi-pt{\ displaystyle p \ mapsto f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt}}β>α{\ displaystyle \ beta> \ alpha}ℜ(p)>β{\ Displaystyle \ Re (p)> \ beta}|tfa(t)mi-pt|≤|tfa(t)mi-βt|{\ Displaystyle \ lewo \ vert tf \ lewo (t \ prawo) {\ rm {e}} ^ {- pt} \ prawo \ vert \ leq \ lewo \ vert tf \ lewo (t \ prawo) {\ rm {e }} ^ {- \ beta t} \ right \ vert}t↦|tfa(t)mi-βt|{\ Displaystyle t \ mapsto \ lewo \ vert tf \ lewo (t \ prawo) {\ rm {e}} ^ {- \ beta t} \ prawo \ vert}p↦∫0+∞fa(t)mi-pt ret{\ Displaystyle p \ mapsto \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t}
reL{fa}rep(p)=∫0+∞fa(t)(-tmi-pt) ret=-L{tfa(t)}(p){\ Displaystyle {\ Frac {{\ rm {d}} {\ mathcal {l}} \ lewo \ {f \ prawo \}} {{\ rm {d}} p}} \ lewo (p \ prawo) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) \ left (-t {\ rm {e}} ^ {- pt} \ right) ~ {\ rm {d}} t = - {\ mathcal {L}} \ left \ {tf \ left (t \ right) \ right \} \ left (p \ right)}.
Dowodzi to wyniku w przypadku n = 1 . Ogólny przypadek następuje przez indukcję.
(2) Ten wynik jest nadal aktualny, gdy f jest rozkładem z dodatnim wsparciem.
Odwrotna formuła (dla n = -1 ) to:
L{fa(t)t}(p)=∫p∞fa(σ)reσ{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ lewo \ {{\ Frac {f (t)} {t}} \ prawo \} \ lewo (p \ prawo) = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}i jest ważny pod warunkiem, że f ma postać, w której g jest uogólnioną funkcją z dodatnim wsparciem. Jeden ze sposobów zademonstrowania tego wyniku podano poniżej.
t↦tsol(t){\ Displaystyle t \ mapsto tg \ lewo (t \ prawej)}
Demonstracja
∫p∞fa(σ)reσ=∫p∞∫0∞mi-σtfa(t)retreσ=∫0∞fa(t)∫p∞mi-σtreσret=∫0∞fa(t)1tmi-ptret=L{fa(t)t}(p){\ Displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} f (t) \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} \, \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0 } ^ {\ infty} f (t) {\ frac {1} {t}} \ mathrm {e} ^ {- pt} \, \ mathrm {d} t = {\ mathcal {L}} \ left \ { {\ frac {f (t)} {t}} \ right \} \ left (p \ right)}.
Transformacja Laplace'a całki (prymityw f znikający w 0 ) odpowiada mnożeniu przez 1 / p :
L{∫0-tfa(τ)reτ}=1pL{fa}{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ lewo \ {\ int _ {0 ^ {-}} ^ {t} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau \ prawej \} = {\ Frac {1 } {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \}}a jeśli ƒ jest funkcją z dodatnim wsparciem, ciągłą powyżej [0, + ∞ [ , to mamy dla wszystkich a > 0 :
L{∫wtfa(τ) reτ}=1pL{fa}+1p∫w0fa(τ)reτ.{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ lewo \ {\ int _ {a} ^ {t} f (\ tau) ~ {\ rm {d}} \ tau \ prawo \} = {\ frac {1} {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \} + {1 \ over p} \ int _ {a} ^ {0} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau.}Wartość końcowa
Załóżmy, że f jest integrowalna lokalnie z dodatnim wsparciem. Jeśli granica w dziedzinie czasu istnieje i jest skończona, to:
limt→+∞fa(t)=limp∈R,p→0+pfa(p).{\ Displaystyle \ lim _ {t \ do + \ infty} f (t) = \ lim _ {p \ w \ mathbb {R}, p \ do 0 ^ {+}} p \ operatorname {F} (p) .}(Zauważ, że jest to jedyna właściwość, w której dla zmiennej pojawia się 0 + ).
p{\ displaystyle p}
Demonstracja
Albo . Istnienie tej skończonej granicy oznacza, że odcięta zbieżności transformaty Laplace'a jest .
l=limt→+∞fa(t){\ Displaystyle l = \ lim \ limity _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ lewo (t \ prawo)}fa(p){\ Displaystyle F (p)}≤0{\ displaystyle \ leq 0}
Mamy ; transformata Laplace'a jest i oczywiście . Odejmując od , zostajemy zatem zredukowani do przypadku funkcji, ponownie oznaczonej f , takiej że .
limt→+∞Υ(t)=1{\ Displaystyle \ lim _ {t \ do + \ infty} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}1p{\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}limp∈R,p→0+p1p=1{\ Displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ do 0 ^ {+}} p {\ Frac {1} {p}} = 1}lΥ(t){\ Displaystyle l \ Upsilon (t)}fa(t){\ displaystyle f (t)}limt→+∞fa(t)=0{\ Displaystyle \ lim \ limity _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ lewo (t \ prawo) = 0}
Następnie, dla wszystkich , jest takie, że dla wszystkich , . Mamy
ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}W>0{\ displaystyle A> 0}t>W{\ displaystyle t> A}|fa(t)|≤ε{\ Displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}
pfa(p)=p∫0Wfa(t)mi-ptret+p∫W+∞fa(t)mi-pt ret.{\ Displaystyle pF (p) = p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} dt + p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}Weźmy . Mamy
p∈R,p>0{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}, p> 0}
|∫0Wfa(t)mi-pt ret|≤∫0W|fa(t)| ret<+∞{\ Displaystyle \ lewo \ vert \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ prawo \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {A} \ vert f (t) \ vert ~ {\ rm {d}} t <+ \ infty}i konsekwentnie
limp∈R,p→0+p∫0Wfa(t)mi-pt ret=0.{\ Displaystyle \ lim \ limity _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {-pt} ~ {\ rm {d}} t = 0}Dlatego istnieje taki prawdziwy , że dla iα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<p<α{\ displaystyle 0 <p <\ alpha}
|p∫0Wfa(t)mi-pt ret|<ε.{\ Displaystyle \ lewo \ vert p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ prawo \ vert <\ varepsilon .}Z drugiej strony,
|∫W+∞fa(t)mi-pt ret|≤∫0+∞εmi-pt ret=εp{\ Displaystyle \ lewo \ vert \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ prawo \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ varepsilon {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = {\ frac {\ varepsilon} {p}}}więc istnieje taki, że dla iβ>0{\ displaystyle \ beta> 0}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<p<β{\ Displaystyle 0 <p <\ beta}
|p∫W+∞fa(t)mi-pt ret|≤ε.{\ Displaystyle \ lewo \ vert p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ prawo \ vert \ leq \ varepsilon.}Dlatego jeśli ip∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<p<min(α,β){\ Displaystyle 0 <p <\ min (\ alfa, \ beta)}
|p∫0+∞fa(t)mi-pt ret|≤2ε{\ Displaystyle \ lewo \ vert p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ prawo \ vert \ leq 2 \ varepsilon}co powoduje, że gdy ma tendencję do 0 + .
p∫0+∞fa(t)mi-pt ret→0{\ Displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ rightarrow 0}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}
Wskazane hipotezy są istotne, o czym świadczą następujące kontrprzykłady:
- Funkcja przyjmuje jako granicę + ∞, gdy t zmierza w kierunku + ∞ . Jego transformata Laplace'a to i . Ta ostatnia granica w rzeczywistości nie ma żadnego kierunku, ponieważ odcięta zbieżności F wynosi 1, a zatem 0 nie należy do adhezji pola zbieżności.fa:t↦mitΥ(t){\ displaystyle f: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {t} \ Upsilon (t)}fa(p)=1p-1{\ Displaystyle F \ lewo (p \ prawej) = {\ Frac {1} {p-1}}}limp→0pfa(p)=0{\ Displaystyle \ lim \ limity _ {p \ rightarrow 0} pF \ lewo (p \ prawo) = 0}
- Funkcja przyjmuje żadnego ograniczenia, jeśli t tendencję do + ∞ . Jego transformata Laplace'a to , odcięta zbieżności F wynosi 0 i (ta ostatnia granica jest jednak poprawna tym razem).fa:t↦grzechtΥ(t){\ Displaystyle f: t \ mapsto \ sin t \ Upsilon (t)}fa(p)=1p2+1{\ Displaystyle F \ lewo (p \ prawej) = {\ Frac {1} {p ^ {2} +1}}}limp∈R,p→0+pfa(p)=0{\ Displaystyle \ lim \ limity _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} pF \ lewo (p \ prawej) = 0}
- Jeśli jest funkcją racjonalną, istnieje i jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny wszystkich należą do połączenia otwartej lewej półpłaszczyzny i źródła, biegun na 0, jeśli istnieje, jest prosty.fa(p){\ Displaystyle F (p)}limt→+∞fa(t){\ Displaystyle \ lim _ {t \ do + \ infty} f (t)}fa(p){\ Displaystyle F (p)}
Wartość początkowa
Jeśli ma skończoną odciętą zbieżności i istnieje granica w dziedzinie czasu, to:
fa(p){\ Displaystyle F (p)}
limt→0+fa(t)=limp∈R,p→+∞pfa(p){\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} f (t) = \ lim _ {p \ w \ mathbb {R}, p \ do + \ infty} p \ mathrm {F} (p) }(Zauważ, że jest to jedyna właściwość, w której dla zmiennej pojawia się 0 + ).
t{\ displaystyle t}
Demonstracja
Albo . Mamy ; transformata Laplace'a jest i oczywiście . Odejmując od , zostajemy zatem zredukowani do przypadku funkcji, ponownie oznaczonej f , takiej że .
l=limt→0+fa(t){\ Displaystyle l = \ lim \ ograniczenia _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ lewo (t \ prawo)}limt→0+Υ(t)=1{\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}1p{\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}limp∈R,p→+∞p1p=1{\ Displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ do + \ infty} p {\ Frac {1} {p}} = 1}lΥ(t){\ Displaystyle l \ Upsilon (t)}fa(t){\ displaystyle f (t)}limt→0+fa(t)=0{\ Displaystyle \ lim \ limity _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ lewo (t \ prawo) = 0}
Albo . Istnieje na podstawie hipotezy , że dla wszystkich t , że mamy . Z drugiej strony,
ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}η>0{\ displaystyle \ eta> 0}0<t<η{\ displaystyle 0 <t <\ eta}|fa(t)|≤ε{\ Displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}
p∫0+∞fa(t)mi-pt ret=ja1+ja2{\ Displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = I_ {1} + I_ {2 }}z
ja1=p∫0ηfa(t)mi-pt ret, ja2=p∫η+∞fa(t)mi-pt ret.{\ Displaystyle I_ {1} = p \ int _ {0} ^ {\ eta} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t, ~ ja_ {2 } = p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}Niech będzie rzeczywistą ściśle większą niż odcięta zbieżności i . Mamy
α{\ displaystyle \ alpha}fa(p){\ Displaystyle F (p)}p∈R, p>α{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}, ~ p> \ alpha}
|ja2|=|p∫η+∞fa(t)mi-(p-α)tmi-αt ret|≤pmi-(p-α)η∫0+∞|fa(t)|mi-αt ret{\ Displaystyle \ lewo \ vert I_ {2} \ prawo \ vert = \ lewo \ vert p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- \ lewo (p- \ alpha \ right) t} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq p {\ rm {e}} ^ {- \ left (p- \ alpha \ right) \ eta} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ left \ vert f \ left (t \ right) \ right \ vert {\ rm {e}} ^ { - \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t}gdzie prawa całka jest zbieżna, więc kiedy . Dlatego istnieje prawdziwy taki, że tak szybko, jak i .
ja2→0{\ Displaystyle I_ {2} \ rightarrow 0}p→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}W>0{\ displaystyle A> 0}|ja2|≤ε{\ Displaystyle \ lewo \ vert I_ {2} \ prawo \ vert \ leq \ varepsilon}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p>W{\ displaystyle p> A}
Z drugiej strony,
|ja1|≤pε∫0ηmi-pt ret=ε(1-mi-pη){\ Displaystyle \ lewo \ vert I_ {1} \ prawo \ vert \ leq p \ varepsilon \ int _ {0} ^ {\ eta} {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d} } t = \ varepsilon \ left (1 - {\ rm {e}} ^ {- p \ eta} \ right)}i ten termin zmierza do kiedy , dlatego istnieje rzeczywiste takie, jak tylko i . Wreszcie, dla i mamy
ε{\ displaystyle \ varepsilon}p→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}b>0{\ displaystyle B> 0}|ja1|≤2ε{\ Displaystyle \ lewo \ vert I_ {1} \ prawo \ vert \ leq 2 \ varepsilon}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p>b{\ displaystyle p> B}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p>max(W,b){\ Displaystyle p> \ max (A, B)}
|pfa(p)|≤3ε.{\ Displaystyle \ lewo \ vert pF \ lewo (p \ prawo) \ prawo \ vert \ równoważnik 3 \ varepsilon.}Teraz jest arbitralnie mały, więc ten termin ma tendencję do 0, kiedy i .
ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}
Transformacja Laplace'a zmienia produkt splotu w produkt:
L{fa∗sol}=L{fa}L{sol}{\ displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f * g \} = {\ mathcal {l}} \ {f \} {\ mathcal {l}} \ {g \}}
Transformata Laplace'a funkcji okresowej
Jeśli ƒ jest funkcją zerową dla t <0 i dla t > 0 okresowo z okresem T , to dlaRmi(p)>0{\ Displaystyle Re \ lewo (p \ prawo)> 0}
L{fa}(p)=11-mi-Tp∫0Tmi-ptfa(t)ret.{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ Frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}
Demonstracja
Używamy relacji Chaslesa do dekompozycji całki w każdym okresie:
∫0∞mi-ptfa(t)ret=∫0Tmi-ptfa(t)ret+∫T2Tmi-ptfa(t)ret+∫2T3Tmi-ptfa(t)ret+...{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {T} ^ {2T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {2T} ^ {3T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ ldots}Dokonujemy zmiany zmiennych, aby sprowadzić całki z powrotem do [0, T ]
∫0∞mi-ptfa(t)ret=∫0Tmi-pufa(u)reu+∫0Tmi-p(u+T)fa(u+T)reu+∫0Tmi-p(u+2T)fa(u+2T)reu+...{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, {\ rm {d}} t = \ int _ {0} ^ {T } {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + T)} f (u + T) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + 2T)} f (u + 2T ) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}Ponieważ ƒ jest okresowy, możemy uprościć całki o
∫0∞mi-ptfa(t)ret=∫0Tmi-pufa(u)reu+mi-pT∫0Tmi-pufa(u)reu+mi-2pT∫0Tmi-pufa(u)reu+...{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm { e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {-pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}Grupujemy terminy:
∫0∞mi-ptfa(t)ret=(1+mi-pT+mi-2pT+...)∫0Tmi-pufa(u)reu.{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ lewo (1 + {\ rm {e} } ^ {- pT} + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} + \ ldots \ right) \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u ) \, \ mathrm {d} u.}Ten szereg geometryczny jest zbieżny (ponieważ e - pT <1 ). Wtedy przychodzi
L{fa}(p)=11-mi-Tp∫0Tmi-ptfa(t)ret.{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ Frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}
Tabela podsumowująca właściwości transformacji Laplace'a
Własności jednostronnej transformaty Laplace'a
|
Dziedzina czasu
|
Domena „p”
|
Komentarze
|
---|
Liniowość
|
wfa(t)+bsol(t){\ Displaystyle af (t) + bg (t)}
|
wfa(p)+bsol(p){\ displaystyle a \ operatorname {F} (p) + b \ operatorname {G} (p)}
|
Wynika z podstawowych zasad integracji.
|
---|
Pochodna transformacji
|
tfa(t){\ displaystyle tf (t)}
|
-fa′(p){\ Displaystyle - \ mathrm {F} '(p)}
|
fa′{\ displaystyle \ mathrm {F} '}jest pierwszą pochodną F.
|
---|
Pochodne rzędu n transformacji
|
tniefa(t){\ Displaystyle t ^ {n} f (t)}
|
(-1)niefa(nie)(p){\ Displaystyle (-1) ^ {n} \ operatorname {F} ^ {(n)} (p)}
|
Bardziej ogólna postać, n- ta pochodna F ( p ).
|
---|
Pierwsza pochodna funkcji w dziedzinie czasu
|
fa′(t){\ displaystyle f '(t)}
|
pfa(p)-fa(0-){\ Displaystyle p \ mathrm {F} (p) -f \ lewo (0 ^ {-} \ prawo)}
|
Zakłada się, że ƒ jest różniczkowalny i zakłada się, że jego pochodna dąży do 0 wykładniczo. Można uzyskać przez całkowanie przez części .
|
---|
Druga pochodna
|
fa″(t){\ displaystyle f '' (t)}
|
p2fa(p)-pfa(0-)-fa′(0-){\ Displaystyle p ^ {2} \ mathrm {F} (p) -pf \ lewo (0 ^ {-} \ prawo) -f '\ lewo (0 ^ {-} \ prawo)}
|
Zakłada się, że ƒ jest dwukrotnie różniczkowalna, a druga pochodna jest zbieżna wykładniczo do nieskończoności.
|
---|
N-ta pochodna ƒ
|
fa(nie)(t){\ Displaystyle f ^ {(n)} (t)}
|
pniefa(p)-pnie-1fa(0-)-⋯-fa(nie-1)(0-){\ Displaystyle p ^ {n} \ mathrm {F} (p) -p ^ {n-1} f \ lewo (0 ^ {-} \ prawo) - \ cdots -f ^ {(n-1)} \ lewo (0 ^ {-} \ prawo)}
|
Zakłada się, że ƒ jest n- krotnie różniczkowalna, z n- tą pochodną z wykładniczą zbieżnością w nieskończoności.
|
---|
Całkowanie transformaty Laplace'a
|
fa(t)t{\ Displaystyle {\ Frac {f (t)} {t}}}
|
∫p∞fa(σ)reσ{\ Displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}
|
|
---|
Integracja
|
∫0tfa(τ)reτ=(u∗fa)(t){\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = (u * f) (t)}
|
1pfa(p){\ Displaystyle {1 \ ponad p} \ mathrm {F} (p)}
|
u(t){\ Displaystyle u (t)}jest funkcją krokową Heaviside. Operator ( U * m ) ( t ) jest produktem splotu z U ( t ) i ƒ ( t ).
|
---|
Dylatacja skali czasu
|
fa(wt) {\ displaystyle f (małpa) \}
|
1|w|fa(pw){\ Displaystyle {\ Frac {1} {| a |}} \ mathrm {F} \ lewo ({p \ ponad a} \ po prawej)}
|
|
---|
Przesunięcie na str
|
miwtfa(t){\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {at} f (t)}
|
fa(p-w){\ Displaystyle \ mathrm {F} (pa)}
|
Ta właściwość jest czasami nazywana twierdzeniem o tłumieniu (lub twierdzeniu o modulacji ) z .
w<0{\ displaystyle a <0} |
---|
Przesunięcie w dziedzinie czasu
|
fa(t-w)u(t-w){\ displaystyle f (ta) u (ta)}
|
mi-wpfa(p){\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- ap} \ mathrm {F} (p)}
|
u ( t ) jest funkcją skokową Heaviside'a (funkcja skokowa )
|
---|
Mnożenie
|
fa(t)sol(t){\ Displaystyle f (t) g (t)}
|
12πjalimT→∞∫vs-jaTvs+jaTfa(σ)sol(p-σ)reσ{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi {\ rm {i}}}} \ lim _ {\ mathrm {T} \ to \ infty} \ int _ {c - {\ rm {i}} \ mathrm {T}} ^ {c + {\ rm {i}} \ mathrm {T}} \ mathrm {F} (\ sigma) G (p- \ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}
|
Całkowanie przeprowadza się wzdłuż pionowej linii Re (σ) = c, która znajduje się w całości w promieniu zbieżności F.
|
---|
Produkt splotu
|
(fa∗sol)(t)=∫0tfa(τ)sol(t-τ)reτ{\ Displaystyle (f * g) (t) = \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) g (t- \ tau) \, {\ rm {d}} \ tau}
|
fa(p)⋅sol(p){\ Displaystyle \ mathrm {F} (p) \ cdot \ mathrm {G} (p)}
|
ƒ ( t ) i g ( t ) są rozszerzone na definicję iloczynu splotu.
R{\ displaystyle \ mathbb {R}} |
---|
Złożona koniugacja
|
fa∗(t){\ Displaystyle f ^ {*} (t)}
|
fa∗(p∗){\ Displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (p ^ {*})}
|
|
---|
Funkcja korelacji
|
fa(t)⋆sol(t){\ Displaystyle f (t) \ gwiazda g (t)}
|
fa∗(-p∗)⋅sol(p){\ Displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (- p ^ {*}) \ cdot \ mathrm {G} (p)}
|
|
---|
Funkcja okresowa
|
fa(t){\ displaystyle f (t)}
|
11-mi-Tp∫0Tmi-ptfa(t)ret{\ Displaystyle {\ Frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- \ mathrm {T} p}}} \ int _ {0} ^ {\ mathrm {T}} {\ rm {e }} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t}
|
ƒ ( t ) jest okresową funkcją okresu T, taką że . Wynika to z właściwości przesunięcia w dziedzinie czasu i szeregu geometrycznego.
fa(t)=fa(t+T),∀t≥0{\ displaystyle f (t) = f (t + \ operatorname {T}), \; \ forall t \ geq 0} |
---|
Niektóre zwykłe przemiany
Jednostronna transformata Laplace'a jest ważna tylko dla funkcji (prawdopodobnie uogólnionych) z dodatnim wsparciem. To z tego powodu, że czasowe funkcje tej tabeli są wielokrotnością (lub składa się z) , jednostkę (krok funkcji Heaviside'a) .
Υ{\ displaystyle \ Upsilon}
Tabela zwykłych przekształceń Laplace'a
|
Funkcjonować |
Dziedzina czasu x(t)=L-1{X(p)}{\ Displaystyle x (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ lewo \ {\ mathrm {X} (p) \ prawo \}}
|
Transformata Laplace'a X(p)=L{x(t)}{\ Displaystyle \ mathrm {X} (p) = {\ mathcal {l}} \ lewo \ {x (t) \ prawo \}}
|
Region konwergencji
|
---|
1 |
Opóźniona dystrybucja Diraca |
δ(t-τ) {\ Displaystyle \ delta (t- \ tau) \} |
mi-τp {\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \} |
∀ p{\ displaystyle \ forall \ p \,}
|
1a |
Dystrybucja Diraca |
δ(t) {\ Displaystyle \ delta (t) \} |
1 {\ displaystyle 1 \} |
∀ p{\ displaystyle \ forall \ p \,}
|
2 |
opóźniony wykładniczy jednomian |
(t-τ)nienie!mi-α(t-τ)⋅Υ(t-τ){\ Displaystyle {\ Frac {(t- \ tau) ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alfa (t- \ tau)} \ cdot \ Upsilon (t- \ tau)} |
mi-τp(p+α)nie+1{\ Displaystyle {\ Frac {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p}} {(p + \ alfa) ^ {n + 1}}}} |
Re(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
|
2a |
moc n- ty |
tnienie!⋅Υ(t){\ Displaystyle {t ^ {n} \ ponad n!} \ cdot \ Upsilon (t)} |
1pnie+1{\ Displaystyle {1 \ ponad p ^ {n + 1}}} |
Re(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
|
2a.1 |
q -ta moc |
tqΓ(q+1)⋅Υ(t){\ Displaystyle {t ^ {q} \ ponad \ Gamma (q + 1)} \ cdot \ Upsilon (t)} |
1pq+1{\ displaystyle {1 \ ponad p ^ {q + 1}}} |
Re(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
|
2a.2 |
poziom jednostki |
Υ(t) {\ Displaystyle \ Upsilon (t) \} |
1p{\ displaystyle {1 \ over p}} |
Re(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
|
2b |
opóźniony krok |
Υ(t-τ) {\ Displaystyle \ Upsilon (t- \ tau) \} |
mi-τpp{\ Displaystyle {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \ ponad p}} |
Re(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
|
2c |
rampa |
t⋅Υ(t) {\ Displaystyle t \ cdot \ Upsilon (t) \} |
1p2{\ Displaystyle {\ Frac {1} {p ^ {2}}}} |
Re(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
|
2d |
jednomian wykładniczy |
tnienie!mi-αt⋅Υ(t){\ Displaystyle {\ Frac {t ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alfa t} \ cdot \ Upsilon (t)} |
1(p+α)nie+1{\ Displaystyle {\ Frac {1} {(p + \ alfa) ^ {n + 1}}}} |
Re(p)>-α{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \,}
|
2d.1 |
wykładniczy |
mi-αt⋅Υ(t) {\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alfa t} \ cdot \ Upsilon (t) \} |
1p+α{\ Displaystyle {1 \ ponad p + \ alfa}} |
Re(p)>-α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
|
3 |
wykładnicze podejście |
(1-mi-αt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle (1 - {\ rm {e}} ^ {- \ alfa t}) \ cdot \ Upsilon (t) \} |
αp(p+α){\ Displaystyle {\ Frac {\ alpha} {p (p + \ alfa)}}} |
Re(p)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
|
4 |
Zatoka |
grzech(ωt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \} |
ωp2+ω2{\ Displaystyle {\ omega \ ponad p ^ {2} + \ omega ^ {2}}} |
Re(p)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
|
5 |
cosinus |
sałata(ωt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \} |
pp2+ω2{\ Displaystyle {p \ ponad p ^ {2} + \ omega ^ {2}}} |
Re(p)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
|
6 |
sinus hiperboliczny |
sinh(αt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle \ sinh (\ alfa t) \ cdot \ Upsilon (t) \} |
αp2-α2{\ displaystyle {\ alpha \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}} |
Re(p)>|α| {\ Displaystyle \ nazwa operatora {Re} (p)> | \ alfa | \}
|
7 |
cosinus hiperboliczny |
pałka(αt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle \ cosh (\ alfa t) \ cdot \ Upsilon (t) \} |
pp2-α2{\ Displaystyle {p \ ponad p ^ {2} - \ alfa ^ {2}}} |
Re(p)>|α| {\ Displaystyle \ nazwa operatora {Re} (p)> | \ alfa | \}
|
8 |
wykładniczy zanik fali sinusoidalnej |
mi-αtgrzech(ωt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alfa t} \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \} |
ω(p+α)2+ω2{\ Displaystyle {\ omega \ over (p + \ alfa) ^ {2} + \ omega ^ {2}}} |
Re(p)>-α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
|
9 |
wykładniczy zanik fali cosinusowej |
mi-αtsałata(ωt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alfa t} \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \} |
p+α(p+α)2+ω2{\ Displaystyle {p + \ alpha \ over (p + \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}} |
Re(p)>-α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
|
10 |
n-ty root |
tnie⋅Υ(t){\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {t}} \ cdot \ Upsilon (t)} |
p-(nie+1)/nie⋅Γ(1+1nie){\ Displaystyle p ^ {- (n + 1) / n} \ cdot \ Gamma \ lewo (1 + {\ Frac {1} {n}} \ prawo)} |
Re(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
|
11 |
logarytm |
ln(tt0)⋅Υ(t){\ Displaystyle \ ln \ lewo ({t \ ponad t_ {0}} \ po prawej) \ cdot \ Upsilon (t)} |
-t0p [ ln(t0p)+γ ]{\ Displaystyle - {t_ {0} \ ponad p} \ [\ \ ln (t_ {0} p) + \ gamma \]} |
Re(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
|
12 |
Funkcja Bessela pierwszego typu, rzędu n
|
jotnie(ωt)⋅Υ(t){\ Displaystyle J_ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)} |
ωnie(p+p2+ω2)-niep2+ω2{\ Displaystyle {\ Frac {\ omega ^ {n} \ lewo (p + {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}} \ prawo) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}} |
Re(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,} (nie>-1){\ displaystyle (n> -1) \,}
|
13 |
zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego typu, rzędu n |
janie(ωt)⋅Υ(t){\ Displaystyle \ mathrm {ja} _ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)} |
ωnie(p+p2-ω2)-niep2-ω2{\ Displaystyle {\ Frac {\ omega ^ {n} \ lewo (p + {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}} \ prawo) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}} |
Re(p)>|ω|{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ omega | \,} (nie>-1){\ displaystyle (n> -1) \,}
|
14 |
funkcja błędu |
mirfa(t)⋅Υ(t){\ Displaystyle \ mathrm {erf} (t) \ cdot \ Upsilon (t)} |
mip2/4erfc(p/2)p{\ Displaystyle {{\ rm {e}} ^ {p ^ {2} / 4} \ operatorname {erfc} \ lewo (p / 2 \ prawo) \ ponad p}} |
Re(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
|
Uwagi:
-
Υ(t){\ Displaystyle \ Upsilon (t) \,}reprezentuje funkcję Heaviside .
-
δ(t){\ Displaystyle \ delta (t) \,}reprezentuje funkcję Diraca .
-
Γ(z){\ Displaystyle \ Gamma (z) \,}jest funkcją Gamma .
-
γ{\ Displaystyle \ gamma \,}jest stała Eulera-Mascheroniego .
-
t{\ displaystyle t \,}, jest liczbą rzeczywistą, zazwyczaj reprezentuje czas,
ale może oznaczać dowolną inną wielkość.
-
p{\ displaystyle p \,} jest liczbą zespoloną.
-
q{\ displaystyle q \,}jest liczbą rzeczywistą ( ).q+1>0{\ displaystyle q + 1> 0}
-
α{\ displaystyle \ alpha \,}, , , I są liczbami rzeczywistymi.β{\ displaystyle \ beta \,}τ{\ displaystyle \ tau \,}ω{\ displaystyle \ omega \,}
-
nie{\ Displaystyle n \,} jest liczbą całkowitą.
|
Przykład zastosowania transformaty Laplace'a w elektryczności
Rozważamy obwód zwany „R, C”, składający się z opornika elektrycznego o wartości R i kondensatora o pojemności elektrycznej C, umieszczonych szeregowo. We wszystkich przypadkach uważa się, że obwód jest umieszczony na zaciskach idealnego generatora napięcia dostarczającego (ogólnie) zmienne napięcie u ( t ) tylko w chwili wybranej jako początek dat i że kondensator jest początkowo rozładowany.
Mamy zatem odpowiednio dla ładunku q ( t ) kondensatora i prądu w obwodzie następujące warunki początkowe:
ja(t)≡reqret{\ Displaystyle ja \ lewo (t \ prawo) \ equiv {\ Frac {{\ rm {d}} q} {{\ rm {d}} t}}}
q(0-)=0,ja(0-)=0.{\ Displaystyle q \ lewo (0 ^ {-} \ prawo) = 0, ja \ lewo (0 ^ {-} \ prawo) = 0}
Ładowanie kondensatora skokiem napięcia
Stosujemy napięcie u ( t ):
u(t)={0, gdyby t<0U0=vstmi, gdyby t≥0,{\ Displaystyle u (t) = {\ rozpocząć {przypadków} 0, {\ tekst {si}} t <0 \\\ mathrm {U} _ {0} = cte, {\ text {si}} t \ geq 0 \ end {cases}},}a równanie różniczkowe odnoszące się do odpowiedzi q ( t ) na wejście u ( t ) polega na zastosowaniu zwykłych praw elektryczności:
U0Υ(t)=Rreqret+q(t)VS,{\ Displaystyle \ mathrm {U} _ {0} \ Upsilon (t) = \ mathrm {R} {\ Frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}} + {\ Frac {q ( t)} {\ mathrm {C}}},}lub jeszcze raz ustawiając τ ≡ RC (wielkość ta ma wymiar czasu trwania) i dzieląc przez R:
VSU0τΥ(t)=q(t)τ+reqret.{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0}} {\ tau}} \ Upsilon (t) = {\ Frac {q (t)} {\ tau}} + {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}}.}Bierzemy transformatę Laplace'a z członu do elementu tego ostatniego równania, oznaczając Q ( p ) transformację q ( t ), biorąc pod uwagę fakt, że q (0 - ) = 0:
Q(p)=VSU01τp((1τ)+p),{\ Displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} {\ Frac {\ Frac {1} {\ tau}} {p \ left (({\ Frac { 1} {\ tau}}) + p \ right)}},}który można również zapisać w postaci:
Q(p)=H.(p)U(p), z H.(p)≡(1/τ)[(1/τ)+p],{\ Displaystyle \ Mathrm {Q} (p) = \ Mathrm {H} (p) \ Mathrm {U} (p) {\ text {, z}} \ mathrm {H} (p) \ equiv {\ Frac { \ left (1 / \ tau \ right)} {\ left [(1 / \ tau) + p \ right]}},} funkcja przenoszenia układu RC i transformata Laplace'a wejścia.
U(p)=VSU0/p,{\ Displaystyle \ mathrm {U} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} / p,}Możemy natychmiast odwrócić to równanie przez (używamy wpisu numer 3 z powyższej tabeli z α = 1 / τ ):
q(t)=U0VS[1-mi-t/τ]Υ(t).{\ Displaystyle q (t) = \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} \ lewo [1 - {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} \ prawo] \ Upsilon (t) .}Fizyczna interpretacja tego rozwiązania jest bardzo prosta: istnieje superpozycja przejściowego reżimu
qtrwnies(t)=-U0VSmi-t/τ,{\ Displaystyle q _ {\ mathrm {trans}} \ lewo (t \ prawej) = - \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} ,}który opisuje progresywny ładunek kondensatora, wielkość τ ≡ RC podającą skalę czasową (jest to przykład stałej czasowej układu), w stanie ustalonym
Qpmirm=VSU0≡Qm{\ Displaystyle \ mathrm {Q_ {perm}} = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} \ equiv \ mathrm {Q_ {m}}}co odpowiada stanowi w pełni naładowanego kondensatora pod napięciem stałym U 0 . Można łatwo wykazać, że kondensator jest naładowany w 90% ( q = 0,90 Q m ) na koniec okresu T = τ ln (10) ≈ 2,3025 τ .
Termin (1 - e - t / τ ) jest funkcją transferu systemu w dziedzinie czasu.
Widzimy łatwość użycia transformacji Laplace'a, która pozwala całkowicie abstrahować od rozwiązania równania różniczkowego w czasie poprzez przejście w „przestrzeni p ”. Ponadto podczas transformacji brane są pod uwagę warunki początkowe.
Uwagi i odniesienia
Uwagi
-
Bourlès 2010 (§12.3.4), Bourlès i Marinescu 2011 , § 7.3.4.1.
-
Denis-Papin i Kaufmann 1967 .
-
J.-É. Rombaldi, Poprawione ćwiczenia i problemy do agregacji matematyki , De Boeck Supérieur ,2018( czytaj online ) , s. 193.
-
Bourlès 2010 , s. 356.
-
(w) Milton Abramowitz i Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [ publikowanie szczegółów ] ( czytaj online ), rozdz. 29 („Transformacje Laplace'a”), s. 1020: 29.2.4. i 29.2.5
-
(w) Milton Abramowitz i Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [ publikowanie szczegółów ] ( czytaj online ), rozdz. 29 („Laplace Transforms”), s. 1020: 29.1.1.
-
Schwartz 1965 , VI, 2; 2.
-
André Desbiens, „ Linear systems and control GEL-2005. Rozdział 3: Transformacja Laplace'a ” , na Université Laval , str. 33.
-
Bracewell 2000 , tabela 14.1, s. 385.
-
W jednostkowym obciążeniu przez pomnożenie przez C.
Bibliografia
- Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544 str. ( ISBN 978-1-84821-162-9 i 1-84821-162-7 , czytaj online )
- Henri Bourlès i Bogdan Marinescu , Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach , Springer,2011, 638 str. ( ISBN 3642197264 )
-
(en) Ronald N. Bracewell , Transformacja Fouriera i jej zastosowania , Boston, McGraw-Hill,2000, 3 e ed. ( ISBN 0-07-116043-4 ).
- M. Denis-Papin i A. Kaufmann , Kurs stosowanych obliczeń operacyjnych , Albin Michel ,1967( ASIN B003WR50TY )
- Laurent Schwartz , Metody matematyczne w naukach fizycznych , Hermann ,1965( ISBN 2-7056-5213-2 )
- (en) DV Widder , The Laplace Transform , Dover Publications ,2011, 406 pkt. ( ISBN 978-0-486-47755-8 i 0-486-47755-X )
Zobacz też
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">