Wsparcie funkcji

Wsparcie funkcji lub aplikacji jest częścią jego zestawu definicji , na których użyteczne informacje o tej funkcji jest skoncentrowana . W przypadku funkcji numerycznej jest to część domeny, w której nie jest równa zeru, a dla homeomorfizmu lub permutacji część domeny, w której nie jest ona niezmienna.

Wsparcie funkcji

Definicja

Pozwolić funkcja złożonych wartości, określona na przestrzeni topologicznej . fa{\ displaystyle f} X{\ displaystyle X}

Definicja  : Nazywa się wsparcie , zauważone , przyczepność zbioru punktów, w których funkcja nie jest anulowana. fa{\ displaystyle f}co tam⁡(fa){\ displaystyle \ operatorname {sup} (f)}

co tam⁡(fa): ={x∈X∣fa(x)≠0}¯{\ displaystyle \ operatorname {sup}} (f): = {\ overline {\ {x \ in X \ mid f (x) \ neq 0 \}}}}.

Jest to część zamknięta w X .

Kompaktowa funkcja wsparcia

Funkcje ciągłe ze zwartą obsługą mają często przydatne właściwości.

• C Funkcje ∞ o zwartym nośniku są wykorzystywane do konstruowania sekwencję regulującą . Umożliwiają one, poprzez iloczyn splotu , przybliżenie funkcji określonej przez szereg funkcji regularnych.
• Pozwól się otworzyć . Funkcje o zwartym nośniku są gęste w przestrzeni za . Możemy zatem pomyśleć o udowodnieniu właściwości przestrzeni za pomocą argumentu gęstości: najpierw dowodzimy tę właściwość na funkcjach ze zwartą obsługą, a następnie przechodzimy do granicy.Ω{\ displaystyle \ Omega}Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}Lp(Ω){\ Displaystyle \ mathrm {L} ^ {p} (\ Omega)}1⩽p<∞{\ displaystyle 1 \ leqslant p <\ infty}Lp{\ displaystyle \ mathrm {l} ^ {p}}VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
• Odnotowano przestrzeń kompaktowo obsługiwanych funkcji nad otwartą przestrzenią . Ale niektórzy autorzy używają innych notacji, takich jak lub . W rzeczywistości, dystrybucje są zdefiniowane jako elementy topologii podwójnej OF , wyposażonego w odpowiedniej topologii.VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}Ω{\ displaystyle \ Omega}Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}VSvs∞(Ω){\ Displaystyle C_ {C} ^ {\ infty} (\ Omega)}re(Ω){\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}VS0∞(Ω){\ Displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} (\ Omega)}VSvs∞(Ω){\ Displaystyle C_ {C} ^ {\ infty} (\ Omega)}
• W przestrzeni metrycznej cyfrowe funkcje ciągłe z kompaktową obsługą są jednolicie ciągłe . To jest twierdzenie Heinego .

Niezbędne wsparcie mierzalnej funkcji

Chcemy zdefiniować podstawowe wsparcie mierzalnej funkcji w taki sposób, aby zależało tylko od klasy równoważności funkcji równej prawie wszędzie, to znaczy z wyjątkiem zbioru miary zerowej . fa{\ displaystyle f}fa{\ displaystyle f}

Definicja

Niech będzie funkcją otwartą i mierzalną. Ω{\ displaystyle \ Omega}RNIE{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}fa:Ω→VS{\ displaystyle f: \ Omega \ do \ mathbb {C}}

Twierdzenie  : Rozpatrujemy otwarte z utworzonych punktów, w sąsiedztwie których s . A więc dalej . ω{\ displaystyle \ omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}fa=0{\ displaystyle f = 0} fa=0 p.p.{\ displaystyle f = 0 ~ pp}ω{\ displaystyle \ omega}

Demonstracja

Pozwolić policzalny otwarta baza z . Na wszystko jest otwarta taka podstawa jak na . Przez σ-addytywność miary , on . (ωnie){\ Displaystyle \ lewo (\ omega _ {n} \ prawo)}Ω{\ displaystyle \ Omega}x∈ω{\ displaystyle x \ in \ omega}ωniex{\ displaystyle \ omega _ {n_ {x}}}fa=0 p.p.{\ displaystyle f = 0 ~ pp}ωniex{\ displaystyle \ omega _ {n_ {x}}}fa=0 p.p.{\ displaystyle f = 0 ~ pp}∪x∈ωωniex=ω{\ displaystyle \ cup _ {x \ in \ omega} \ omega _ {n_ {x}} = \ omega}

Definicja  : Klucz wsparcie wynosi: . fa{\ displaystyle f}co tammiss⁡(fa): =Ω∖ω{\ displaystyle \ operatorname {sup} _ {\ mathrm {ess}} (f): = {\ Omega \ setminus \ omega}}

Uwaga  : jeśli włączona , dzięki powyższej propozycji widzimy, że i dlatego podstawowe wsparcie mierzalnej funkcji jest niezależne od wybranego przedstawiciela. sol=fa p.p.{\ displaystyle g = f ~ pp}Ω{\ displaystyle \ Omega}co tammiss⁡(sol)=co tammiss⁡(fa){\ displaystyle \ operatorname {sup} _ {\ mathrm {ess}} (g) = \ operatorname {sup} _ {\ mathrm {ess}} (f)}

Przykłady

• W przypadku funkcji ciągłej można łatwo sprawdzić, czy podstawowa podpora pokrywa się z podporą ( patrz wyżej ).
• Nie jest to już konieczne, jeśli nie jest ciągłe. fa{\ displaystyle f}Weźmy na przykład funkcję Dirichleta , tj. funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych . Jego wsparcie jest, ale jego podstawowe wsparcie jest puste. Rzeczywiście, ponieważ miara w wynosi zero .1Q{\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}1Q=0 p.p.{\ Displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}} = 0 ~ pp}

Wsparcie produktu splotowego

Najczęstszymi przykładami zbiorów funkcji mierzalnych są przestrzenie L p . Dokładniej, wszystkie elementy przestrzeni L p są prawie wszędzie klasami równości funkcji mierzalnych.

Twierdzenie  : niech i razem . Więc fa∈Lp(Rnie){\ Displaystyle f \ in \ mathrm {L} ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}sol∈Lq(Rnie){\ Displaystyle g \ in \ mathrm {L} ^ {q} (\ mathbb {R} ^ {n})}1≤1p+1q≤2{\ Displaystyle 1 \ równoważnik {\ Frac {1} {p}} + {\ Frac {1} {q}} \ równoważnik 2}

co tam⁡(fa∗sol)⊂co tam⁡(fa)+co tam⁡(sol)¯{\ displaystyle \ operatorname {sup} (f * g) \ subset {\ overline {\ operatorname {sup}} (f) + \ operatorname {sup} (g)}}}

Uwagi  :

• Kompaktowy dwufunkcyjny produkt splotowy o zwartej podporze to kompaktowa podpora.
• Ogólnie rzecz biorąc, jeśli tylko jeden z nośników jest zwarty, to nie jest zwarty.fa∗sol{\ displaystyle f * g}

Wsparcie środka

Wsparcie miary boreliańskiej (dodatniej) na przestrzeni topologicznej jest z definicji przecięciem wszystkich zamkniętych miary pełnej (to znaczy, której uzupełnienie jest równe zeru). Niektórzy autorzy uzupełniają tę definicję o dodatkowy warunek mający na celu uniknięcie niektórych patologicznych przykładów.

W warunkach dość powszechnie spełnianych (przestrzeń topologiczna z policzalną podstawą lub w szczególności regularnością miary ) jest dopełnieniem największej otwartej miary zerowej.

Wsparcie dystrybucji

Definicja

Pozwolić być otwarty od i dystrybucji . Mówimy, że jest to zero w przypadku otwarcia, gdy dla dowolnej funkcji testowej, której obsługa (jak zdefiniowano wcześniej) jest uwzględniona , mamy . Ω{\ displaystyle \ Omega}Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}T∈re′(Ω){\ Displaystyle T \ w {\ mathcal {D}} '(\ Omega)}T{\ displaystyle T}U⊂Ω{\ Displaystyle U \ subset \ Omega} ϕ∈re(Ω){\ Displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ Omega)}U{\ displaystyle U}⟨T,ϕ⟩=0{\ displaystyle \ langle T, \ phi \ rangle = 0}

Definicja  : Wzywamy obsługę dystrybucji na dopełnieniu największego otwartego, na którym jest zero. Zauważamy to . T{\ displaystyle T}Ω{\ displaystyle \ Omega}T{\ displaystyle T}co tam⁡(T){\ displaystyle \ operatorname {sup} (T)}

Uwaga  : Wsparcie jest dobrze zdefiniowane, ponieważ jeśli rozkład wynosi zero na każdym otwarciu rodziny, jest równy zeru dla ich związku; jego podparcie jest zatem dopełnieniem połączenia wszystkich otworów, na których jest zero.

Przykłady

• Jeśli jest funkcją ciągłą, to zdefiniowana tutaj podpora jest identyczna z podporami wprowadzonymi wcześniej dla funkcji ciągłych.T{\ displaystyle T}
• Jeśli jest to miara lub miara prawdopodobieństwa , wsparcie zdefiniowane w tym miejscu jest identyczne z wsparciem zdefiniowanym wcześniej dla środków.T{\ displaystyle T}
• Jeśli jest wielowskaźnikowy , rozkład uzyskany przez zróżnicowanie miary Diraca w punkcie ma zmniejszone wsparcie w tym punkcie .α∈NIEp{\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {p}}reαδw{\ Displaystyle D ^ {\ alfa} \ delta _ {a}}w{\ displaystyle a}w{\ displaystyle a}

Pojedyncze wsparcie dystrybucji

Intuicyjnie, pojedyncze wsparcie rozkładu można rozumieć jako zbiór punktów, w których rozkład nie może być utożsamiany z funkcją. To inna koncepcja niż dotychczas.

Definicja  : Nazywamy pojedynczą podporą dystrybucji i oznaczamy: dopełnienie największej otwartej przestrzeni, na której jest funkcja . T{\ displaystyle T}supp sjaniesol⁡(T){\ displaystyle \ operatorname {sup ~ śpiewać} (T)}T{\ displaystyle T}VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}

Przykład  : gdzie rozkład jest zdefiniowany przez dla dowolnej funkcji . Tutaj oznacza główną wartość Cauchy'ego . supp sjaniesol⁡(vp1x)={0}{\ displaystyle \ operatorname {sup ~ sing} (vp {\ Frac {1} {x}}) = \ lewo \ {0 \ prawo \}}vp 1x{\ Displaystyle vp ~ {\ Frac {1} {x}}}vp 1x(ϕ)=limϵ→0+∫|x|>ϵϕ(x)xrex{\ Displaystyle vp ~ {\ Frac {1} {x}} (\ phi) = \ lim _ {\ epsilon \ do 0 ^ {+}} \ int _ {\ lewo | x \ w prawo |> \ epsilon} { \ frac {\ phi (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x}ϕ∈re(Ω){\ Displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ Omega)}vp{\ displaystyle vp}

W przypadku rozkładów kilku zmiennych pojedyncze wsparcie umożliwia zdefiniowanie frontów fal i zrozumienie zasady Huygensa w kategoriach analizy matematycznej .

Pojęcie pojedynczej podpory pozwala wyjaśnić niemożność pomnożenia rozkładów: z grubsza, aby pomnożenie dwóch rozkładów było możliwe, ich pojedyncze podpory muszą być rozłączne.

Wsparcie pola wektorowego

W geometrii różniczkowej dla pola wektorów X (na otworze lub na rozmaitości) jest adhezja punktów x, w których X ( x ) wynosi zero. Pole X generuje przepływ z parametrem dyfeomorfizmu g t określonym co najmniej lokalnie. Przepływ jest definiowany globalnie, jeśli pole X ma kompaktową obsługę. Do T niezerowe dostatecznie małe, nośnik g t dokładnie nośnik X . Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Wsparcie homeomorfizmu

W topologii , A homeomorfizm F od X do X jest ciągły bijection i ciągłe odwrotnym. Jego wsparciem jest przyczepność zbioru punktów, w których f ( x ) różni się od x . W szczególności w geometrii różniczkowej i układach dynamicznych można zainteresować się dyfeomorfizmami o zwartej podstawie. Słowo diffeomorfizm nabiera tu znaczenia i jest szczególnym przypadkiem homeomorfizmu.

Obsługa permutacji

W analizie kombinatorycznej podpora permutacji jest uzupełnieniem zbioru jej stałych punktów. Na przykład każda permutacja na skończonym zbiorze rozkłada się w unikalny sposób jako iloczyn cykli z rozłącznymi podporami.

Uwaga  : Zapewniając zbiór, na którym działa permutacja, z topologią dyskretną , możemy uznać permutację za homeomorfizm, a następnie obie definicje podpory pokrywają się.

Obsługa pakietu

Zdarza się (szczególnie w badaniu rodzin sumowanych ), że interesują nas rodziny (liczb, wektorów itp.) Indeksowane przez niezliczone zbiory; Przydatne pojęcia (suma szeregu itp.) mające znaczenie tylko dla zbiorów skończonych lub policzalnych, definiujemy podparcie rodziny jako zbiór indeksów, gdzie jest on niezerowy.

Odniesienie

1. Walter Rudin , Analiza rzeczywista i złożona [ szczegóły wydań ], definicja 2.9.

Bibliografia

• Haïm Brezis , Analiza funkcjonalna: teoria i zastosowania [ szczegóły wydań ]
• Laurent Schwartz , Teoria dystrybucji , Hermann, 1978
• (en) Kōsaku Yosida , Analiza funkcjonalna , Academic Press, 1968

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">