Liczba wymierna

Liczbą wymierną jest w matematyce , A ilość , która może być wyrażona jako iloraz dwóch relatywnych całkowitymi . Możemy zapisać niecałkowite liczby wymierne jako ułamek , gdzie a , licznik , jest względną liczbą całkowitą, a b , mianownik jest niezerową względną liczbą całkowitą. wb{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {b}}}

Liczba całkowita to liczba wymierna: może być wyrażona jako ułamek postaci . wb{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {b}}}

Każda liczba wymierna może być zapisana na nieskończoną liczbę różnych sposobów jako ułamek, na przykład 1/2 = 2/4 = 3/6 = ... ale istnieje uprzywilejowana forma zapisu: każda niezerowa liczba wymierna jest jednoznacznie wyrażony jako ułamek, którego licznik i mianownik są względem siebie pierwsze z dodatnim mianownikiem . Wyrażenie to nazywamy ułamkiem nieredukowalnym .

Rozszerzenie dziesiętne liczby wymiernej jest zawsze okresowe po pewnym przecinku dziesiętnym (na przykład w przypadku zapisu skończonego dziesiętnego dodanie zer zapewnia okresowość). Jest to prawdziwe w każdej bazie . I odwrotnie, jeśli liczba ma okresowe rozwinięcie dziesiętne w co najmniej jednej podstawie, to jest liczbą wymierną.

Liczba rzeczywista , która nie jest racjonalne mówi się nieracjonalne . Zbiór liczb wymiernych jest pole przemienne , oznaczoną Q lub ℚ (tak ochrzcił Peano 1895 po początkowej na słowo włoskiego quoziente iloraz). Zgodnie z definicją:

Q={mnie|(m,nie)∈Z×(Z∖{0})}{\ displaystyle \ mathbb {Q} = \ lewo \ {\ lewo {\ frac {m} {n}} \ prawo | (m, n) \ w \ mathbb {Z} \ razy (\ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \}) \ prawy \}}

gdzie ℤ jest pierścieniem względnych liczb całkowitych.

Rozszerzenie dziesiętne

Jak wszystkie liczby rzeczywiste , wymierne wartości dopuszczają reprezentację z nieograniczonym rozwinięciem dziesiętnym . Dziesiętny rozwój liczb wymiernych charakteryzuje się tym, że jest okresowy . Oznacza to, że istnieje przyrostek składający się ze skończonej sekwencji ciągle powtarzających się cyfr . Sekwencja ta nazywa się: „okres nieograniczonego rozszerzania dziesiętnego”.

Nieograniczone rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej i a fortiori liczby wymiernej jest unikalne, jeśli nie wolno nam zakończyć ciągiem okresowym składającym się z „9”. Rzeczywiście, w tym drugim przypadku będzie istniało równoważne pismo zakończone kropką złożoną z „0”, a jeszcze lepiej, równoważne ograniczone rozwinięcie dziesiętne.

Tradycyjnie, kiedy piszemy liczbę cyframi arabskimi w systemie dziesiętnym, rysujemy, jeśli to konieczne, poziomy pasek pod ciągiem okresowym. Możliwe jest również umieszczenie kropki nad każdą cyfrą okresu, ale ta notacja jest używana znacznie rzadziej.

Gdy wskazuje się kropkę, musimy odwołać się do liczby wymiernej iz tego powodu w sposób ścisły:

13=0,3_...=Limx→+∞(Σnie=1x310nie).{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0 {,} {\ podkreślenie {3}} ... = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} \ left (\ sum _ {n = 1 } ^ {x} {\ frac {3} {10 ^ {n}}} \ po prawej).}

Ale również :

1=1,0_...=0,9_...=0,99999 ...{\ displaystyle 1 = 1 {,} {\ podkreślenie {0}} ... = 0 {,} {\ podkreślenie {9}} ... = 0 {,} 99999 ...}

Nieograniczone rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest okresowe i odwrotnie, liczba z okresowym rozwinięciem dziesiętnym jest zawsze racjonalna. To kryterium jest jednak niewygodne w ocenie racjonalności liczby. Drugim kryterium jest ułamek łańcuchowy . Liczba jest racjonalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie w ułamek łańcuchowy jest skończone. Sposób ten jest na początku pierwszej demonstrację nieracjonalnością podstawy e z logarytmu naturalnego i Õ .

Tak więc liczba (gdzie mamy ciągi '2' coraz dłuższe) jest nieracjonalna, ponieważ nie ma kropki. 0,12122122212222 ...{\ displaystyle 0 {,} 12 \, 122 \, 1222 \, 12222... \,}

Wymierna arytmetyka

Niech a, b, c, d będą czterema liczbami całkowitymi, gdzie b i d nie będzie zerem.

Dwie liczby wymierne reprezentowane przez a / b i c / d są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ad = bc .

Dodatek jest dana przez:

wb+vsre=wre+bvsbre.{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {reklama + bc} {bd}}.}

Pokazujemy, że ta równość nie zależy od wyboru przedstawicieli „a/b” i „c/d”.

Mnożenie przez:

wb×vsre=wvsbre.{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ razy {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.}

Na odwrót i odwrotnie przez:

-(wb)=-wb=w-bi(wb)-1=bw gdyby w≠0.{\ displaystyle - \ po lewej ({\ frac {a} {b}} \ po prawej) = {\ frac {-a} {b}} = {\ frac {a} {-b}} \ quad {\ mbox { i}} \ quad \ po lewej ({\ frac {a} {b}} \ po prawej) ^ {-1} = {\ frac {b} {a}} {\ mbox {si}} a \ neq 0.}

Wywnioskujemy, że iloraz wyrażony jest wzorem:

(wb)/(vsre)=wrebvs.{\ displaystyle \ lewo ({\ frac {a} {b}} \ po prawej) / \ po lewej ({\ frac {c} {d}} \ po prawej) = {\ frac {reklama} {bc}}.}

frakcja egipska

Każda dodatnia liczba wymierna może być wyrażona jako suma odwrotności różnych liczb naturalnych. Na przykład mamy:

57=12+16+121.{\ displaystyle {\ frac {5} {7}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {21}}.}

Formalna konstrukcja

Widzimy szereg racjonalnych jako klasy równoważności wystąpienia uporządkowanej pary liczb całkowitych, następującym relacji równoważności:

∀(w,b)∈Z×(Z∖{0})∀(vs,re)∈Z×(Z∖{0})(w,b)R(vs,re)⟺wre=bvs.{\ displaystyle \ forall \ lewy (a, b \ prawy) \ w \ mathbb {Z} \ razy (\ mathbb {Z} \ setminus \ lewy \ {0 \ prawy \}) \ quad \ forall \ lewy ( c, d \ prawo) \ in \ mathbb {Z} \ razy (\ mathbb {Z} \ setminus \ lewo \ {0 \ prawo \}) \ quad (a, b) \, {\ mathcal {R} } \, ( c, d) \ Longleftrightarrow ad = bc.}

Następnie zauważył , że to znaczy, że zbiór liczb wymiernych jest ilorazem z relacją równoważności. Q=(Z×(Z∖{0}))/R{\ displaystyle \ mathbb {Q} = {\ duży (} \ mathbb {Z} \ razy (\ mathbb {Z} \ setminus \ lewy \ {0 \ prawy \}) ​​{\ duży)} / {\ mathcal {R}}}Z×(Z∖{0}){\ displaystyle \ mathbb {Z} \ razy (\ mathbb {Z} \ setminus \ lewo \ {0 \ prawo \})}

Możemy następnie wstrzyknąć liczby całkowite do wymiernych i zdefiniować prawa wewnętrznego składu, aby nadać sobie strukturę ciała.

Ta konstrukcja obowiązuje z dowolnego pierścienia całkowego , mówimy wtedy o polu ułamków .

Nieruchomości

• Zestaw ℚ, wyposażony dodawania i mnożenia przepisów podanych powyżej, tworzy się przemienne pole , na pole frakcji liczb całkowitych ℤ.
• Wymierne to najmniejsze pole o zerowej charakterystyce . Każde inne pole o charakterystyce zerowej zawiera kopię ℚ.
• Algebraiczna zamknięcie z ℚ, to pole korzeni wielomianów współczynnikach racjonalne jest zbiorem liczb algebraicznych .
• ℚ jest gęsty w ℝ przez samą budowę ℝ . Bardziej „konkretnie”, dla każdej rzeczywistej sekwencji określonej przezx{\ styl wyświetlania x}ty{\ styl wyświetlania u}∀nie∈NIEtynie=mi(10nie×x)10nie{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ qquad u_ {n} = {\ frac {E (10 ^ {n} \ razy x)} {10 ^ {n}}}}(gdzie jest funkcją całkowitą ) ma wartości wymierne (a nawet dziesiętne ) i ma tendencję do , ponieważmi{\ styl wyświetlania E} x{\ styl wyświetlania x}0≤x-tynie<10-nie.{\ displaystyle 0 \ leq x-u_ {n} <10 ^ {- n}.}
• Z punktu widzenia aproksymacji diofantycznej wymierne wartości są najmniej dobrze przybliżonymi liczbami rzeczywistymi: po więcej szczegółów patrz „  Miara irracjonalności  ”.
• Zbiór wymiernych jest policzalny . Jednak dzięki argumentowi przekątnej Cantora wiemy, że pole liczb rzeczywistych nie jest. Następnie mówimy, że liczby rzeczywiste są prawie wszystkie irracjonalne w sensie miary Lebesgue'a . Mówimy, że ℚ jest zbiorem pomijalnym . Następująca funkcja f , bijektyw od ℕ do ℚ + , daje wszystkie liczby wymierne dodatnie lub zerowe, z licznikiem i mianownikiem zawsze pomiędzy nimi przez konstrukcję. Jest inspirowany suitami Fareya lub diatomicznym zestawem Sterna  :{fa(0)=0fa(2nie)=1fa(nie)+1fa(2nie+1)=fa(nie)+1.{\ displaystyle {\ początek {przypadki} f (0) = 0 \\ f (2n) = {\ frac {1} {f (n) +1}} \\ f (2n + 1) = f (n) +1. \ Zakończ {przypadki}}}Jest odwracany przez następującą funkcję g :{sol(0)=0sol(pq)={2sol(q-pp),gdyby q>p2sol(p-qq)+1,gdyby q≤p.{\ displaystyle {\ begin {przypadki} g (0) = 0 \\ g \ lewo ({\ dfrac {p} {q}} \ prawo) = {\ begin {przypadki} 2g ({\ frac {qp} { p}}), & {\ text {si}} q> p \\ 2g ({\ frac {pq} {q}}) + 1, & {\ text {si}} q \ leq p. \ end { sprawy}} \ koniec {sprawy}}}

Topologia

Wyposażony w topologię zwykłego porządku , ℚ jest polem topologicznym . Oznacza to, że operacje arytmetyczne są ciągłe. Dodatek jest ponadto zgodny z zamówieniem (mówi się o zamówionej grupie ).

Ograniczenia

Z drugiej strony, ℚ nie ma własności górnej granicy  : zbiór liczb wymiernych x taki, że x 2 <2 jest zwiększony, ale nie ma mniejszej górnej granicy.

Z drugiej strony, ℚ nie jest przestrzenią zupełną  : istnieją ciągi Cauchy'ego liczb wymiernych, które nie są zbieżne w kierunku liczby wymiernej, jak ciąg ( x n ) zdefiniowany przez indukcję zgodnie z metodą Herona  :

• x 0 = 1
• dla wszystkich n niezerowej naturalnej liczby całkowitej: x n +1 =x n/2 + 1/x n.

Te dwa ograniczenia pokazują w szczególności, że podstawowe liczby w matematyce, takie jak √ 2 lub π , nie są wymierne. Prowadzi to do skompletowania przez skonstruowanie większego zbioru, który ma właściwość górnej granicy i w którym dowolna sekwencja Cauchy'ego jest zbieżna: zbiór liczb rzeczywistych .

Liczba p -adic

Możemy podać ℚ inną metrykę.

Pozwolić liczbą pierwszą . Pytamy: p{\ styl wyświetlania p}

• dla dowolnej niezerowej liczby całkowitej , gdzie jest największa potęga dzielenia ,w{\ styl wyświetlania a}|w|p=p-nie,{\ displaystyle | a | _ {p} = p ^ {- n},}pnie{\ styl wyświetlania p ^ {n}}p{\ styl wyświetlania p} w{\ styl wyświetlania a}
• |0|p=0{\ styl wyświetlania | 0 | _ {p} = 0}.

Tak zdefiniowana funkcja jest całkowicie multiplikatywna , co pozwala na jednoznaczne postawienie dla dowolnej liczby wymiernej  : w/b{\ styl wyświetlania a / b}

• |wb|p=|w|p|b|p{\ displaystyle \ lewy | {\ frac {a} {b}} \ prawy | _ {p} = {\ frac {| a | _ {p}} {| b | _ {p}}}}.

Więc zdefiniuj przestrzeń metryczną. rep(x,tak)=|x-tak|p{\ displaystyle d_ {p} \ lewo (x, y \ prawo) = | xy | _ {p}}

Przestrzeń metryczna nie jest zupełna, a jej uzupełnieniem jest pole ℚ p liczb p -adycznych . Z twierdzenia Ostrowskiego wynika, że ​​każda nietrywialna wartość bezwzględna ℚ jest topologicznie równoważna albo zwykłej wartości bezwzględnej, albo wartości bezwzględnej p -adic. (Q,rep){\ styl wyświetlania \ po lewej (\ mathbb {Q}, d_ {p} \ po prawej)}

Odniesienie

1. Oznacza to, że jedynym dodatnim wspólnym dzielnikiem jest dla nich liczba 1
2. Jean C. Baudet (2005), Matematyka i prawda. Filozofia liczb , Paryż, wyd. L'Harmattan, kol. „Uwertura filozoficzna”, ( ISBN  978-2-296-39195-6 ) , część „Ale co to jest liczba? ”, rozdz. „Zbiory liczb”, przypis 11, s. 124  : „Zbiór liczb wymiernych jest ogólnie oznaczony literą Q. […] Notacja zaproponowana przez Giuseppe Peano w 1895, z włoskiego quoziente (iloraz). "

Zobacz również

Drzewo Sterna-Brocota