Topologia prostej (lub zwykłego topologii R ) jest strukturą, która daje matematycznego, na zbiór liczb rzeczywistych , precyzyjnych definicji w pojęciach granicy i ciągłość .
Historycznie rzecz biorąc, te pojęcia rozwinęły się wokół pojęcia liczby (zbliżającym numery takie jak pierwiastek kwadratowy z dwóch lub PI przez innych bardziej „zarządzaniu”) i geometrii linii (do którego przestrzenią topologiczną liczb można zasymilowanej), z zwykły samolot i przestrzeń . Z badań tych wyodrębniono aksjomaty pozwalające określić, czym jest przestrzeń topologiczna . Ustanowiona aksjomatyczna teoria topologii, przestrzeń topologiczna liczb rzeczywistych jest tylko jednym z wielu przykładów grupy topologicznej.. Istnieją zatem zasadniczo dwa sposoby przedstawienia zwykłej topologii zbioru liczb rzeczywistych:
Oba polegają na konstrukcji liczb rzeczywistych poprzez uzupełnienie zbioru liczb wymiernych .
Topologia linii rzeczywistej jest topologią porządku, a zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem topologicznym , co oznacza, że pojęcia granicy i ciągłości są zgodne z porządkiem i zwykłymi operacjami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie inne niż dzielenie przez zero).
Podzbiory R, które odgrywają istotną rolę dla topologii, to z jednej strony zbiór liczb wymiernych, na których zbudowany jest R , az drugiej strony przedziały , na których budowana jest topologia.
Zbiór liczb wymiernych , oznaczoną Q , to pole , co oznacza, że ma wiele „dobrych” własności algebraicznych: jeśli dodać , mnożyć , odejmować lub podzielić dwie liczby wymierne, to dostaje kolejny numer racjonalne. Co więcej, jest całkowicie uporządkowany: z dwóch podanych liczb wymiernych jedna jest zawsze mniejsza od drugiej. Właściwości te są ze sobą zgodne, więc dla dowolnych trzech liczb wymiernych x , y i a ,
jeśli x ≤ y , to x + a ≤ y + ai
jeśli x ≤ y i a > 0 , to ax ≤ ay .Ale Q jest niewystarczające z topologicznego punktu widzenia , to znaczy w odniesieniu do pojęć granicy i ciągłości . Konieczne jest uzupełnienie go o inne liczby, zwane liczbami niewymiernymi. Wśród nich są istotne liczby w nauce, takie jak pierwiastek kwadratowy z dwóch i π .
Sekwencja ( x n ) liczb wymiernych zbieżny do poziomu L, gdy można to uczynić x n , tak blisko jak to ma L, pod warunkiem, że n jest brane wystarczająco duża. Jedną z konsekwencji jest to, że każdy zbieżny ciąg jest ciągiem Cauchy'ego : możemy otrzymać dwa wyrazy x n i x m tak blisko, jak chcemy, pod warunkiem, że m i n będą wystarczająco duże. Ale odwrotność jest fałszywa: żadna sekwencja Cauchy'ego nie jest zbieżna. Tak jest w przypadku sekwencji zdefiniowanej przez indukcję metodą Herona :
x 0 = 1 x n +1 = x n / 2 + 1 / x nIntuicyjnie powinien dążyć do liczby, ale ta liczba, pierwiastek kwadratowy z dwóch , nie jest liczbą wymierną.
Mówi się, że dwie sekwencje Cauchy'ego są równoważne, gdy ich różnica dąży do zera. Rozważając zbiór ilorazowy ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych za pomocą tej relacji równoważności, konstruujemy nowy zbiór: zbiór R liczb rzeczywistych, który ma takie same „dobre właściwości” jak Q (jest to pole uporządkowane), ale który, co więcej, jest kompletny: każda sekwencja Cauchy'ego w R jest zbieżna.
Z jego konstrukcji można wywnioskować kilka właściwości topologicznych linii rzeczywistej:
Kompletność - R jest kompletna.
Oznacza to, że każdy ciąg liczb rzeczywistych Cauchy'ego zbiega się do liczby rzeczywistej.
Gęstość Q w R - P jest gęsta w R .
Oznacza to, że do dowolnej liczby rzeczywistej można zbliżyć się tak blisko, jak chcemy, za pomocą liczb wymiernych.
Intuicyjne pojęcie granicy opiera się na intuicji „liczby wystarczająco bliskiej” innej. Sąsiedztwo liczby rzeczywistej x jest dane wszystkich liczb rzeczywistych „wystarczająco blisko” x . Formalnie:
Definicja sąsiedztwo - A sąsiedztwie szeregu x jest częścią V R , który zawiera otwartą odstępie, który sam jest X .
Definicja otwartego - Otwarte to część R będąca sąsiedztwem każdego z jego punktów.
W szczególności każdy otwarty przedział czasu jest otwarty. Zgodnie z konwencją zbiór pusty jest również traktowane jako otwarty R . Dwie istotne właściwości otworów to:
Pojęcia sąsiedztwa i otwartości mają fundamentalne znaczenie w topologii. Wszystkie właściwości topologiczne R można wyrazić jako otwory lub sąsiedztwa. Zatem gęstość Q w R można zapisać w następujący sposób:
Każdy niepusty otwarty R zawiera co najmniej jedną liczbę wymierną.
lub
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x każde sąsiedztwo x zawiera co najmniej jedną liczbę wymierną.
Język sąsiedztw pozwala na proste i rygorystyczne zdefiniowanie pojęcia granicy szeregu liczb rzeczywistych, także wtedy, gdy granica ta jest nieskończona. W tym celu mówimy o sąsiedztwie nieskończoności :
Definicja sąsiedztwie + ∞ - A sąsiedztwie + ∞ jest częścią V R , który zawiera otwarty przedział formie] ; + ∞ [, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Innymi słowy, właściwość jest prawdziwa w sąsiedztwie + ∞, gdy jest prawdziwa dla wszystkich wystarczająco dużych liczb rzeczywistych. W podobny sposób definiujemy dzielnice -∞.
Definicja granicy ciągu - A oznacza liczbę rzeczywistą lub + ∞ lub -∞. Sekwencja dopuszcza A jako granicę, gdy dowolne sąsiedztwo A zawiera wszystkie wyrazy tej sekwencji, których ranga jest wystarczająco duża.
Biorąc pod uwagę dwie różne rzeczywistości, istnieje sąsiedztwo jednej, która nie zawiera drugiej. Mówimy, że R jest oddzielne . Ta właściwość prowadzi w szczególności do wyjątkowości granicy ciągu.
Zamknięte od R jest uzupełnieniem otwartego: F jest zamknięty, jeżeli zbiór liczb rzeczywistych, które nie należą do F ma charakter otwarty. Następuje natychmiast po następujących właściwościach, podwójnych w stosunku do otwartych:
Część B jest nazywany ograniczona , gdy istnieją dwa rzeczywiste liczby m i K tak, że dla każdego x w A, m ≤ x ≤ M .
Pokrywa A jest rodziną zbiorów którego unia zawiera A.
Twierdzenie Borela-Lebesgue'a wskazuje równoważność między następującymi dwoma właściwościami dla dowolnej części K R :
Ta druga propozycja to definicja zwartego zbioru w ogólnej topologii, dla oddzielnej przestrzeni.
Intuicyjnie, zwarta część R jest częścią, która nie pozwala na „wyciek nieskończoności”.
Zamknięte przedziały to, oprócz samego R , te o postaci [ a ; b ] albo [ a ; + ∞ [lub] -∞; b ], gdzie a i b to dowolne dwie liczby rzeczywiste, przy czym pierwszy typ podaje zwarte przedziały. Przedział postaci [ a ; b [lub] a ; b ] nie jest ani otwarta, ani zamknięta.
Zbiór Cantora jest klasycznym przykładem R Compact . Określa ją powtarzalność z przedziału [0; 1], z którego usuwamy środkową tercję: pozostaje [0; 1/3] ∪ [2/3; 1], który jest zamknięty, ponieważ połączenie dwóch jest zamknięte. Z każdego z tych przedziałów usuwamy środkową tercję, aby otrzymać [0; 1/9] ∪ [2/9; 1/3] ∪ [2/3; 7/9] ∪ [8/9; 1], to proces jest powtarzany w nieskończoność. Otrzymany zbiór jest ograniczony, ponieważ jest zawarty w [0; 1] i zamknięta, ponieważ jest uzupełnieniem otwartej.
Topologia rygorystycznie definiuje pojęcia wnętrza części A R , które różni się od członkostwa , adhezji (która grupuje wszystkie liczby „bardzo blisko” A) i granicy (która grupuje razem wszystkie liczby. numery znajdujące się „na krawędzi” litery A).
Na przykład dla przedziału A = [0; 1 [, liczby 0 i 1 znajdują się „na krawędziach” A, należą do jego granicy (topologii) . Są „bardzo blisko” A, podobnie jak wszystkie liczby A: należą do adhezji A. Liczba 0,01 jest „wewnątrz” A, ale nie jest liczbą 0, chociaż „należy do A.
Numer wewnątrz części - mówi się, że liczba x znajduje się wewnątrz części A z R, gdy A jest sąsiedztwem x .
Wnętrze części A, oznaczone Å, jest zbiorem utworzonym ze wszystkich liczb znajdujących się wewnątrz A. Å jest otwartym, największym otworem zawartym w A: każdy otwór zawarty w A jest zawarty w Å. Na przykład wewnątrz przedziału [0; 1 [to przedział] 0; 1 [.
Liczba przylegająca do części - mówi się, że liczba x przylega do części A z R, gdy którekolwiek sąsiedztwo x zawiera co najmniej jeden element A.
Przyczepność (czasami nazywane także zamknięcie ) z A składa się z wszystkich punktów przylegających do A, to jest nie zauważyć. Jest to najmniejsza zamknięta zawierająca A: każda zamknięta zawierająca A zawiera Ā. Na przykład przestrzeganie przedziału [0; 1 [to przedział [0; 1].
Granica części - granicy z części A R jest zestaw składający się z liczb, które przylega do wnętrza, ale nie A.
Na przykład granica przedziału [0; 1 [składa się z cyfr 0 i 1. Granica jest zamknięta.
Liczby wymierneNieruchomość widoczna powyżej:
Q jest gęsty w Rjest równa:
Przyczepność P jest R .Z drugiej strony wnętrze Q to pusty zestaw. Ten przykład pokazuje granice intuicji w topologii: Q można postrzegać jako zbiór, który jest zarówno „bardzo duży” (jest gęsty), jak i „bardzo mały” (jego wnętrze jest puste).
SuitesJeśli ciąg zbiega się w kierunku rzeczywistego L, to L należy do adhezji zbioru, na który składają się wszystkie późniejsze wartości. Ale odwrotnie nie jest prawdą: ciąg określony przez x n = (-1) n przyjmuje naprzemiennie i w nieskończoność wartości 1 i -1, które są dwiema wartościami adhezji tego ciągu bez zbieżności, ani w kierunku 1 ani w kierunku -1.