Interwał (matematyka)
W matematyce An przedział (od łacińskiego intervallum ) etymologicznie zestaw zawiera się pomiędzy dwoma wartościami. To pierwsze pojęcie rozwijało się następnie, aż zaowocowało następującymi definicjami.
Przedziały ℝ
Inwentarz
Początkowo realny przedział nazywa się zestaw z numerów ustalonych przez dwóch liczb rzeczywistych stanowiących dolną granicę i górną granicę . Przedział zawiera wszystkie liczby rzeczywiste między tymi dwoma granicami.
Definicja ta grupuje przerwach następujących typów (o i b rzeczywistym oraz do < B ):
-
{x∈R∣w<x<b}=]w,b[{\ Displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a <x <b \} = \;] a, b [}( otwarte i niezamknięte )
-
{x∈R∣w≤x≤b}=[w,b]{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a \ leq x \ leq b \} = [a, b]} (zamknięte i nieotwarte)
-
{x∈R∣w<x≤b}=]w,b]{\ Displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a <x \ leq b \} = \;] a, b]} (półotwarte po lewej stronie, półotwarte po prawej)
-
{x∈R∣w≤x<b}=[w,b[{\ Displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a \ leq x <b \} = [a, b [} (półotwarte po lewej stronie, półotwarte po prawej)
Przedziały pierwszego typu nazywane są interwałami otwartymi ; drugie zamknięte przerwy i ostatnie dwa półotwarte przerwy .
Inna notacja (pochodzenia angielskiego, ale również bardzo rozpowszechniona) używa, dla (pół) otwartych odstępów, nawiasu zamiast nawiasu: powyższe odstępy są następnie odpowiednio odnotowywane
(w,b),[w,b](w,b],[w,b).{\ Displaystyle (a, b), \ qquad [a, b] \ qquad (a, b], \ qquad [a, b).}Te dwie notacje są opisane w normie ISO 31 (dla matematyki:
ISO 31-11 (en) ). Do tych przedziałów dodano zbiory liczb rzeczywistych mniejszych niż wartość lub większych niż wartość. Dlatego dodajemy przedziały tego typu:
-
{x∈R∣x<w}=]-∞,w[=(-∞,w){\ Displaystyle \ lewo \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x <a \ right \} = \;] {- \ infty}, a [\; = (- \ infty, a)} (otwarte i niezamknięte)
-
{x∈R∣x≤w}=]-∞,w]=(-∞,w]{\ Displaystyle \ lewo \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ leq a \ right \} = \;] {- \ infty}, a] = (- \ infty, a]} (zamknięte i nieotwarte)
-
{x∈R∣x>w}=]w,+∞[=(w,+∞){\ Displaystyle \ lewo \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> a \ right \} = \;] a, + \ infty [\; = (a, + \ infty)} (otwarte i niezamknięte)
-
{x∈R∣x≥w}=[w,+∞[=[w,+∞){\ Displaystyle \ lewo \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq a \ right \} = [a, + \ infty [\; = [a, + \ infty)} (zamknięte i nieotwarte)
Do których dodano przedziały:
- zbiór pusty ∅ (otwarte i zamknięte);
- z Singleton'y { } = [ , ] (zamknięte i otwarte);
- zbiór liczb rzeczywistych (zarówno otwartych, jak i zamkniętych).R=]-∞,+∞[=(-∞,+∞){\ Displaystyle \ mathbb {R} = \;] {- \ infty}, + \ infty [\; = (- \ infty, + \ infty)}
Ogólna definicja
Przedział ℝ to wypukła część ℝ, czyli zbiór I liczb rzeczywistych spełniający następującą właściwość:
∀(x,y)∈ja2, (x≤y⇒[x,y]⊂ja){\ Displaystyle \ forall (x, r) \ in I ^ {2}, \ (x \ równoważnik y \ Rightarrow [x, y] \ podzbiór I)}innymi słowy :
∀(x,y)∈ja2, ∀z∈R, (x≤z≤y⇒z∈ja) .{\ Displaystyle \ forall (x, r) \ w ja ^ {2}, \ \ forall z \ w \ mathbb {R}, \ (x \ równoważnik z \ równoważnik y \ Strzałka w prawo z \ w ja) \.}Unia i skrzyżowanie
Skrzyżowanie z przerwami ℝ zawsze jest przerwa. Na przykład,
- [-3,5[∩]-∞,2]=[-3,2]{\ Displaystyle [-3,5 [\; \ czapka \;] {- \ infty}, 2] = [- 3,2]}
- [-3,5[∩[2,+∞[=[2,5[{\ Displaystyle [-3,5 [\; \ czapka \; [2, + \ infty [\; = [2,5 [}]
- [3,5[∩]-∞,2]=∅{\ Displaystyle [3,5 [\; \ czapka \;] {- \ infty}, 2] = \ varnothing}
Związek z przerwami ℝ nie zawsze jest przerwa. Będzie to interwał, jeśli uzyskany zbiór pozostanie wypukły (intuicyjnie, jeśli nie ma „dziury”). W przypadku połączenia dwóch przedziałów wystarczy, aby przecięcie tych przedziałów nie było puste, aby ich połączenie było wypukłe. Na przykład,
- ]-∞,2]∪[-3,5[=]-∞,5[{\ Displaystyle] {- \ infty}, 2] \; \ kubek [-3,5 [\; = \;] {- \ infty}, 5 [}
- [-3,5[∪[2,+∞[=[-3,+∞[{\ Displaystyle [-3,5 [\; \ kubek \; [2, + \ infty [\; = [- 3, + \ infty [}]
-
[3,5[∪]-∞,2]=]-∞,2]∪[3,5[{\ Displaystyle [3,5 [\; \ kubek \;] {- \ infty}, 2] = \;] {- \ infty}, 2] \ filiżanka [3,5 [} (Uwaga: najlepiej zwrócić uwagę na dwie granice przedziału w porządku rosnącym).
Ten związek nie tworzy odstępu, ponieważ istnieje luka między 2 a 3.
Łączność i zwartość
Do połączonych ze sobą części o ℝ (dla zwykłego topologii) są dokładnie odstępach.
Zamknięte przedziały ograniczone, to znaczy zawierające ich granice, nazywane są segmentami . To jedyne prawdziwe kompaktowe interwały . Ten wynik jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Borela-Lebesgue'a .
Rozkład otworów ℝ
Każde otwarcie ℝ jest policzalną sumą otwartych przedziałów od dwóch do dwóch rozłącznych: połączonych ze sobą składników .
Przedziały są najbardziej interesującymi częściami ℝ, kiedy mówimy o ciągłości i różniczkowości .
Prawdziwe interwał mówi się, że nie- trywialne , jeśli nie jest pusty i nie zmniejsza się do punktu.
Następnie znajdujemy (między innymi) dla rzeczywistych funkcji zmiennej rzeczywistej właściwości takie jak:
- Obraz z ciągłej funkcji przedziału ℝ jest przedziałem ℝ ( twierdzenie o wartościach pośrednich ).
- Różniczkowalna funkcja z identycznie zerową pochodną w przedziale jest stała w tym przedziale.
- Funkcja różniczkowalna rośnie (w szerokim sensie) w nietrywialnym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna pozostaje dodatnia (w szerokim sensie) w tym przedziale.
Uwaga : Funkcja f : ℝ * → ℝ zdefiniowana przez f ( x ) = x / | x | jest różniczkowalny na ℝ *, a jego pochodna jest identycznie zerowa; ale f nie jest stała. Dzieje się tak, ponieważ ℝ * = ℝ \ {0} nie jest interwałem.
Uogólnienie
W każdym zbiorze całkowicie uporządkowanym ( S , ≤) możemy zdefiniować przedziały w taki sam sposób jak w ℝ, jak zbiory wypukłe (w sensie podanej powyżej ogólnej definicji). Znajdziemy wśród nich następujące typy (ale nie jedyne):
-
{z∈S∣w<z<b}{\ Displaystyle \ lewo \ {z \ w S \ połowie a <z <b \ prawo \}}, , ,{z∈S∣w≤z≤b}{\ Displaystyle \ lewo \ {z \ in S \ mid a \ leq z \ równoważnik b \ prawo \}}{z∈S∣w<z≤b}{\ Displaystyle \ lewo \ {z \ w S \ mid a <z \ leq b \ prawo \}}{z∈S∣w≤z<b}{\ Displaystyle \ lewo \ {z \ w S \ w połowie a \ równoważnik z <b \ w prawo \}}
-
{z∈S∣z<w}{\ Displaystyle \ lewo \ {z \ w S \ połowie z <a \ prawo \}}, , ,{z∈S∣z≤w}{\ Displaystyle \ lewo \ {z \ in S \ mid z \ leq a \ right \}}{z∈S∣z>w}{\ Displaystyle \ lewo \ {z \ w S \ w połowie z> a \ prawo \}}{z∈S∣z≥w}{\ Displaystyle \ lewo \ {Z \ w S \ w połowie z \ geq a \ w prawo \}}
-
∅{\ displaystyle \ varnothing}, S{\ displaystyle \ quad S}
Pierwsze cztery zapisy uogólniają odpowiednio przedział otwarty, przedział zamknięty, przedział półotwarty po lewej stronie i przedział półotwarty po prawej stronie. Piąty zapis jest szczególnym przypadkiem otwartej sekcji początkowej ; następne trzy to zamknięta sekcja początkowa , otwarta sekcja końcowa i zamknięta sekcja końcowa, określone odpowiednio przez a .
Jest zatem całkowicie możliwe zdefiniowanie w ℤ względnych liczb całkowitych w przedziale od –5 do 3, ale zapisanie ich [–5, 3] bez wcześniejszego ostrzeżenia byłoby niebezpieczne ze względu na ryzyko pomylenia z zapisem przedziałów. ℝ. Czasami używamy notacji z białymi nawiasami ⟦– 5, 3⟧, a czasami notacji z podwójnymi nawiasami (powszechnie używanymi w prawdopodobieństwie).
Przecięcie przedziałów jest nadal interwałem.
Uwagi i odniesienia
-
Zobacz na przykład Nawfal El Hage Hassan, Topologia ogólna i przestrzenie standardowe: Poprawione kursy i ćwiczenia , Dunod ,2018, 2 II wyd. ( 1 st ed. 2011) ( czytaj on-line ) , s. 10 i 246, lub to poprawione ćwiczenie z lekcji „General Topology” na Wikiwersytecie .
-
Więcej szczegółów można znaleźć w § Monotonia i znak pochodnej artykułu o funkcjach monotonicznych .
-
D. Guinin i B. Joppin, Algebra and geometry MPSI , Bréal, 2003
( ISBN 9782749502182 ) , Definicja 27 str. 176 .
-
To tylko szczególny przypadek, ponieważ mogą istnieć otwarte odcinki początkowe, których a nie jest górną granicą - dotyczy to zwłaszcza cięć Dedekinda, które definiują liczbę rzeczywistą i niekoniecznie mają górną granicę w ℚ .
-
Analogiczna : sekcja końcowa niekoniecznie musi mieć dolną granicę.
-
J.-M. Arnaudiès i H. Fraysse, Mathematics-1 Algebra Course , Dunod, 1987
( ISBN 2040164502 ) , str. 52 .
Powiązany artykuł
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">