Plan (matematyka)

W geometrii klasycznym , A płaszczyzna jest nieograniczona płaska powierzchnia , wyposażony pojęć wyrównania , kąt i odległość , i w którym punkty , linie , kółka i inne zwykłe postacie płaszczyzny mogą być podane . W ten sposób służy jako szkielet geometrii płaskiej , a zwłaszcza trygonometrii, gdy ma orientację , i umożliwia przedstawienie zbioru liczb zespolonych .

Samolot może być pomyślany jako część trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , w którym to sprawia, że możliwe jest określenie z płaskich sekcji : a stały lub innej powierzchni. Mówiąc bardziej ogólnie, płaszczyzna pojawia się w geometrii wektorowej i geometrii afinicznej , jako podprzestrzeń o wymiarze 2, niezależnie od pojęć kąta i odległości. Definiując te struktury na innym ciele niż liczby rzeczywiste , koncepcja mapy sprowadza się do wpływania na strukturę spełniającą twierdzenie Desarguesa .

W geometrii rzutowej płaszczyzna jest zakończona linią prostą w nieskończoności, aby uzyskać płaszczyznę rzutową , taką jak płaszczyzna Fano . Ta struktura definiuje geometrię nieeuklidesową, jak w płaszczyźnie hiperbolicznej .

Definicje

Pierwsze podejścia

W klasycznej geometrii definicja płaszczyzny jest aksjomatyczna i ma na celu idealizację fizycznych reprezentacji powierzchni płaskich (stół, stół, arkusz ...). Aksjomatyczną definicję płaszczyzny znajdujemy u Euklidesa , około 300 rpne, który definiuje powierzchnię jako „tę, która ma tylko długość i szerokość”, a następnie określa w swojej definicji 7:

Płaski obszar to taki, który jest również umieszczony między jego prostymi liniami.

Kilka wieków później Denis Henrion w swoim tłumaczeniu i komentarzach do elementów próbuje wyjaśnić znaczenie słowa „również umieszczony między jego prostymi liniami”, wskazując, że jest to powierzchnia, której wszystkie części środka nie są ani podniesione, ani obniżone. że skrajności, że jest to najkrótsza powierzchnia spośród tych, które mają te same skrajności, że środkowe części ocieniają skrajne części. Wyjaśnia, że jeśli w dowolnym punkcie powierzchni możemy obrócić linię, pozostając na powierzchni, to ta powierzchnia jest płaska.

Ta sama idea znajduje odzwierciedlenie w definicji Adrien-Marie Legendre w jego Elements of Geometry (1790):

Powierzchnia to ta, która ma długość i szerokość, bez wysokości ani grubości. Płaszczyzna jest powierzchnią, na której, biorąc dowolnie dwa punkty i łącząc te dwa punkty linią prostą, linia ta znajduje się w całości na powierzchni.

lub w tej definicji z The Little Encyclopedia of Mathematics (1980):

Zbiór prostych wychodzących z punktu A i przecinających się z prostą d nie przechodzącą przez A lub równoległą do d tworzy płaszczyznę.

Rejestracja kartezjańska

W XVII XX wieku The geometria analityczna z Kartezjusza i Fermatem opisane wszystkie punkty planu parami o współrzędnych . We współczesnym języku matematycznym płaszczyzna jest wówczas przeciwstawiona całemu , tak że odległość między dwoma punktami odpowiada normie euklidesowej ilustrującej twierdzenie Pitagorasa . $(x, y)$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ ${\ Displaystyle d ((x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})) = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}}$

Podobnie, przedstawiając przestrzeń jako zbiór trójek liczb rzeczywistych, płaszczyzna jest zbiorem rozwiązań równania kartezjańskiego postaci , w którym nie wszystkie współczynniki wynoszą zero. W ten sposób płaszczyzn pojawić się jako poziom powierzchni w postaci liniowej w przestrzeni. $\ mathbb {R} ^ {3}$ $(X Y Z)$ $ax + by + cz + d = 0$ $ABC$

Prezentacja algebraiczna

Rozwój algebry liniowej w XIX th wieku zawiera definicję planu z koncepcją przestrzeni wektorowej i wymiarze z ciałem :

Płaszczyzny (wektor lub afinicznej) to wektor (lub afinicznej ) przestrzeń montażowa 2.

Tak jest na przykład w przypadku zbioru liczb zespolonych , zbioru funkcji afinicznych , zbioru ciągów spełniających liniową relację rekurencji rzędu 2 postaci (jak ciąg Fibonacciego ) lub zbioru rozwiązań z liniowego równania różniczkowego rzędu 2 formy w danym przedziale czasu. ${\ Displaystyle u_ {n + 2} = a_ {n} u_ {n + 1} + b_ {n} u_ {n} + c_ {n}}$ ${\ Displaystyle y '' = a (x) r + b (x) y '+ c (x)}$

Ta prezentacja implikuje istnienie punktu $O$ i dwóch wektorów i takich, że punkty płaszczyzny są punktami $M$ spełniającymi wektorową równość postaci , gdzie $a$ i $b$ opisują pole skalarów. Następnie mówimy, że trójka jest kartezjańskim układem współrzędnych płaszczyzny i wykorzystamy tę prezentację w dalszej części artykułu. ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = a {\ vec {u}} + b {\ vec {v}}}$ $(O, {\ vec u}, {\ vec v})$

Płaszczyzna klasycznej geometrii realizowana jest w przestrzeni afinicznej na polu liczb rzeczywistych . Ale wiele konstrukcji geometrycznych zachowuje znaczenie dla innych ciał, w szczególności dla ciał skończonych .

Struktura zapadalności

Pod koniec XIX -go wieku , po odkryciu nieeuklidesowych geometrii , ruch staje się dla axiomatizing dalsze geometrię dąży do opróżnienia go z jego ontologiczną treści. David Hilbert w swoim Grundlagen der Geometrie ( Basis of geometry ) definiuje punkty, linie i płaszczyzny przestrzeni za pomocą relacji, które je łączą ( aksjomaty przypadku ):

Co najmniej jeden punkt znajduje się na dowolnej płaszczyźnie. Niech 3 punkty nie zostaną wyrównane, istnieje jedna i tylko jedna płaszczyzna zawierająca te trzy punkty. Jeśli dwa (różne) punkty linii znajdują się na płaszczyźnie, cała linia znajduje się na płaszczyźnie. Jeśli dwie płaszczyzny mają jeden wspólny punkt, to mają inny wspólny punkt. Co najmniej 4 punkty nie znajdują się na tej samej płaszczyźnie.

Redukcja aksjomatów Hilberta pozwala na znalezienie geometrii płaskiej poza kontekstem geometrii w przestrzeni :

Przez dwa różne punkty przebiega jedna i tylko jedna prosta. Każda prosta przechodzi przez co najmniej dwa punkty. Istnieją co najmniej trzy niewyrównane punkty. Przez punkt zewnętrznej linii $D$ , tylko jeden rozłączne linia $d$ przechodzi .

Struktura częstość tak określony jest realizowane przez wszystkie afiniczne przestrzeni o wymiarze 2, co organizm bazowego, lecz także inne konstrukcje takie jak samolot Moulton za .

Hilbert identyfikuje, że twierdzenie Desarguesa o klasycznej geometrii jest wyprowadzane z innych aksjomatów, ale nie z tych dotyczących przypadku w płaszczyźnie, podczas gdy jest formułowane tylko w kategoriach przypadku. Wprowadzając ją jako dodatkowy aksjomat, charakteryzuje ona w istocie wszystkie przestrzenie afiniczne wymiaru 2. A zastępując ją twierdzeniem Pappusa , uzyskujemy charakterystykę wszystkich przestrzeni afinicznych na polach przemiennych .

Relacje między liniami i płaszczyznami

Względne położenie

Dwa plany

W afinicznej przestrzeni wymiaru 3 istnieją tylko dwa względne położenia dwóch płaszczyzn:

mogą być równoległe , innymi słowy w tym samym kierunku , co obejmuje dwa przypadki: dwie płaszczyzny są zdezorientowane lub rozłączne (i kwalifikowane jako ściśle równoległe );
mogą się przecinać : ich przecięcie jest wtedy linią prostą.

Ta dysjunkcja jest charakterystyczna dla przestrzeni trójwymiarowej. W większym wymiarze dwie płaszczyzny mogą mieć pojedynczy punkt przecięcia lub być rozłączne bez równoległości.

Kierunek można łatwo porównać z równań kartezjańskich:

Biorąc pod uwagę dwie płaszczyzny skojarzone odpowiednio z równaniami i , te dwie płaszczyzny są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe. $ax + by + cz + d = 0$ $a'x + b'y + c'z + d '= 0$ $(ABC)$ $(ABC')$

Wektory te są odpowiednio wektory normalne do płaszczyzn, w sposób ortogonalny podstawie lub kodowania w podwójnej podstawy z formy liniowej , których płaszczyzny są na poziomie powierzchni .

W prawo i samolot

Biorąc pod uwagę płaszczyznę przestrzeni, linia tej przestrzeni może być:

uwzględnione w planie;
sieczny w punkcie;
rozłączny z płaszczyzną, w tym przypadku jest ściśle równoległy do płaszczyzny.

Włączenie do przestrzeni afinicznej o większym wymiarze nie zapewnia żadnego innego względnego położenia linii i płaszczyzny.

Nieruchomości

W twierdzenie dachu , że jeśli linia jednej płaszczyźnie równolegle do linii innej płaszczyźnie siecznej do pierwszej, a następnie te są równoległe do przecięcia dwóch płaszczyzn.

Trzy płaszczyzny przecinające się dwie na dwie mają linie przecięcia, które z konieczności są wszystkie równoległe lub współbieżne.

Kąt

W euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej iloczyn skalarny umożliwia zdefiniowanie kąta między dwoma niezerowymi wektorami . Biorąc pod uwagę dwie niewspółliniowe wektorów płaszczyzny, że iloczyn pokazuje istnienie wektora prostopadłą do i (a zatem do innego wektora łączącego dwa punkty płaszczyźnie) zakwalifikowane jako wektor normalny do płaszczyzny. Ten wektor jest unikalny aż do pomnożenia przez skalar. ${\ displaystyle {\ vec {u}}, {\ vec {v}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$

Dwie przecinające się płaszczyzny wyznaczają dwuedry, których kąt zmienia się między kątem zerowym a kątem płaskim, i który odpowiada kątowi między ich wektorami normalnymi. Jeśli te wektory normalne są same w sobie ortogonalne, mówi się, że płaszczyzny są prostopadłe. Nie mówi się o nich, że są ortogonalne, ponieważ istnieją niezerowe wektory reprezentowane zarówno w jednym, jak iw drugim (na przykład wektory kierujące ich przecięciem w przypadku dwóch siecznych płaszczyzn).

Dystans

Odległość między dwiema płaszczyznami lub między płaszczyzną a linią to minimalna odległość między jednym punktem a drugim. To minimum wynosi 0, jeśli dwa zbiory mają niepuste przecięcie i jest osiągane wzdłuż segmentów prostopadłych do dwóch zestawów w przeciwnym razie.

Używa

Reprezentacja związku między dwiema zmiennymi

Plan jest wsparciem wizualnej reprezentacji i pozwala docenić związek między dwiema zmiennymi liczbowymi .

Jeśli każda wartość odpowiada pierwszej wartości tylko jedna wartość (w większości) drugiego, związek uważa się za funkcjonalne , a wykres stosunku jest reprezentatywną krzywą w funkcji .

Gdy dwie zmienne są opisane przez próbkę statystyczną , związek jest reprezentowany przez wykres punktowy .

Gdy dwie zmienne są same w sobie funkcjami trzeciej zmiennej, w szczególności zmiennej czasowej, ich związek ilustruje trajektoria, prawdopodobnie otrzymana za pomocą równania różniczkowego. W szczególności badanie relacji między ewolucją wielkości a jej pochodną w czasie daje początek przedstawieniu portretu fazowego .

Symetria

Symetria (ortogonalna) w stosunku do płaszczyzny $P$ jest transformacją geometryczną, która w dowolnym punkcie $M$ płaszczyzny wiąże unikalny punkt $M 'w$ taki sposób, że odcinek $[M M']$ jest prostopadły do płaszczyzny w jego środku .

Złożenie dwóch symetrii względem dwóch siecznych płaszczyzn jest obrotem wokół ich linii przecięcia pod kątem dwukrotnie większym niż kąt dwuścienny.

Złożenie dwóch symetrii względem dwóch równoległych płaszczyzn jest translacją wektora normalnego do dwóch płaszczyzn i normy równej dwukrotnej odległości między płaszczyznami.

Taka symetria jest charakterystyczna dla dwustronnych gatunków zwierząt .

Występ

Występ (afinicznej) w płaszczyźnie równoległej do linii prostej, $w$ siecznej do płaszczyzny, jest geometryczne transformacji, która stowarzyszone z każdym punktem $M$ pojedynczy punkt przecięcia pomiędzy płaszczyzną i równoległe do $D$ przez $M$ . Jeśli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to mówimy o rzucie ortogonalnym .

Taka projekcja idealizuje zjawisko cienia na płaszczyźnie podpory w przypadku oświetlenia w nieskończoności (co jest dobrym przybliżeniem oświetlenia Słońca). Wyrafinowany rzut na płaszczyznę rządzi również przedstawieniem z perspektywy kawalera . Jest również używany w większych wymiarach do wizualizacji chmury danych, w szczególności przy użyciu analizy głównych komponentów .

Sekcja

Płaski odcinek z figury przestrzennej jest po prostu przecięcie tej figury z płaszczyzną. Pojęcie to umożliwia wizualizację struktur matematycznych lub betonowych, jak w architekturze , fizyce, chemii i biologii, w szczególności przy użyciu skanera trójwymiarowego .

Zmiana reprezentacji

W ramach afinicznych

Aksjomaty występujące Hilberta podkreślają różne charakterystyki płaszczyzny w przestrzeni afinicznej. Jest tylko jeden plan:

zawierający trzy niewyrównane punkty;
zawierający linię i punkt nienależący do tej linii;
zawierający dwie przecinające się linie;
zawierające dwie proste, nie mylone i równoległe.

Pierwsza charakterystyka umożliwia po prostu uzyskanie każdej z poniższych i odwrotnie.

Z trzech niezrównanych punktów $A$ , $B$ , $C$ możemy zdefiniować układ współrzędnych . I odwrotnie, każdy znak referencyjny można zapisać w tej formie. ${\ displaystyle (A, {\ overrightarrow {AB}}, {\ overrightarrow {AC}})}$

Mając układ współrzędnych płaszczyzny, otrzymujemy parametryczną reprezentację kształtu . W wymiarze 3, jeśli oznaczymy , a otrzymamy równania parametryczne z . I odwrotnie, każda afiniczna reprezentacja parametryczna umożliwia znalezienie współrzędnych punktu początkowego (poprzez anulowanie parametrów) i dwóch wektorów kierunkowych (współczynniki parametrów w każdym z trzech równań). ${\ displaystyle (A, {\ vec {u}}, {\ vec {v}})}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = \ lambda {\ vec {u}} + \ mu {\ vec {v}}}$ ${\ Displaystyle A (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} = (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ begin {przypadków} x = a_ {1} + \ lambda u_ {1} + \ mu v_ {1} \\ y = a_ {2} + \ lambda u_ {2} + \ mu v_ {2} } \\ z = a_ {3} + \ lambda u_ {3} + \ mu v_ {3} \ end {cases}}}$ ${\ Displaystyle (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$

Wreszcie, z referencyjną płaszczyzny w przestrzeni i punktem rodzajowego , Związek punkcie płaszczyzny charakteryzuje się odwołania mieszanego produktu wektorów , , w którym mierzy się domyślne współplanarność. ${\ displaystyle (A, {\ vec {u}}, {\ vec {v}})}$ $M (x, y, z)$ $\ overrightarrow {AM}$ ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$

0 = [{\ vec u}, {\ vec v}, \ overrightarrow {AM}] = [{\ vec u}, {\ vec v}, \ overrightarrow {OM}] - [{\ vec u}, { \ vec v}, \ overrightarrow {OA}]

, z

[{\ vec u}, {\ vec v}, \ overrightarrow {OM}] = {\ begin {vmatrix} u_ {1} && v_ {1} && x \\ u_ {2} && v_ {2} && y \\ u_ {3} && v_ {3} && z \ end {vmatrix}} = \ underbrace {(u_ {2} v_ {3} -u_ {3} v_ {2})} _ {a} x + \ underbrace {(u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3})} _ {b} y + \ underbrace {(u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}) } _ {c} z

, I podobnie,

- [{\ vec u}, {\ vec v}, \ overrightarrow {OA}] = \ underbrace {- (aa_ {1} + ba_ {2} + ca_ {3})} _ {d}.

Te 4 odnotowane czynniki definiują następnie równanie kartezjańskie . $a, b, c, d$ $ax + by + cz + d = 0$

Z drugiej strony, z kartezjańskim równania pisemnej z nie wszystkie zera, można wybrać oczywistego roztwór (na przykład przez wybór współrzędnych związany z nie-zerowym współczynniku poprzez zrezygnowanie z dwóch innych współrzędnych i rozwiązując równanie stopnia pozostały), następnie określamy podstawę podprzestrzeni wektorowej równania w . $ax + by + cz + d = 0$ $ABC$ ${\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}$ $ax + by + cz = 0$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

W trójwymiarowej strukturze euklidesowej

Poniższe charakterystyki oparte są na pojęciach odległości i kąta (w szczególności ortogonalności ), które wywodzą się z euklidesowej struktury przestrzeni w klasycznej geometrii.

Biorąc pod uwagę punkt $A$ i niezerowy wektor istnieje unikalny płaszczyznę przechodzącą przez $A$ i prostopadła do , zwany wektor normalny . ${\ vec {n}}$ ${\ vec {n}}$

Taką charakterystykę płaszczyzny można bardzo łatwo uzyskać z układu współrzędnych płaszczyzny, używając iloczynu poprzecznego . ${\ displaystyle (A, {\ vec {u}}, {\ vec {v}})}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ vec {u}} \ wedge {\ vec {v}}}$

I odwrotnie, mając punkt i wektor normalny , łatwo znajdziemy równanie kartezjańskie . ${\ Displaystyle A (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A})}$ ${\ Displaystyle {\ vec {n}} = (a, b, c)}$ ${\ Displaystyle a (x-x_ {A}) + b (y-y_ {A}) + c (z-z_ {A}) = 0}$

Inne charakteryzacje sprowadzają się do wyboru punktu i wektora normalnego:

Biorąc pod uwagę dwa różne punkty $A$ i $B$ w przestrzeni, istnieje unikalna płaszczyzna, która jest miejscem równoodległych punktów $A$ i $B$ i nazywana jest płaszczyzną mediatora odcinka $[A B]$ .

Biorąc pod uwagę dwie rozłączne i nierównoległe proste, istnieje jedna płaszczyzna, która znajduje się w tej samej odległości od wszystkich punktów tych dwóch prostych.

Biorąc pod uwagę punkt $A$ i dwie płaszczyzny $P$ i $P ', które$ nie $są$ równoległe w przestrzeni, istnieje jedna płaszczyzna przechodząca przez $A$ i prostopadła do $P$ i $P'$ .

Geometria wektorowa

Płaszczyzna to dwuwymiarowa podprzestrzeń przestrzeni wektorowej nad polem przemiennym . Mówimy także w tym przypadku o płaszczyźnie wektorowej. $\ mathbb {K}$

Płaszczyzna jest zawsze generowana przez dwa wektory i nie jest współliniowa. W ten sposób jest wektorem płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy jest liniową kombinacją i , ze współczynnikami w . Jeśli ma skończone wymiary , można również zdefiniować płaszczyznę przez niezależne formy liniowe znoszące się na wszystkich wektorach płaszczyzny. Ta ostatnia charakterystyka jest szczególnie interesująca, jeśli chce się na przykład określić punkty przecięcia płaszczyzny i innego obiektu, na przykład krzywej lub powierzchni. $v$ $w$ $x$ $v$ $w$ $\ mathbb {K}$ $V$ $nie$ $n-2$

Podejście analityczne w wymiarze 3

W przypadku, gdy przestrzeń ma wymiar 3, wystarczy jeden kształt liniowy, aby zdefiniować płaszczyznę. Znajomość dwóch wektorów współrzędnych i ich generowanie $V$ $v$ $w$

{\ begin {pmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \\ v_ {3} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ begin {pmatrix} w_ {1} \ \ w_ {2} \\ w_ {3} \ end {pmatrix}},

warto wiedzieć, jak zrobić postać liniową, podając równanie płaszczyzny. Mieszany produkt , i ma wartość zero, wtedy i tylko wtedy, gdy należy do płaszczyzny wytwarzanego przez i . Ten mieszany produkt jest napisany $v$ $w$ $z$ $z$ $v$ $w$

[v, w, z] = (v \ times w) \ cdot z = z_ {1} (v_ {2} w_ {3} -v_ {3} w_ {2}) + z_ {2} (v_ {3 } w_ {1} -v_ {1} w_ {3}) + z_ {3} (v_ {1} w_ {2} -v_ {2} w_ {1}).

W ten sposób uzyskano pożądany liniowy kształt.

I odwrotnie, jeśli mamy postać liniową definiującą płaszczyznę, możemy łatwo znaleźć dwa wektory generujące tę płaszczyznę z formy liniowej. Koniecznie istnieje niezerowy współczynnik między i . Powiedzmy, że ten współczynnik wynosi . Następnie możemy przepisać równanie płaszczyzny w postaci $z \ mapsto a_ {1} z_ {1} + a_ {2} z_ {2} + a_ {3} z_ {3}$ $a_ {1}, a_ {2}$ $a_ {3}$ $a_ {2}$

z_ {2} = - (a_ {1} z_ {1} + a_ {3} z_ {3}) / a_ {2}.

Następnie podstawiając parę niezależnych par i otrzymujemy dwa wektory $(z_ {1}, z_ {3})$ $(1,0)$ $(0, 1)$

{\ begin {pmatrix} 1 \\ - a_ {1} / a_ {2} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ begin {pmatrix} 0 \\ - a_ {3} / a_ {2} \\ 1 \ end {pmatrix}},

które są z konieczności niezależne, ponieważ ich odpowiednie rzuty na płaszczyznę w stosunku do osi są niezależnymi wektorami. $z_ {1}, z_ {3}$ $z_2$

Uogólnienie w wyższym wymiarze

Załóżmy, że w przestrzeni o wymiarach dwa wektory i niezależne. Jak znaleźć niezależne formy liniowe podające równania płaszczyzny? Sprowadza się to do poszukiwania bazy rozwiązań układu liniowego $nie$ $v$ $w$ $n-2$

{\ begin {aligned} & \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} v_ {i} x_ {i} = 0, \\ & \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} w_ {i} x_ {i} = 0 \ end {aligned}}

Aby to zrobić, wybieramy dwa indeksy i takie, aby pary i były liniowo niezależne. Geometrycznie sprowadza się to do takiego doboru płaszczyzny współrzędnych, aby odpowiednie rzuty tej płaszczyzny i na tę płaszczyznę, równoległe do podprzestrzeni, były niezależne. Taki plan nadal istnieje, ponieważ i są niezależne. Gdy to zrobisz, przepisujemy poprzedni system w formularzu $p$ $q$ $(v_ {p}, v_ {q})$ $(w_ {p}, w_ {q})$ $v$ $w$ $\ {z: z_ {p} = z_ {q} = 0 \}$ $v$ $w$

{\ begin {aligned} v_ {p} x_ {p} + v_ {q} x_ {q} & = - \ sum _ {{i \ neq p, q}} v_ {i} x_ {i}, \\ w_ {p} x_ {p} + w_ {q} x_ {q} & = - \ sum _ {{i \ neq p, q}} w_ {i} x_ {i}. \ end {aligned}}

Rozwiązanie tego układu liniowego uzyskuje się metodami klasycznymi. Aby uzyskać podstawę przestrzeni rozwiązań, wystarczy podstawić za ciąg elementów elementy kanonicznej podstawy przestrzeni wektorowej , tj. $n-2$ $(x_ {i}) _ {{i \ neq p, q}}$ ${\ mathbb {K}} ^ {{n-2}}$

(1,0,0, \ dots, 0), (0,1,0, \ dots, 0), (0,0,1, \ dots, 0), \ dots, (0,0,0, \ kropki, 1)

Z drugiej strony, biorąc pod uwagę niezależne kształty liniowe , znajdziemy dwa niezależne wektory w płaszczyźnie wyznaczonej jako zbiór punktów, w których te liniowe kształty wzajemnie się znoszą, znajdując podstaw do zbioru rozwiązań w praktyce System.in, najlepszym sposobem na Postępowanie polega na umieszczeniu macierzy systemu w postaci schodkowej , za pomocą możliwych permutacji na kolumnach. Zgodnie z rangą , ten algorytm dostarczy zmienne, w porównaniu z którymi rozwiążemy, oraz dwie zmienne niezależne, które zostaną umieszczone w drugim elemencie. Rozdzielczość jest wtedy szybka. Należy bezwzględnie unikać formuł Cramera, aby wykryć indeksy zmiennych, w odniesieniu do których rozwiązujemy: musielibyśmy obliczyć wyznaczniki dla całkowitej liczby operacji rzędu , jeśli obliczymy wyznaczniki algorytmem Gaussa-Jordana , podczas gdy przejście w formie kroku umożliwia zakończenie dla szeregu operacji rzędu . $n-2$ $\ ell _ {j}$ $\ ell _ {1} (z) = 0, \ ell _ {2} (z) = 0, \ dots, \ ell _ {{n-2}} (z) = 0.$ $L$ $M$ $n-2$ $n-2$ $n (n-1) / 2$ $(n-2) \ times (n-2)$ $n ^ {4}$ $n ^ {3}$

Uwagi i odniesienia

Stella Baruk, „Plan” w słowniku matematyki elementarnej , Éditions du Seuil, Paryż 1995.
Geometria - historia i epistemologia, rozdział 27: opracowanie idealnych obiektów w Culturemath.ens.fr
Thomas Hausberger, „ Historyczne i epistemologiczne punkty orientacyjne w geometriach nieeuklidesowych ” , Irem de Montpellier - grupa Matematyka i filozofia,2015
Euclid, Elements , Book 1 , definicja 5
D. Henrion, Piętnaście książek o elementach geometrycznych Euklidesa: plus książka tego samego Euklidesa również przetłumaczona na język francuski przez wspomnianego Henriona i wydrukowana za jego życia , Book Premier, definicja 7 .
Adrien Marie Legendre, Elementy geometrii - pierwsza książka. Definicje 5 i 6 , 1840
Collective (reż. W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner) ( przetłumaczone pod kierunkiem Jacques-Louis Lions, profesora w College de France), Mała encyklopedia matematyki [„Kleine Enzyklopädie der Mathematik »], Paryż, Didier ,1997( 1 st ed. 1980), 896 , str. ( ISBN 978-2-278-03526-7 ) , str. 201.

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Adrien Javary , Treatise on descriptive geometry , 1881 (on Gallica ): Prosta, płaszczyzna, wielościany
Rozwiązywanie problemów arytmetycznych i płaską geometrię (arabski rękopis, XV th wieku)