Rachunek wektorowy w geometrii euklidesowej
Ten artykuł dotyczy operacji na wektorach w geometrii euklidesowej .
Wektory, które zostaną omówione w tym artykule, to wektory przestrzeni lub płaszczyzny .
R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
Jak wskazano powyżej, niektóre konstrukcje geometryczne są specyficzne dla wektorów. W przypadku tych konstrukcji geometrycznych, które mają wspólne właściwości z operacjami na liczbach (dodawanie, mnożenie), przyjmuje się podobny zapis.
Iloczyn wektora przez skalar
Termin „ skalarny ” oznacza tutaj liczbę rzeczywistą .
Iloczyn wektora przez skalar a jest wektorem oznaczonym
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
wu→{\ displaystyle a {\ vec {u}}}Ten wektor jest równy if lub if .
0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}u→=0→{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {0}}}w=0{\ displaystyle a = 0}
Jeśli nie :
- jest w tym samym kierunku, w tym samym kierunku i długościu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
w‖u→‖{\ displaystyle a \ | {\ vec {u}} \ |}, jeśli a> 0;
- ten sam kierunek, przeciwny kierunek i długość
-w‖u→‖{\ Displaystyle -a \ | {\ vec {u}} \ |}, jeśli a <0.
Mamy
1u→=u→{\ displaystyle 1 {\ vec {u}} = {\ vec {u}}}
0u→=0→{\ displaystyle 0 {\ vec {u}} = {\ vec {0}}}
w0→=0→{\ displaystyle a {\ vec {0}} = {\ vec {0}}}
1 jest więc neutralnym elementem skalarnym , a 0 absorbującym elementem skalarnym dla tej operacji. Iloczyn wektora przez skalar jest rozdzielny względem dodawania skalarów
(w+b)u→=wu→+bu→.{\ Displaystyle (a + b) {\ vec {u}} = a {\ vec {u}} + b {\ vec {u}}.}Zauważ, że dwa wektory są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy są proporcjonalne, to znaczy, jeśli istnieje liczba a taka, że lub . Uważaj, jeden z wektorów może wynosić zero!
u→=wv→{\ displaystyle {\ vec {u}} = a {\ vec {v}}}v→=wu→{\ displaystyle {\ vec {v}} = a {\ vec {u}}}
Suma dwóch wektorów
Suma dwóch wektorów i jest wektorem oznaczonym , który jest zbudowany w następujący sposób:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}u→+v→{\ displaystyle {\ vec {u}} + {\ vec {v}}}
przenosimy początek drugiego wektora na koniec pierwszego, sumą jest wektor, który łączy początek pierwszego wektora z końcem drugiego.
To jest trzeci bok trójkąta utworzonego przez dwa pierwsze wektory.
Możemy go też zbudować w inny sposób:
doprowadzamy początki dwóch wektorów do tego samego punktu, rysujemy
równoległobok, którego wektory są dwoma bokami, suma jest wtedy przekątną równoległoboku zaczynającą się od początku.
W obu przypadkach wektory są umieszczone od końca do końca; ale jeśli początek wektora odpowiada końcowi innego, używamy metody trójkąta, jeśli początki są mylone, używamy metody równoległoboku.
Jeśli mamy trzy punkty A , B i C , to mamy „ relację Chasles ”:
Wb→+bVS→=WVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {BC}} = {\ overrightarrow {AC}}}wnioskujemy z tego, że
Wb→+bW→=WW→=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {BA}} = {\ overrightarrow {AA}} = {\ vec {0}}}co umożliwia zdefiniowanie przeciwieństwa wektora, a tym samym odejmowanie: poprzez ustawienie notacji
-Wb→=-1Wb→{\ displaystyle - {\ overrightarrow {AB}} = - 1 {\ overrightarrow {AB}}}mamy
Wb→=-bW→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = - {\ overrightarrow {BA}}}Przykład dalszych obliczeń:
Wb→+bVS→+VSre→+bre→-reW→=bre→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {BC}} + {\ overrightarrow {CD}} + {\ overrightarrow {BD}} - {\ overrightarrow {DA}} = {\ overrightarrow {BD}} }
Przeciwieństwem wektora jest wektor o tym samym kierunku, tej samej długości, ale o przeciwnym kierunku.
Mamy :
u→+0→=u→{\ displaystyle {\ vec {u}} + {\ vec {0}} = {\ vec {u}}}0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}jest neutralnym elementem dodawania wektorów. Dodawanie wektorów jest przemienne
u→+v→=v→+u→{\ displaystyle {\ vec {u}} + {\ vec {v}} = {\ vec {v}} + {\ vec {u}}}Iloczyn skalara przez wektor jest dystrybucyjny względem dodawania wektorów:
w(u→+v→)=wu→+wv→{\ Displaystyle a ({\ vec {u}} + {\ vec {v}}) = a {\ vec {u}} + a {\ vec {v}}}.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
Definicja
Iloczyn skalarny wektorów i , zanotowany jest równy 0, jeśli jeden z dwóch wektorów ma wartość zero,
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}u→⋅v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}}
warto inaczej.
‖u→‖×‖v→‖×sałata(u→,v→){\ Displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | \ razy \ | {\ vec {v}} \ | \ razy \ cos ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}
sałata(v→,u→){\ displaystyle \ cos ({\ vec {v}}, {\ vec {u}})}jest równy , iloczyn skalarny nie zależy od orientacji płaszczyzny i ma sens w przestrzeni, podczas gdy kąty nie są zorientowane.
sałata(u→,v→){\ displaystyle \ cos ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}a ortogonalne oznacza to . Ocena: .
v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}u→⋅v→=0{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = 0}u→⊥v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ perp {\ vec {v}}}
Dwa wektory są ortogonalne, jeśli jeden z wektorów ma wartość zero lub „tworzą kąt prosty”. Iloczyn skalarny jest dodatni, jeśli kąt jest ostry, a ujemny, jeśli kąt jest rozwarty.
Ta operacja została wprowadzona w celu uproszczenia obliczeń na rzutach ortogonalnych. Rzeczywiście, jeśli v u jest algebraiczną miarą rzutu na prostą zorientowaną wzdłuż ( v u jest dodatnia, jeśli rzut jest w tym samym kierunku, co , ujemna, jeśli jest w przeciwnym kierunku), to mamy
v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
u→⋅v→=vu‖u→‖{\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = v_ {u} \ | {\ vec {u}} \ |}Tak więc, jeśli norma z wynosi 1, wtedy algebraiczne miarą prostopadłym rzutem na linii jest . Podobnie, jeśli u v jest algebraiczną miarą rzutu na prostą zorientowaną wzdłuż , to mamy
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}u→⋅v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}
u→⋅v→=uv‖v→‖.{\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = u_ {v} \ | {\ vec {v}} \ |.}
Nieruchomości
u→⋅v→=v→⋅u→{\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {u}}}u→⋅(v→+w→)=u→⋅v→+u→⋅w→{\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot ({\ vec {v}} + {\ vec {w}}) = {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} + {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {w}}}u→⋅0→=0→⋅u→=0{\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {0}} = {\ vec {0}} \ cdot {\ vec {u}} = 0}-
u→⋅u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}}}nazywa się skalarnym kwadratem wektorau→{\ displaystyle {\ vec {u}}} i jest oznaczane przez 2 ; w ten sposób: 2 =u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}u→⋅u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}}}
- Kwadrat skalarny wektora jest równy kwadratowi jego normy:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}2 = 2, a zatem =
‖u→‖{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ |}u→2{\ displaystyle {\ sqrt {{\ vec {u}} ^ {2}}}}‖u→‖{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ |}
- W płaszczyźnie związanej z bazą ortonormalną (ja→,jot→){\ Displaystyle \ lewo ({\ vec {i}}, {\ vec {j}} \ prawej)}
u→⋅v→=uxvx+uyvy{\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = u_ {x} v_ {x} + u_ {y} v_ {y}}
Demonstracja
Niech i być dwa wektory w ortonormalne oparciu o odpowiednich współrzędnych biegunowych i . Mamy :
u→(ux;uy){\ displaystyle {\ vec {u}} (u_ {x}; u_ {y})}v→(vx;vy){\ displaystyle {\ vec {v}} (v_ {x}; v_ {y})} (ja→,jot→){\ Displaystyle \ lewo ({\ vec {i}}, {\ vec {j}} \ prawej)}(r;θ){\ Displaystyle \ lewo (r; \ theta \ prawej)}(r′;θ′){\ Displaystyle \ lewo (r '; \ theta' \ prawej)}
u→⋅v→=‖u→‖.‖v→‖.sałata(u→,v→){\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {vec}} = \ | {\ vec {u}} \ |. \ | {\ vec {v}} \ |. \ cos ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}
u→⋅v→=r.r′.sałata(θ′-θ){\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = r.r '. \ cos (\ theta' - \ theta)}
u→⋅v→=r.r′.(sałata(θ).sałata(θ′)+grzech(θ).grzech(θ′)){\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = rr '. (\ cos (\ theta). \ cos (\ theta') + \ sin (\ theta). \ sin (\ theta '))}
u→⋅v→=(r.sałata(θ)).(r′.sałata(θ′))+(r.grzech(θ)).(r′.grzech(θ′)){\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = (r. \ cos (\ teta)). (r '. \ cos (\ teta')) + (r. \ sin ( \ theta)). (r '. \ sin (\ theta'))}
u→⋅v→=ux.vx+uy.vy{\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = u_ {x}. v_ {x} + u_ {y} .v_ {y}}
- W przestrzeni związanej z bazą ortonormalną (ja→,jot→,k→){\ Displaystyle \ lewo ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}} \ prawej)}
u→⋅v→=uxvx+uyvy+uzvz.{\ Displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}} = u_ {x} v_ {x} + u_ {y} v_ {y} + u_ {z} v_ {z}.}
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów w przestrzeni
Dwa wektory, które nie są współliniowe i definiują płaszczyznę wektorów; trzeci wektor jest współpłaszczyznowy z dwoma poprzednimi wtedy i tylko wtedy, gdy można go zapisać jako liniową kombinację dwóch pierwszych, tj. jeśli istnieją dwie liczby rzeczywiste a i b takie, że
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
w→=wu→+bv→.{\ displaystyle {\ vec {w}} = a {\ vec {u}} + b {\ vec {v}}.}Trzy wektory nie współpłaszczyznowe tworzą podstawę . Mówi się, że podstawa jest bezpośrednia, jeśli możemy ją wyobrazić sobie prawą ręką,
która jest kciukiem, palcem wskazującym i środkowym.
(u→,v→,w→){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}})}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
Definiujemy iloczyn poprzeczny dwóch wektorów i zaznaczamy , że jest to wektor:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}u→∧v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ wedge {\ vec {v}}}
- normalna do płaszczyzny wektora podstawowego ;(u→,v→){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}
- którego standard jest ważny ;‖u→‖‖v→‖|grzech(u→,v→^)|{\ Displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ || \ sin ({\ widehat {{{\ vec {u}}, {\ vec {v}}} }) |}
- takie jak tworzy bezpośrednią podstawę.(u→,v→,(u→∧v→)){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}}, ({\ vec {u}} \ wedge {\ vec {v}}))}
Rozszerzamy poprzednią definicję na przypadek, w którym i są współliniowe, stawiając:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}
u→∧v→=0→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ wedge {\ vec {v}} = {\ vec {0}}}Produkt mieszany
Definicja i właściwości
Biorąc pod uwagę trzy wektory , a iloczyn mieszany tych trzech wektorów nazywamy ilością:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \,}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}} \,}w→{\ displaystyle {\ vec {w}} \,}
[u→,v→,w→]=(u→∧v→)⋅w→{\ Displaystyle \ lewo [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ prawej] = ({\ vec {u}} \ klin {\ vec {v}} ) \ cdot {\ vec {w}}}.
Możemy pokazać, że mamy niezmienność przez dowolną permutację kołową wektorów i antysymetrię produktu zmieszanego przez dowolną permutację nieokrągłą:
u→,v→,w→{\ displaystyle {\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}}}
[u→,v→,w→]=[v→,w→,u→]=[w→,u→,v→],{\ Displaystyle \ lewo [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ prawej] = \ lewo [{\ vec {v}}, {\ vec {w} }, {\ vec {u}} \ right] = \ left [{\ vec {w}}, {\ vec {u}}, {\ vec {v}} \ right],}i
[u→,v→,w→]=-[v→,u→,w→],{\ Displaystyle \ lewo [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ prawej] = - \ lewo [{\ vec {v}}, {\ vec {u }}, {\ vec {w}} \ right],} [u→,v→,w→]=-[u→,w→,v→],{\ Displaystyle \ lewo [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ prawej] = - \ lewo [{\ vec {u}}, {\ vec {w }}, {\ vec {v}} \ right],}
i również :
[u→,v→,w→]=|uxuyuzvxvyvzwxwywz|{\ displaystyle \ left [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ right] = {\ rozpocząć {vmatrix} u_ {x} & u_ {y} i u_ {z} \\ v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} \\ w_ {x} & w_ {y} & w_ {z} \ end {vmatrix}}}
innymi słowy :
[u→,v→,w→]=(uxvywz+vxwyuz+wxuyvz)-(uzvywx+vxwzuy+wyuxvz){\ Displaystyle \ lewo [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ prawej] = (u_ {x} v_ {y} w_ {z} + v_ {x } w_ {y} u_ {z} + w_ {x} u_ {y} v_ {z}) - (u_ {z} v_ {y} w_ {x} + v_ {x} w_ {z} u_ {y} + w_ {y} u_ {x} v_ {z}) \,}
Uwagi:
- Jeśli dwa z trzech wektorów są równe lub współliniowe, produkt mieszany wynosi zero.
Nakładanie wymieszanego produktu
- Jeśli wektory , i ma to samo źródło, wartość bezwzględna wymieszanego produktu jest równa objętości części równoległościanu zbudowany w , i lub nawet sześć razy objętość Tetrahedron zbudowany na tych samych wektorach.u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \,}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}} \,}w→{\ displaystyle {\ vec {w}} \,}[u→,v→,w→]{\ Displaystyle \ lewo [{\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}} \ w prawo] \,}u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \,}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}} \,}w→{\ displaystyle {\ vec {w}} \,}
Możemy połączyć trzy wektory , i przez dwa kolejne produkty wektorowych. Jest to iloczyn podwójnego krzyża.
u→{\ displaystyle {\ vec {u}} \,}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}} \,}w→{\ displaystyle {\ vec {w}} \,}
Przykład: u→∧(v→∧w→){\ displaystyle {\ vec {u}} \ wedge \ left ({\ vec {v}} \ wedge {\ vec {w}} \ po prawej)}
Ponieważ iloczyn krzyżowy nie jest ani asocjacyjny, ani przemienny, konieczne jest użycie tutaj nawiasów, a wynik będzie zależał zarówno od kolejności wykonywania operacji, jak i kolejności prezentacji trzech wektorów.
Istnieje wiele demonstracji następujących dwóch formuł:
u→∧(v→∧w→)=(u→⋅w→) v→ - (u→⋅v→) w→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ wedge \ left ({\ vec {v}} \ wedge {\ vec {w}} \ right) = ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {w }}) \ {\ vec {v}} \ - \ ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) \ {\ vec {w}}}i
(u→∧v→)∧w→=(u→⋅w→) v→ - (v→⋅w→) u→{\ displaystyle \ left ({\ vec {u}} \ wedge {\ vec {vec} \ right) \ wedge {\ vec {w}} = ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {w} }) \ {\ vec {v}} \ - \ ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {w}}) \ {\ vec {u}}}Mnemoniczny: iloczyn podwójny jest koniecznie przenoszony przez wektory w nawiasach (ponieważ jeśli te ostatnie są niezależne, płaszczyzna, którą generują, jest ortogonalną ich iloczynu krzyżowego, a iloczyn podwójny należy do tego ortogonalnego). Wtedy wystarczy pamiętać, że składnik na każdym z dwóch wektorów jest iloczynem skalarnym pozostałych dwóch, któremu przypisano znak „ ” lub „ ”, i że „ ” jest przenoszony przez wektor znajdujący się w środku podwójnego wektora iloczyn (w dwóch powyższych wzorach jest to wektor ).
+{\ displaystyle +}-{\ displaystyle -}+{\ displaystyle +}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">