Zmienna (matematyka)
W wyższej matematyki i logiki , o zmiennej to symbol reprezentujący a priori nieokreślony przedmiot. Możesz jednak dodać warunki do tego obiektu, takie jak zestaw lub zawierająca go kolekcja . Następnie możemy użyć zmiennej, aby zaznaczyć rolę w predykacie , wzorze lub algorytmie lub rozwiązać równania i inne problemy. Może to być prosta wartość lub obiekt matematyczny, taki jak wektor , macierz lub nawet funkcja . W wielomian , z racjonalnym frakcji lub formalnego serii zmienna jest zastąpiony przez nieokreślony uściślenia X .
Zwyczajowo używa się określonego typu symbolu dla przedmiotu, który chce się przedstawić, na przykład liter od i do n dla indeksów , liter na końcu alfabetu dla wektorów lub dobrze ε dla ściśle pozytywnego prawdziwym celem jest raczej w kierunku 0.
Intuicyjne pojęcie zmiennej
Aby obliczyć długość i szerokość zbiornika, którego objętość, wysokość i różnica między długością i szerokością są znane, możemy na przykładzie opisać metodę obliczeń (algorytm na liczbach i operacjach na nich), a następnie odtworzyć kilka przykładów, aby w pełni opisać metoda. Jest to metoda przyjęta w starożytności przez matematykę babilońską .
Zamiast danych i wyników, które zmieniają się w każdym przykładzie, możesz zdecydować o zastąpieniu wartości fikcyjnych - zwanych zmiennymi - symbolami. Zmienna zatem składniowym jednostka , która pojawia się na ekspresji i może być zastąpiony przez wartość, na przykład, przez liczbę.
W przykładzie podanym przez matematykę babilońską , jeśli V jest objętością, h jest wysokością, a d jest różnicą między długością L a szerokością l , mamy
L=(re2)2+Vgodz+re2l=(re2)2+Vgodz-re2{\ Displaystyle L = {\ sqrt {\ lewo ({\ Frac {d} {2}} \ prawej) ^ {2} + {\ Frac {V} {h}}}} + {\ Frac {d} { 2}} \ qquad \ qquad l = {\ sqrt {\ left ({\ frac {d} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {V} {h}}}} - {\ frac {d} {2}}}Zastępując zmienne d przez 6, V przez 14 i h przez 2, otrzymujemy następujące wyniki:
L=(62)2+142+62l=(62)2+142-62{\ Displaystyle L = {\ sqrt {\ lewo ({\ Frac {6} {2}} \ prawej) ^ {2} + {\ Frac {14} {2}}}} + {\ Frac {6} { 2}} \ qquad \ qquad l = {\ sqrt {\ left ({\ frac {6} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {14} {2}}}} - {\ frac {6} {2}}}czyli L = 7 (długość to 7) i l = 1 (szerokość to 1).
Zmienna funkcji
Niech E i F będą dwoma zbiorami. Niech będzie funkcją zdefiniowaną przez:
fa{\ displaystyle f}
fa:mi⟶fax⟼fa(x).{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} f: & E & \ longrightarrow & F \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ koniec {macierz}}.}
x nazywamy zmienną wyrażenia f ( x ).
Przykłady
- Dla funkcji określonej przez:fa{\ displaystyle f}
fa:R⟶Rx⟼3x+2{\ Displaystyle {\ rozpocząć {matrix} f: & \ mathbb {R} i \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto i 3x + 2 \ koniec {matrix}}}
x nazywamy zmienną funkcji f ( x ).
- Albo . Dla funkcji g zdefiniowanej przez:x=(x1;...;xnie)∈Rnie{\ Displaystyle x = (x_ {1}; ...; x_ {n}) \ w \ mathbb {R} ^ {n}}
sol:Rnie⟶Rx⟼∑ja=1niexja2{\ Displaystyle {\ rozpocząć {matrix} g: i \ mathbb {R} ^ {n} i \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}} \ end {matrix}}}
x jest zmienną g ( x ). Można również powiedzieć, że każdy element x I z X jest zmienną g ( x ). Zgodnie z punktami widzenia, albo g ( x ) ma zmienną, która jest zatem x o wymiarze n , albo g jest funkcją n zmiennych o wymiarze 1.
Wolna zmienna i zmienna połączona
W matematyce mówi się o zmiennej:
-
wolny, jeśli można go zastąpić nazwą obiektu należącego do danego zestawu; zatem w otwartej formule „4 x 2 + x - 3 = 0” litera „ x ” jest zmienną wolną; jeśli x jest zastąpiony przez stałą a wyrażenie „4 2 + - 3 = 0” jest zamknięty stwierdzenie czy propozycja ;
-
połączone lub ciche, gdy wchodzi w pole operatora, więc jego rola jest tylko opisowa. Tak jest odpowiednio z x , k , i i t w następujących zdaniach:
∀x∈NIEx+1>0;∑k=1bk=b(b+1)2;∏ja=110ja=3628800;π=∫0∞21+t2ret{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {N} \ quad x + 1> 0 \ quad; \ quad \ sum _ {k = 1} ^ {b} k = {\ frac {b (b + 1)} {2}} \ quad; \ quad \ prod _ {i = 1} ^ {10} i = 3628800 \ quad; \ quad \ pi = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {2} { 1 + t ^ {2}}} \, dt \,}.
Mówimy, że operatory, odpowiednio ∀ , ∑ , ∏ i ∫ , łączą te zmienne: są znakami mutującymi .
Przykłady
Przykład 1
Zmienne połączone uniwersalnym kwantyfikatorem ∀ tłumaczą uniwersalność właściwości, to znaczy fakt, że właściwość tę spełniają wszystkie obiekty z określonej dziedziny.
Na przykład to zauważamy
(1+0)2≥1{\ Displaystyle (1 + 0) ^ {2} \ geq 1}
(1+1)2≥1+2×1{\ Displaystyle (1 + 1) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ razy 1}
(1+(-0,5))2≥1+2×(-0,5){\ Displaystyle (1 + (- 0,5)) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ razy (-0,5)}
Wtedy możemy przypuszczać, że:
dla dowolnej liczby ,
x∈R{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}(1+x)2≥1+2×x{\ Displaystyle (1 + x) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ razy x}
Jeśli rozumowanie zostanie udowodnione, że stwierdzenie to zostanie udowodnione, będzie można go użyć do dowolnej liczby. Aby udowodnić to twierdzenie, wystarczy rozważyć zmienną reprezentującą dowolną liczbę rzeczywistą i rozwinąć:
x{\ displaystyle x}
(1+x)2=1+2×x+x2{\ Displaystyle (1 + x) ^ {2} = 1 + 2 \ razy x + x ^ {2} \,}Z drugiej strony wiemy, że każda liczba rzeczywista do kwadratu jest zatem dodatnia . Co więcej, po dodaniu po każdej stronie tej ostatniej nierówności powstaje
x2≥0{\ Displaystyle x ^ {2} \ geq 0}1+2×x{\ displaystyle 1 + 2 \ razy x}
1+2×x+x2≥1+2×x{\ Displaystyle 1 + 2 \ razy x + x ^ {2} \ geq 1 + 2 \ razy x}w związku z tym
(1+x)2≥1+2×x{\ Displaystyle (1 + x) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ razy x}.
Właściwość jest zatem uniwersalna.
Zmienne połączone egzystencjalnym kwantyfikatorem ∃ tłumaczą istnienie obiektów weryfikujących pewną właściwość.
Na przykład następujące twierdzenie:
dwie nierównoległe linie płaszczyzny przecinają się w punkcie ,
twierdzi, że istnieje punkt należący do dwóch nierównoległych prostych, bez podawania go za pomocą wzoru.
Jako część dowodu, zaczynając od dwóch nierównoległych prostych, możemy użyć twierdzenia i stwierdzić, że istnieje punkt wspólny dla tych dwóch prostych. W rzeczywistości jest to zmienna reprezentująca ten punkt i ta definicja zmiennej pozwoli nam pracować z tym punktem.
M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}
Przykład 2
Niech i , poniższe stwierdzenia oznaczają dokładnie to samo:
fa:R⟶R{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}}x∈R{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}
ja)∀ϵ>0,∃η>0,∀y∈R,|x-y|<η⟹|fa(x)-fa(y)|<ϵ{\ Displaystyle i) \, \ forall \ epsilon> 0, \ istnieje \ eta> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | xy | <\ eta \ Longrightarrow | f (x) -f (y) | <\ epsilon}
jaja)∀ϵ>0,∃α>0,∀y∈R,|x-y|<α⟹|fa(x)-fa(y)|<ϵ{\ Displaystyle ii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ istnieje \ alpha> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | xy | <\ alpha \ Longrightarrow | f (x) -f (y) | <\ epsilon}
jajaja)∀ϵ>0,∃α>0,∀♠∈R,|x-♠|<α⟹|fa(x)-fa(♠)|<ϵ{\ Displaystyle iii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ istnieje \ alfa> 0, \ forall \ spadesuit \ w \ mathbb {R}, | x- \ spadesuit | <\ alfa \ Longrightarrow | f (x) - f (\ spadesuit) | <\ epsilon}
jav)∀y>0,∃ϵ>0,∀α∈R,|x-α|<ϵ⟹|fa(x)-fa(α)|<y{\ Displaystyle IV) \, \ forall y> 0, \ istnieje \ epsilon> 0 \ forall \ alpha \ in \ mathbb {R}, | x- \ alpha | <\ epsilon \ Longrightarrow | f (x) -f (\ alpha) | <y}
v)famistvsonietjanieumiminiex{\ Displaystyle v) \, f \, jest \, kontynuuj \, w \, x}
W tym przypadku zmienne są ze sobą powiązane, w tym przypadku jest to bardzo zauważalne, ponieważ zestawienie jest podsumowywane bez ich użycia.
ϵ,η,α,y,♠{\ displaystyle \ epsilon, \, \ eta, \, \ alpha, \, y, \, \ spadesuit}
W całym tym przykładzie i są zmiennymi wolnymi, rzeczywiście, wszystko to jest równoważne z:
fa{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}
Niech i , poniższe stwierdzenia oznaczają dokładnie to samo:
sol:R⟶R{\ Displaystyle g: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}}z∈R{\ displaystyle z \ in \ mathbb {R}}
ja)∀ϵ>0,∃η>0,∀y∈R,|z-y|<η⟹|sol(z)-sol(y)|<ϵ{\ Displaystyle i) \, \ forall \ epsilon> 0, \ istnieje \ eta> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | zy | <\ eta \ Longrightarrow | g (z) -g (y) | <\ epsilon}
jaja)∀ϵ>0,∃α>0,∀y∈R,|z-y|<α⟹|sol(z)-sol(y)|<ϵ{\ Displaystyle ii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ istnieje \ alpha> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | zy | <\ alpha \ Longrightarrow | g (z) -g (y) | <\ epsilon}
jajaja)∀ϵ>0,∃α>0,∀♠∈R,|z-♠|<α⟹|sol(z)-sol(♠)|<ϵ{\ Displaystyle III) \, \ forall \ epsilon> 0, \ istnieje \ alfa> 0, \ forall \ spadesuit \ w \ mathbb {R}, | z- \ spadesuit | <\ alfa \ Longrightarrow | g (z) - g (\ spadesuit) | <\ epsilon}
jav)∀y>0,∃ϵ>0,∀α∈R,|z-α|<ϵ⟹|sol(z)-sol(α)|<y{\ Displaystyle IV) \, \ forall y> 0, \ istnieje \ epsilon> 0, \ forall \ alpha \ in \ mathbb {R}, | z- \ alpha | <\ epsilon \ Longrightarrow | g (z) -g (\ alpha) | <y}
v)solmistvsonietjanieumiminiez{\ Displaystyle v) \, g \, jest \, kontynuuj \, w \, z}
A jeśli na przykład postawi się i , poprzednie zdania staną się zdaniami, które w tym przypadku są prawdziwe.
fa=exp{\ displaystyle f = \ exp}x=0{\ displaystyle x = 0}
Zmienne matematyczne i zmienne komputerowe
W imperatywnych językach programowania to, co informatycy nazywają zmiennymi, jest wzorcem wartości, które ewoluują w czasie, mówimy również o odniesieniach . Jest to więc raczej identyfikacja miejsc w pamięci. Jeśli zmienna komputerowa nie została zainicjowana, jej wartość jest nieokreślona. Kiedy używać w tym samym kontekście pojęcia zmiennej matematycznej i pojęcia zmiennych danych, jak ma to miejsce w semantyce języków programowania , zmienna komputerowa zwana „lokalizacją” („ rent ” w języku angielskim).
W językach funkcyjnych, dzięki referencyjnej przejrzystości , zmienne programu są zmiennymi matematycznymi.
Historia
W jego zwodniczy logistyki , François Viète toruje drogę do formalizmu przy użyciu liter do reprezentowania tych podmiotów stosowanych w matematycznego problemu. Często używamy litery x dla zmiennej. Pochodzi od greckiej litery khi, przekształcenia arabskiego chay ' (شيء), oznaczającego „rzecz”.
Matematyka bez zmiennych
Matematyk Moses Schönfinkel wpadł na pomysł, że matematykę można oprzeć na logice bez zmiennych. Stworzył w tym celu formalny system zwany logiką kombinatoryczną . System ten został przejęty i ukończony przez Haskella Curry'ego . Taki system nie ma komplikacji związanych z podstawieniem , ale traci na czytelności. Korzystając z obliczenia relacji, Tarski i Givant zdefiniowali również matematykę bez zmiennych. Indeksy De Bruijn to kolejny sposób na obejście się bez zmiennych.
Uwagi i odniesienia
-
W naukach ścisłych wielkość jest powiązana ze zmienną; tak więc czas jest bardzo często kojarzony i pozycjonowany w przestrzeni z trypletem .t{\ displaystyle t}(x,y,z){\ Displaystyle (x, y, z)}
-
Wyciąg z tabletu BM85200 i VAT6599. Ten tablet jest badany z algorytmicznego punktu widzenia w artykule Donalda E. Knutha : Ancient Babylonian Algorithms . Wspólny. ACM 15 (7): 671-677 (1972), reprodukowane w jego książce Selected Papers on Computer Science (Stanford, California: Center for the Study of Language and Information, 1996) oraz we francuskiej wersji książki Elements for a historia informatyki (tłum. P. Cégielski) pod tytułem Algorithmes babyloniens anciens s. 1-20.
-
To znaczy, który zawiera wolne zmienne.
-
To stwierdzenie może zmylić czytelnika przyzwyczajonego do zwykłej formalnej definicji ciągłości, ponieważ zmienne nie są używane zgodnie z tradycyjnym użyciem. Chociaż nie jest to zalecane, pokazuje, że zmienne powiązane można dowolnie zmieniać bez zmiany ogólnego znaczenia zdania.jav{\ displaystyle iv}
-
„ Logic - Pocket ” , w Editions Le Pommier ,17 maja 2016 r(dostępny 1 st lipca 2019 ) , s. 16
-
Moses Schönfinkel, Uber die Bausteine der mathematischen Logik , Annals of Mathematics , 92, 1924, s. 305-316 . Trad. G. Vandevelde, O elementach składowych logiki matematycznej . Analiza i przypis Jean-Pierre Ginisti , Mathematics, IT and Human Sciences (MISH), 112, zima 1990, s. 5-26 . Konferencja w Getyndze w 1920 roku.
-
W licznych tekstach od An analysis of logical substitution , The American Journal of Mathematics, 51, 1929, s. 363-384 . Literatura: Haskell Brooks Curry et al. , Combinatory logic 1 , 1958 and Combinatory logic 2 , 1972, wyd. North Holland. Zobacz także Logika matematyczna bez zmiennych Johna Barkleya Rossera, Univ. Diss. Princeton, NJ 1934, s. 127-150 , 328-355.
-
Alfred Tarski & Givant, Steven, 1987. 2004, „Formalizacja teorii mnogości bez zmiennych” Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.
Zobacz też
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">