Hipoteza Riemanna

W matematyce The hipoteza Riemanna to przypuszczenie formułowane w 1859 przez niemieckiego matematyka Bernhard Riemann , zgodnie z którym nie trywialne zer z funkcją zeta Riemanna wszystkie mają część rzeczywistą równym 1/2. Jej demonstracja poprawiłaby wiedzę o rozkładzie liczb pierwszych i otworzyłaby nowe dziedziny matematyki .

Ta hipoteza jest jedną z nierozwiązanych kwestii najważniejsza matematyczny wcześnie XXI th wieku, jest jednym z dwudziestu trzech znanych problemów Hilberta zaproponowanych w 1900 roku, jeden z siedmiu problemów cenie tysiąclecia i jeden z osiemnastu problemy Smale . Podobnie jak w przypadku pozostałych sześciu problemów milenijnych, dokładnemu stwierdzeniu przypuszczenia, które należy wykazać, towarzyszy szczegółowy opis, zawierający obszerne informacje o historii problemu, jego znaczeniu i stanie prac nad nim; wiele nieformalnych uwag na tej stronie pochodzi z niej.

Funkcja zeta Riemanna

Funkcja zeta Riemanna jest zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych s części rzeczywistej ściśle większych niż 1 o $\ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s} = \ frac {1} {1 ^ s} + \ frac {1} {2 ^ s} + \ frac {1} {3 ^ s} + \ cdots. \!$

Leonhard Euler wprowadza go (nie nadając mu nazwy) tylko dla rzeczywistych wartości argumentu (ale także dla ), w związku między innymi z rozwiązaniem problemu bazylejskiego . Pokazuje, że jest on podany przez produkt Eulera $s = 1$ ${\ Displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p {\ tekst {pierwsza}}} {\ Frac {1} {1-p ^ {- s}}}} = {\ Frac {1} {1-2 ^ {- s}}} \ cdot {\ frac {1} {1-3 ^ {- s}}} \ cdot {\ frac {1} {1-5 ^ {- s}}} \ cdot {\ frac {1} {1-7 ^ {- s}}} \ cdot {\ frac {1} {1-11 ^ {- s}}} \ cdots}$ gdzie iloczyn nieskończony odnosi się do wszystkich liczb pierwszych p , ale niekoniecznie jest zbieżny: w istocie w Twierdzeniu 7 swojego artykułu Euler daje dowód tego wzoru na przypadek (zauważając to ) i ustala go ogólnie w swoim Twierdzeniu 8. To właśnie ten wynik wyjaśnia zainteresowanie funkcji zeta w badaniu rozkładu liczb pierwszych (Euler wnioskuje na przykład z przypadku , w Twierdzeniu 19 tego samego artykułu, że ciąg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny) . Wynik pozostaje oczywiście ważny, gdy argument jest złożony. $s = 1$ ${\ Displaystyle \ zeta (1) = \ log \ infty}$ $s = 1$ $s$

Hipoteza Riemanna dotyczy zer tej funkcji poza domeną konwergencji, którą właśnie widzieliśmy, co może wydawać się nie mieć znaczenia. Wyjaśnienie leży w pojęciu rozszerzenia analitycznego : możemy wykazać, że istnieje unikalna funkcja holomorficzna zdefiniowana dla dowolnego kompleksu (innego niż 1, gdzie ma on prosty biegun ) i pokrywająca się z zeta dla wartości, dla których ta ostatnia jest zdefiniowana .; nadal oznaczamy $ζ ($ $s$ $)$ tę nową funkcję.

Jedna z technik budowania tego rozszerzenia jest następująca.

Przede wszystkim łatwo jest sprawdzić, czy dla s części rzeczywistej> 1 mamy: $\ left (1- \ frac {2} {2 ^ s} \ right) \ zeta (s) = \ eta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n +1}} {n ^ s} = \ frac {1} {1 ^ s} - \ frac {1} {2 ^ s} + \ frac {1} {3 ^ s} - \ cdots \;$ teraz szereg po prawej stronie (zwany funkcją Dirichlet eta ) zbiega się dla wszystkich s ze ściśle dodatnią częścią rzeczywistą. W ten sposób rozciągamy $ζ$ na wszystkie s ≠ 1 części rzeczywistej> 0 (nawet te o postaci $1 + 2i k π / ln (2)$ z k niezerową liczbą całkowitą, ponieważ pokazujemy, że w tych punktach funkcja ma skończoną limit).
My wtedy pokazać, dla wszystkich s realnego części ściśle pomiędzy 0 a 1, tożsamość funkcjonalna $\ zeta (s) = 2 ^ s \ pi ^ {s-1} \ \ sin \ left (\ frac {\ pi s} {2} \ right) \ \ Gamma (1-s) \ \ zeta (1- s) \!,$ gdzie $Γ$ jest funkcją Gamma Eulera. Następnie staje się możliwe użycie tego wzoru do zdefiniowania zeta dla wszystkich s ujemnej części rzeczywistej (przy $ζ (0) = -1/2$ po przekroczeniu granicy).

Wnioskujemy, że ściśle ujemne parzyste liczby całkowite są zerami zer (zwanymi zerami trywialnymi ) i że nietrywialne zera są symetryczne względem osi Re ( s ) = 1/2 i wszystkie mają część rzeczywistą zawartą w sens, od 0 do 1; ten region płaszczyzny zespolonej nazywany jest pasmem krytycznym .

Ponadto na osi Re ( s ) = 1 nie ma zera (wynik ten jest równoważny twierdzeniu o liczbach pierwszych , patrz sekcja historyczna poniżej). Nagle hipotezę Riemanna można przeformułować w następujący sposób: jeśli 0 <Re ( s ) <1 i jeśli s jest zerem $ζ$ (lub, co oznacza to samo, z $η$ ), to jej część rzeczywista jest równa 1 / 2.

Historia przypuszczenia

„ […] Es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre Allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. "

„[…] Jest bardzo prawdopodobne, że wszystkie korzenie są prawdziwe. Oczywiście pożądana byłaby rygorystyczna demonstracja; na chwilę obecną, po kilku niejasnych nieudanych próbach, chwilowo odłożyłem na bok poszukiwanie dowodów, ponieważ wydaje się to zbędne dla następnego celu moich śledztw. "

- stwierdzenie hipotezy Riemanna w artykule z 1859 roku; Riemann mówi tam o funkcji uzyskanej z zeta, której wszystkie korzenie powinny być rzeczywiste, a nie na linii krytycznej.

Riemann wspomniał o przypuszczeniu, nazwanym później „hipotezą Riemanna”, w swoim artykule z 1859 r. O liczbie liczb pierwszych mniejszych niż określony rozmiar ( Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse w języku niemieckim), w którym podał wyraźną formułę dla liczby liczb pierwszych π ( x ) mniejszych niż podana liczba x .

Szczegółowe omówienie formuły Riemanna

Formuła otrzymana przez Riemanna wykorzystuje powiązaną funkcję $\ Pi (x) = \ pi (x) + \ frac {1} {2} \ pi (x ^ {1/2}) + \ frac {1} {3} \ pi (x ^ {1/3} ) + \ cdots$ który zlicza liczby pierwsze poprzez dodanie potęg p n liczonych jako 1 / n liczby pierwszej. π ( x ) można następnie wywnioskować z tej funkcji za pomocą $\ pi (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ mu (n)} {n} \ Pi (x ^ {1 / n}) = \ Pi (x) - \ frac {1} {2} \ Pi (x ^ {1/2}) - \ frac {1} {3} \ Pi (x ^ {1/3}) - \ cdots,$ gdzie μ jest funkcją Möbiusa . Formuła staje się wtedy $\ Pi_0 (x) = \ nazwa operatora {Li} (x) - \ sum_ \ rho \ nazwa operatora {Li} (x ^ \ rho) - \ log (2) + \ int_x ^ \ infty \ frac {dt} {t ( t ^ 2-1) \ log (t)}$ gdzie suma jest przejmowana przez nietrywialne zera ρ funkcji zeta i gdzie $\ Pi_0 (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ frac {\ Pi (x- \ varepsilon) + \ Pi (x + \ varepsilon)} 2$

Suma nie jest całkowicie zbieżna , ale należy ją obliczyć, biorąc zera w rosnącym porządku ich części urojonych. Funkcja Li pierwszego członu jest logarytmiczną funkcją całkową określoną przez wartość główną Cauchy'ego całki rozbieżnej $\ nazwa operatora {Li} (x) = \ int_0 ^ x \ frac {dt} {\ log (t)}.$

Wyrażenia Li ( x ρ ) odpowiadające zerom zeta wymagają pewnej uwagi w ich definicji, ponieważ funkcja Li ma rozgałęzienia w punktach 0 i 1; są one zdefiniowane (dla x > 1) przez analityczne rozszerzenie zmiennej zespolonej ρ w regionie Re (ρ)> 0, innymi słowy, musimy uznać je za równe Ei (ρ ln x), gdzie Ei jest całka wykładnicza ). Inne wyrazy również odpowiadają zerom: dominujący wyraz Li ( x ) pochodzi z bieguna o s = 1, uważanego za zero krotności −1, a inne małe wyrazy pochodzą od trywialnych zer.

Ta formuła zapewnia, że zera funkcji zeta kontrolują oscylacje liczb pierwszych wokół ich „oczekiwanej” pozycji. Riemann wiedział, że nietrywialne zera zeta są symetrycznie rozmieszczone wokół osi s = ½ + it , a także, że wszystkie muszą znajdować się w paśmie krytycznym 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1. Sprawdził, czy pierwsze zera mają dla części rzeczywistej dokładnie 1/2 (ten punkt zostanie omówiony poniżej; jest to rzeczywiście demonstracja, a nie przybliżone obliczenia numeryczne) i zasugerował, że mogą one być wszystkie na osi symetrii ( linia krytyczna ) Re ( s ) = 1/2; to właśnie ta hipoteza nazywa się hipotezą Riemanna.

W 1896 roku Hadamard i La Vallée-Poussin niezależnie udowodnili, że żadne zero nie może leżeć na linii Re ( s ) = 1, a zatem wszystkie nietrywialne zera muszą znajdować się w krytycznym paśmie 0 <Re ( s ) <1. To okazał się kluczowym wynikiem w pierwszym kompletnym dowodzie twierdzenia o liczbach pierwszych .

W 1900 Hilbert zawarte hipotezy Riemanna w swoim słynnym liście 23 nierozwiązanych problemów : to 8 th problem. Podobno powiedział o niej: „Gdybym miał się obudzić po spaniu przez tysiąc lat, moje pierwsze pytanie brzmiałoby: czy hipoteza Riemanna została udowodniona?”. ”.

W 1914 roku Hardy udowodnił, że na krytycznej linii Re (s) = 1/2 istnieje nieskończona liczba zer. Jednak jest możliwe, że gdzie indziej istnieje nieskończona ilość nietrywialnych zer. W kolejnej pracy Hardy'ego i Littlewooda w 1921 r., A następnie Selberga w 1942 r. Oszacowano średnią gęstość zer na linii krytycznej.

Nowsze prace skupiły się na wyraźnym obliczeniu miejsc, w których jest dużo zer (w nadziei na znalezienie kontrprzykładu) i ustaleniu górnych granic proporcji zer leżących gdzie indziej niż po prawej stronie. Krytyczne (mając nadzieję na zredukowanie go do zera) .

Hipoteza Riemanna jest jednym z siedmiu nierozwiązanych problemów Hilberta i była także jedynym problemem, który Hilbert wybrał do umieszczenia na liście problemów z nagrodą milenijną Instytutu Matematyki Gliny .

Testy numeryczne

Ze stwierdzenia Riemanna o przypuszczeniu, obliczenia numeryczne pierwszych nietrywialnych zer funkcji pozwoliły to potwierdzić (w poniższej tabeli można znaleźć zestawienie różnych uzyskanych wyników). W 1980 roku, Andrew Odlyzko nie specjalizuje się w tego typu obliczeń, i jest zatem ogólnie powiedzieć, że miliard i pół Zera obliczone przez niego wszystko zweryfikować hipotezę Riemanna; można by pomyśleć, że oznacza to jedynie, że znajdują się one dostatecznie blisko linii krytycznej (w tym sensie, że nieprecyzyjne obliczenia nie pozwalają wykluczyć, że mogą się tam znajdować); tak nie jest, jak zobaczymy. Jeśli jednak ktoś ma matematyczną pewność co do, powiedzmy, pierwszych milionów zer, złożoność obliczeń (łącznie z przetwarzaniem danych) sprawia, że pewność, jaką można mieć do ostatnich wyników, jest bardziej względna; pytanie to jest uważnie analizowane przez Xaviera Gourdona 2004 (strona 3, a dokładniej sekcja 3.3.1), gdzie ogłasza zapis weryfikacji pierwszych 10 13 zer (i testów statystycznych zer znacznie od siebie oddalonych).

Numeryczne metody weryfikacji najczęściej zaczynają się od uwagi, zgodnie z którą funkcja: ma te same zera co zeta w paśmie krytycznym i jest rzeczywista na linii krytycznej (ze względu na równanie funkcjonalne widoczne powyżej łączące i ). Następnie łatwo jest wykazać istnienie co najmniej jednego zera między dwoma punktami tej prostej, sprawdzając numerycznie, czy funkcja ta ma przeciwne znaki w tych dwóch punktach. W praktyce używamy funkcji Z (en) Hardy'ego oraz funkcji θ (en) Riemanna-Siegela , przy czym :; określając wiele przedziałów czasu, w których znak Z zmienia się, pokazujemy istnienie takiej samej liczby zer na linii krytycznej. Aby kontrolować hipotezę Riemanna aż do danej części urojonej T , pozostaje udowodnić, że nie ma innych zer w tym regionie; wystarczy obliczyć całkowitą liczbę zer w omawianym obszarze (prostokąt o wierzchołkach 0,1, iT i 1 + iT ), co można zrobić, stosując twierdzenie o resztach do funkcji 1 / ζ (technicznie problem możliwych zer podwójnych oznacza, że faktycznie używamy funkcji ζ '/ ζ, nawet jeśli inną hipotezą jest, że nie istnieje): ponieważ ta liczba musi być liczbą całkowitą, dostatecznie numeryczne obliczenia Dokładność odpowiedniej całki daje pewność. W poniższej tabeli zestawiono dotychczas przeprowadzone obliczenia (które oczywiście wszystkie potwierdziły hipotezę) oraz wskazano zastosowane metody. $s \ mapsto \ pi ^ {- s / 2} \ Gamma (s / 2) \ zeta (s)$ $\ zeta (s)$ $\ zeta (1-s)$ $\ zeta (1/2 + it) = Z (t) e ^ {- i \ pi \ theta (t)} \$

Rok	Liczba zer	Autorzy i zastosowane metody
1859?	3	B. Riemann posługuje się formułą Riemanna-Siegela (niepublikowana, ale cytowana przez Siegela 1932 ).
1903	15	JP Gram 1903 używa wzoru Eulera-Maclaurina i odkrył prawo Grama. Pokazuje, że 10 części urojonych zer mniejszych niż 50 znajduje się na linii krytycznej, obliczając sumę dziesiątej potęgi zer, które znalazł.
1914	79 (γ n ≤ 200)	RJ Backlund 1914 przedstawił lepszą metodę kontroli, badając argument S ( T ) funkcji zeta.
1925	138 (γ n ≤ 300)	JI Hutchinson 1925 odkrywa pierwszy wyjątek od prawa Grama, w punkcie Gram g 126 .
1935	195	EC Titchmarsh 1935 używa wzoru Riemanna-Siegela, który właśnie został ponownie odkryty i który jest znacznie szybszy niż wzór sumowania Eulera: potrzeba około O ( T 3/2 + ε ) kroków, aby zbadać zera części urojonej mniejsze niż T , natomiast metoda Eulera-Maclaurina zajmuje około O ( T 2 + ε ) kroków.
1936	1041	EC Titchmarsh 1936 i LJ Comrie jako ostatni obliczyli zera ręcznie.
1953	1104	AM Turing 1953 znalazł skuteczniejszą metodę sprawdzania braku zer poza linią krytyczną aż do wysokości T , sprawdzając, czy Z ma prawidłowy znak w kilku kolejnych punktach Grama i wykorzystując fakt, że S ( T ) ma średnia wartość 0. To prawie nie wymaga dodatkowych obliczeń, ponieważ znak Z w punktach Grama jest już znany; ta metoda jest nadal najczęściej stosowana. To pierwsze obliczenie, które zostało wykonane przez komputer.
1956	15 000	DH Lehmer 1956 odkrywa kilka przypadków „tylko” zer na linii: dwa zera są tak blisko, że trudno jest pokazać zmianę znaku między nimi. Nazywa się to „zjawiskiem Lehmera” i występuje po raz pierwszy w części urojonej o zerach 7005,063 i 7005,101, które różnią się tylko o 0,04, podczas gdy średnia różnica między innymi zerami w tym obszarze jest rzędu 1 .
1956	25 000	DH Lehmer
1958	35 337,	NA Meller
1966	250 000	RS Lehman
1968	3 500 000	Rosser, Yohe i Schoenfeld 1969 podają regułę Rossera (patrz poniżej).
1977	40 000 000	RP Brent
1979	81 000 001	RP Brent
1982	200 000 001	RP Brent, J. van de Lune , H. te Riele , DT Winter
1983	300 000 001	J. van de Lune, H. te Riele
1986	1 500 000 001	van de Lune, te Riele i Winter 1986 podają statystyczne informacje o rozkładzie zer i określają kilka wykresów Z w punktach, w których jego zachowanie jest nieoczekiwane.
1987	Kilka zer na dużych wysokościach	AM Odlyzko 1987 oblicza z dużą dokładnością znacznie mniejszą liczbę zer, ale na wysokości T rzędu 10 12 , aby przetestować hipotezę Montgomery'ego dotyczącą korelacji między parami zer.
1992	Kilka zer na dużych wysokościach	AM Odlyzko 1992 oblicza kilka innych zer na wysokości do 10 20 , czemu towarzyszy dokładna dyskusja wyników.
2001	10 000 000 000	J. van de Lune (niepublikowane)
2004	900 000 000 000	S. Wedeniwski ( ZetaGrid ; przetwarzanie rozproszone)
2004	10 000 000 000 000	Xavier Gourdon 2004 i Patrick Demichel używają algorytmu Odlyzko-Schönhage . Sprawdzają również kilka zer na znacznie większych wysokościach.

Testy demonstracyjne

Ponieważ proste podejścia konsekwentnie zawodziły, zaproponowano kilka bardziej rozbudowanych linii ataku. Po pierwsze możliwe jest przekształcenie hipotezy w kategoriach teorii liczb; pokazujemy na przykład, że kilka przypuszczeń, jak hipoteza Mertensa , wiązałoby się z hipotezą Riemanna (mówimy, że są one silniejsze). Niestety takie podejście doprowadziło jedynie do obalenia np. Przypuszczenia Mertensa.

Niektóre podobne przypuszczenia, na pierwszy rzut oka bardziej ogólne, okazały się paradoksalnie nieco łatwiejsze do zademonstrowania. Tak jest w przypadku przypuszczeń Weila , w których funkcja zeta została zastąpiona funkcjami L : zostały one zademonstrowane przez Pierre Deligne w 1974 roku przy użyciu potężnych narzędzi geometrii algebraicznej opracowanych przez Alexandre'a Grothendiecka , ale technika ta wydaje się niemożliwa do dostosowania do przypadku funkcja zeta.

Kolejny utwór zaczyna się od dziwnych analogii między empirycznym rozkładem znanych zer a spektrum pewnych operatorów; tam znowu nie można było wyciągnąć z niego nawet planu ataku.

W czerwiec 2019przełom uznany za obiecujący przyjmuje wynik z 1927 r. dzięki George'owi Pólyi, który wiąże hipotezę z właściwością zer pewnych wielomianów (wielomianów Jensena ); Ken Ono , Don Zagier i dwaj inni badacze demonstrują tę właściwość dla dużej klasy wielomianów (jednak niewystarczającej do rozwiązania problemu) za pomocą całkowicie oryginalnego podejścia.

Pseudo-demonstracje

Wiele rzekomych dowodów hipotezy Riemanna jest regularnie przedstawianych, głównie w Internecie, a także pewne wnioski, często przez amatorów spoza tradycyjnego systemu uniwersyteckiego, ale czasami także przez zawodowych matematyków, ale odchodzących od swojej dziedziny. najsłynniejsza z tych ostatnich prób za sprawą Louisa de Branges w 2004 roku i Michaela Atiyah w 2018 roku). Żadna z tych prac nie uzyskała jeszcze aprobaty środowiska matematycznego.

Witryna brytyjskiego matematyka Matthew R. Watkinsa wymienia niektóre z tych rzekomych dowodów - w tym „dowody”, że hipoteza jest fałszywa - oprócz kilku parodii.

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Hipoteza Riemanna ” ( zobacz listę autorów ) .

Uwagi

(w) Enrico Bombieri , „ Hipoteza Riemanna ” .
Tekst Bombieri został zaktualizowany w 2004 r. Przez Petera Sarnaka: (w :) Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis (2004) , analiza ostatnich prac.
Leonhard Euler. Obserwacje zmienne około serii infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, s. 160-188, Twierdzenia 7 i 8.
Inne metody, patrz funkcja zeta Riemanna # Rozszerzenie do ℂ- {1} .
Ale jeśli 0 <Re ( s ) <1, zbieżność (oczywiście nie absolutna) jest zbyt wolna; ta seria w tej postaci absolutnie nie pozwala na numeryczne obliczenie zeta; na szczęście można go przekształcić dzięki formule Eulera-Maclaurina, aby uzyskać szybką konwergencję.
Zobacz funkcję zeta Riemanna # Relacja funkcjonalna, aby zademonstrować tę tożsamość.
(w) Peter Borwein , The Riemann Hypothesis: A Resource for the aficionado and Virtuoso Alike , Springer ,2008( czytaj online ) , s. 16.
Oryginalny manuskrypt na stronie internetowej Clay Institute i jego francuskie tłumaczenie L. Laugela na wiki .
(w) Richard Bellman , Krótkie wprowadzenie funkcji Theta (Holt, 1961) str. 33-34
(w) Enrico Bombieri , " Nowy postęp w funkcji zeta: od starego przypuszczenia do wielkiego przełomu " , PNAS ,4 czerwca 2019 r( czytaj online ).
(w) Michael Griffin, Ken Ono , Larry Rolen i Don Zagier , " Jensen polynomials Riemann zeta function for the sequences and other " , PNAS ,4 czerwca 2019 r( czytaj online ).
(w) Matthew R. Watkins, " Proposed (dis) proofs of the Riemann Hypothesis " , on Exeter University's School of Engineering, Computing and Mathematics (dostęp 9 stycznia 2010 )

Bibliografia

RJ Backlund , „ O zerach funkcji Riemanna ζ (s) ”, CRAS , vol. 158,1914, s. 1979–1981
(en) X. Gourdon , „ 10 13 pierwszych zer funkcji zeta Riemanna i obliczenia zer na bardzo dużej wysokości ” , wersja dostępna online ,Październik 2004Zobacz także (nie) Obliczanie zer funkcji zeta
JP Gram , „ Note on the zeros of the Riemann function ζ (s) ”, Acta Mathematica , vol. 27,1903, s. 289–304 ( DOI 10.1007 / BF02421310 )
(en) JI Hutchinson (en) , „ On the Roots of the Riemann Zeta-Function ” , przeł. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 27, n o 1,1925, s. 49-60 ( DOI 10.2307 / 1989163 , JSTOR 1989163 )
(en) DH Lehmer , „ Extended computation of the Riemann zeta-function ” , Mathematika . A Journal of Pure and Applied Mathematics , vol. 3, n O 021956, s. 102–108 ( DOI 10.1112 / S0025579300001753 , Recenzje matematyczne 0086083 )
(en) AM Odlyzko , „ O rozkładzie odstępów między zerami funkcji zeta ” , Mathematics of Computation , t. 48, n o 1771987, s. 273–308 ( DOI 10.2307 / 2007890 , JSTOR 2007890 , Recenzje matematyczne 866115 )
(en) AM Odlyzko , 10 20-te zero funkcji zeta Riemanna i 175 milionów jej sąsiadów ,1992( czytaj online )Ta niepublikowana książka opisuje implementację algorytmu i szczegółowo omawia wyniki.
(en) J. Barkley Rosser , JM Yohe i Lowell Schoenfeld (en) , „ Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (Z dyskusją) ” , Przetwarzanie informacji 68 (Proc. IFIP Congress, Edynburg, 1968), tom. 1: Matematyka, oprogramowanie , Amsterdam, Holandia Północna,1969, s. 70–76 (Przeglądy matematyczne 0258245 )
(de) CL Siegel , » Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie « , Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2 ,1932, s. 45-80Przedruk w Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966
(en) EC Titchmarsh , „ The Zeros of the Riemann Zeta-Function ” , Proceedings of the Royal Society , Series A, Mathematical and Physical Sciences , vol. 151 N O 8731935, s. 234–255 ( DOI 10.1098 / rspa.1935.0146 , JSTOR 96545 )
(en) EC Titchmarsh , „ The Zeros of the Riemann Zeta-Function ” , The Royal Society , vol. 157 N O 8911936, s. 261–263 ( DOI 10.1098 / rspa.1936.0192 , JSTOR 96692 )
(en) AM Turing , „ Niektóre obliczenia funkcji zeta Riemanna ” , Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series , vol. 3,1953, s. 99–117 ( DOI 10.1112 / plms / s3-3.1.99 , Recenzje matematyczne 0055785 )
(en) J. van de Lune , H. te Riele i DT Winter , „ Na zerach funkcji zeta Riemanna w pasku krytycznym. IV ” , Mathematics of Computation , vol. 46, n o 1741986, s. 667–681 ( DOI 10.2307 / 2008005 , JSTOR 2008005 , Recenzje matematyczne 829637 )

Zobacz też

Bibliografia

(en) Albert E. Ingham , Dystrybucja liczb pierwszych , Cambridge University Press, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics vol. 30,1932. Przedruk 1990, ( ISBN 978-0-521-39789-6 ) .
(en) Aleksandar Ivić , The Riemann Zeta Function , John Wiley & Sons , Nowy Jork,1985, 517 s. ( ISBN 978-0-471-80634-9 ) (Przedruk Dover 2003).
(en) Edward Charles Titchmarsh , Teoria funkcji zeta Riemanna , The Clarendon Press Oxford University Press,1986, 412 s. ( ISBN 978-0-19-853369-6 , czytaj online )

Książki popularyzatorskie

John Derbyshire (we) , w dżungli liczb pierwszych , Dunod ,2007, 390 pkt. ( ISBN 978-2-10-050046-8 i 2-10-050046-5 ) Tłumaczenie (autor) John Derbyshire , Prime Obsession , Joseph Henry Press, Washington, DC2003, 446 s. ( ISBN 978-0-309-08549-6 , czytaj online )
(en) Karl Sabbagh , The Riemann Hypothesis: The Greatest Unsolved Problem in Mathematics , Farrar, Straus and Giroux ,2003( ISBN 0-374-52935-3 ).
Marcus du Sautoy ( tłumaczenie z angielskiego), La Symphonie des numbers primes , Paryż, Éditions Héloïse d'Ormesson, 491 s. ( ISBN 978-2-35087-011-3 i 2-35087-011-1 )
Rossana Tazzioli , Riemann, inspektor przyrody , Belin ( ISBN 978-2-84245-106-6 i 2-84245-106-6 )

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

(en) " Hipoteza Riemanna " , na Clay Mathematics Institute
Michel Balazard, „ Półtora wieku badań nad hipotezą Riemanna ”, Gazette des mathématiciens , vol. 126,2010, s. 7-24 ( czytaj online )
Gilles Lachaud " Riemanna hipoteza: Graal matematyków " Les Dossier de La Recherche , n o 20,Sierpień 2005, s. 26-35 ( czytaj online )
Gérard Villemin, „ Hipoteza Riemanna ” , o liczbach - ciekawostki, teoria i zastosowania