Małe problemy
W matematyce problemy Smale'a tworzą listę 18 nierozwiązanych problemów w matematyce , zaproponowaną przez Steve'a Smale'a w 2000 roku. Smale podał tę listę w odpowiedzi na prośbę Vladimira Arnolda , ówczesnego prezesa Międzynarodowej Unii Matematycznej , który zaproponował kilku matematykom lista problemów dla XXI -go wieku, w duchu listy problemów Hilberta . Niektóre problemy Smale'a znajdują się na sporządzonej również w 2000 r. liście problemów związanych z Nagrodą Milenijną .
Lista problemów
Poniższa tabela zawiera krótki opis problematyki i aktualnego stanu badań; bardziej rygorystyczną prezentację można znaleźć w artykule Smale cytowanym w referencji.
| # | Sformułowanie | stan |
|---|---|---|
| 1 | Hipoteza Riemanna ( 8 th problem Hilberta i 1 st kwestia ceny Millennium) | Nie rozwiązany |
| 2 | Hipoteza Poincarégo ( 2 Cena emisyjna tysiąclecia) | Zademonstrowane przez Grigori Perelmana w 2003 roku. |
| 3 | Czy P = NP? ( 3 th kwestia ceny Millennium) | Nie rozwiązany |
| 4 | Liczba pierwiastków całkowitych wielomianów jednej zmiennej | Nie rozwiązany |
| 5 | Wysokość rozwiązań równań diofantycznych | Nie rozwiązany |
| 6 | Czy w mechanice nieba liczba równowag względnych jest skończona? | Zademonstrowany dla pięciu ciał przez A. Albouy i V. Kaloshin w 2012 roku. |
| 7 | Optymalny rozkład punktów na 2-sferze | Nie rozwiązany |
| 8 | Wykorzystanie systemów dynamicznych w ekonomii | Nie rozwiązany |
| 9 | Problem optymalizacji liniowej | Nie rozwiązany |
| 10 | „Lemat zamknięcia” w przypadku dyskretnym | Nie rozwiązany. Charles Pugh udowodnił lemat w ciągłej sprawie w 1967 roku; zobacz lemat zamknięcia Pugh (en) |
| 11 | Czy dynamika jednowymiarowa jest ogólnie hiperboliczna? | Nie rozwiązany |
| 12 | Centralizatory dyfeomorfizmów | Rozwiązany w topologii C 1 przez C. Bonatti, S. Crovisiera i A. Wilkinsona w 2009 roku. |
| 13 | XVI problemu Hilberta | Nie rozwiązany |
| 14 | Lorenz Atraktor | Rozwiązany przez Warwicka Tuckera (de) przy użyciu arytmetyki przedziałowej . |
| 15 | Stabilność rozwiązań równania Naviera-Stokesa ( 6 th kwestia ceny Millennium) | Nie rozwiązany |
| 16 | Przypuszczenie jakobianu (lub przypuszczenie Dixmier (fr) , które jest mu równoważne) | Nie rozwiązany |
| 17 | Rozwiązywanie równań wielomianowych w wielomianowym średnim czasie | Zdecydowany. Carlos Beltrán Alvarez i Luis Miguel Pardo zbudowali algorytm probabilistyczny o średniej wielomianowej złożoności . Felipe Cucker i Peter Bürgisser, stosując „ gładką analizę ” analogicznego do poprzedniego algorytmu probabilistycznego, uzyskali algorytm deterministyczny w czasie .
Wreszcie, używając innej metody, Pierre Lairez zaprezentował deterministyczną wersję pierwszego algorytmu, tym razem zachowując średnią złożoność wielomianu.
Wszystkie te wyniki są kontynuacją prac założycielskich Shub i Smale nad serią Bézout. |
| 18 | Granice inteligencji | Nie rozwiązany |
Uwagi i referencje
- (w) Steve Smale , „ Problemy matematyczne na następne stulecie ” , Mathematics: Frontiers and perspectives , Providence, RI, American Mathematics Society,2000, s. 271-294 ( czytaj online )
- (w) A. Albouy, V. Kaloshin, „ skończoność konfiguracji centralnych pięciu ciał w płaszczyźnie ” , Annals of Mathematics , t. 176,2012, s. 535-588
- (w) C Bonatti S. Crovisier A. Wilkinson " C 1 -generic dyfeomorfizmu HAS trywialne centrujące " , wyd. Matematyka. IHES , tom. 109,2009, s. 185-244
- (w) Warwick Tucker, „ Rygorystyczne rozwiązanie ODE i 14 problem Smale ” , Podstawy matematyki obliczeniowej , tom. 2 n o 1,2002, s. 53-117 ( DOI 10.1007/s002080010018 , przeczytaj online )
- (w) Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo, „ To Smale's 17th Problem: Probabilistyczna pozytywna odpowiedź ” , Podstawy Matematyki Obliczeniowej (czasopismo) , tom. 8, N O 1,2008, s. 1-43 ( DOI 10.1007/s10208-005-0211-0 , przeczytaj online )
- (w) Felipe Cucker Peter Bürgisser, " Rozwiązywanie równań wielomianowych Wielomian w wygładzonym czasie i blisko rozwiązania 17-go problemu Smale " , Proc. 42. Sympozjum ACM z Teorii Informatyki ,2010( przeczytaj online )
- Pierre Lairez , „ Deterministyczny algorytm do obliczania przybliżonych pierwiastków układów wielomianowych w wielomianowym średnim czasie ”, Podstawy matematyki obliczeniowej , tom. pojawić się,2016
- Michael Shub i Stephen Smale , „ Złożoność twierdzenia Bézouta. I. Aspekty geometryczne ”, J. Amer. Matematyka. Soc. , tom. 6, N O 21993, s. 459-501 ( DOI 10.2307 / 2152805 , JSTOR 2152805 ).
Źródła
- (fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego " Problemy Smale " ( zobacz listę autorów ) .
- (en) Eric W. Weisstein , „ Smale's Problems ” , o MathWorld