Funkcja Möbiusa

W matematyce The Funkcja Möbiusa ogólnie oznacza szczególną funkcję zwielokrotniony , zdefiniowanego w ściśle dodatnimi liczbami całkowitymi i wartości w zbiorze {-1, 0, 1}. Jest zaangażowany w formułę inwersji Möbiusa .

Jest używany w różnych gałęziach matematyki. Widziany z elementarnym kątem funkcji Möbiusa umożliwia pewne zliczania obliczeń , w szczególności do badania s -grupy lub teorii wykresu . W arytmetyce jest czasami definiowana jako odwrotność stałej funkcji multiplikatywnej 1 dla operacji splotu Dirichleta . Występuje także do badania wielomian cyklotomiczny nad pola z liczb wymiernych . Jego rola jest analogiczna dla pól skończonychiw konsekwencji funkcja Möbiusa ingeruje w teorię kodów korekcyjnych . W analitycznej teorii liczb funkcja Möbiusa jest częściej wprowadzana za pomocą szeregu Dirichleta . Interweniuje w pewnych dowodach związanych z badaniem hipotezy Riemanna o liczbach pierwszych .

Użycie tej funkcji jest stare: znajdujemy ją u Eulera w 1748 roku lub nawet u Gaussa w jego Disquisitiones aithmeticae w 1801 roku. Niemniej jednak to Möbius jako pierwszy studiował ją systematycznie w 1832 roku.

Definicja i właściwości

Definicja

W dalszej części artykułu N oznacza zbiór liczb naturalnych, a N * zbiór ściśle dodatnich liczb całkowitych. Najpopularniejsza definicja to:

Definicja funkcji Möbiusa - Funkcja Möbiusa $μ$ jest zdefiniowana z N * w {–1, 0, 1}. Obraz μ ( n ) liczby całkowitej n > 0 jest równy:

0 jeśli n jest podzielne przez idealny kwadrat inny niż 1;
1 jeśli n jest iloczynem parzystej liczby odrębnych liczb pierwszych;
–1 jeśli n jest iloczynem nieparzystej liczby różnych liczb pierwszych.

Tabela jego pierwszych dwudziestu wartości to zatem:

nie	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
μ ( n )	1	–1	–1	0	–1	1	–1	0	0	1	–1	0	–1	1	1	0	–1	0	–1	0

a wykres jego pierwszych pięćdziesięciu wartości to:

Równoważna definicja

Charakterystyka funkcji Möbiusa - Möbiusa funkcją jest odwrotna w funkcji stałym $1$ za Dirichlet zwoju , to znaczy unikalną funkcję arytmetyczną $jj$ , że dla każdej liczby całkowitej $n > 0$ , wartość sumy $ľ$ na wszystkie pozytywne dzielniki z $n$ to:

\ sum _ {{d | n}} \ mu (d) = \ lewo \ {{\ początek {macierz} 1 & {\ mbox {si}} n = 1 \\ 0 & {\ mbox {si}} n > 1. \ koniec {macierz}} \ prawo.

Z tą drugą definicją $μ$ jest automatycznie , jak $1$ , multiplikatywna , to znaczy, że:

${\ styl wyświetlania \ mu (1) = 1}$ i wszystkie stosunkowo pierwszorzędne , . ${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$ ${\ styl wyświetlania \ mu (nm) = \ mu (n) \ mu (m)}$

Dowód równoważności obu definicji

Pokażmy, że funkcja $μ$ z pierwszej definicji dobrze spełnia

{\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} \ mu (d) = \ lewo \ {{\ początek {macierz} 1 & {\ mbox {si}} n = 1 \\ 0 & {\ mbox {si} } n > 1. \ end {matryca}} \ prawo.}

Jeśli n = 1, wynik jest oczywisty. Jeśli n > 1, niech P będzie zbiorem czynników pierwszych n i s = karta ( P ) (≥ 1). Jedynymi dzielnikami n których obraz, ľ nie zero są te nie zawierające czynnika kwadratowy, to znaczy produktów o różnych elementów P Zatem, wykorzystując, że liczba części z P z kard t jest równa dwumianowego współczynnika następnie nałożeniem wzór dwumianowy :

{s \ wybierz t}

{\ begin {wyrównany} \ sum _ {{d \ mid n}} \ mu (d) & = \ sum _ {{D \ podzbiór P}} \ mu \ left (\ prod _ {{p \ in D} } p \ prawo) = \ suma _ {{D \ podzbiór P}} (- 1) ^ {{{{\ rm {karta}}} (D)}} \\ & = \ suma _ {{t = 0 }} ^ {s} (- 1) ^ {t} {{\ rm {karta}}} (\ {D \ podzbiór P \ mid {{\ rm {karta}}} (D) = t \}) ​​​​\ \ & = \ suma _ {{t = 0}} ^ {s} {s \ wybierz t} (- 1) ^ {t} = (- 1 + 1) ^ {s} = 0, \ koniec { wyrównane} }

co kończy demonstrację.
Zamiast stosować wzór dwumianowy, moglibyśmy ponadto w tym konkretnym przypadku bezpośrednio to udowodnić, to znaczy wykazać, że w P istnieje tyle samo części kardynała parzystego, co nieparzystego. W tym celu wystarczy ustalić element p z P i pogrupować części P po dwa parami postaci ( S , S ∪ { p } ) gdzie S jest częścią P niezawierającą p . Każda część P występuje w parze i tylko jedna, a każda para ma część o parzystym kardynale i jedną o nieparzystym kardynale, co wyraźnie pokazuje, że P ma tyle samo parzystych i nieparzystych części.

Formuła inwersji Möbiusa

Druga definicja pozwala nam szybko wykazać, że dla dowolnej funkcji arytmetycznej f :

Funkcja arytmetyczna g zdefiniowana przez

\ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad g (n) = \ suma _ {{d \ mid n}} f (d)

sprawdzone

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad f (n) = \ suma _ {d \ mid n} \ mu \ po lewej ({\ tfrac {n} {d}} \ po prawej ) g (d)}

Kombinatoryczny

Podstawowe definicje i właściwości

Podejście kombinatoryczne umożliwia uogólnienie powyższego badania. Technika polega na badaniu skończonego i częściowo uporządkowanego zbioru A, którego relacja porządku jest odnotowana ≤. Posługujemy się następującą definicją:

Definicja łańcucha - Niech $a$ i $b będą$ dwoma elementami $A$ takimi, że $a \leq b$ . Dla dowolnej liczby naturalnej p nazywamy łańcuch o długości p łączący $a$ do $b$ dowolny ciąg skończony $( x 0 , x 1 , ..., x p )$ taki, że:

{\ styl wyświetlania a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots x_ {p-1} <x_ {p} = b}

W dalszej części akapitu przez c p ( a , b ) oznaczamy liczbę łańcuchów o długości p łączących a z b . Od razu mamy kilka nieruchomości. Na przykład, jeśli a jest elementem A , c p ( a , a ) wynosi 1 dla p = 0 i 0 dla p > 0 oraz jeśli b jest elementem A ściśle większym niż a wtedy c 0 ( a , b ) = 0 i c 1 ( a , b ) = 1. Bardziej ogólnie, ustalamy następujący lemat:

Lemat - Jeśli $a$ i $b$ są dwoma elementami $A$ takimi, że $a < b$ to dla każdej liczby naturalnej $p$ ,

{\ displaystyle c_ {p + 1} (a, b) = \ suma _ {a \ leq c <b} c_ {p} (a, c) = \ suma _ {a <c \ leq b} c_ {p } (c, b)}

Rzeczywiście, każdy łańcuch o długości p + 1 łączący $a$ do $b$ składa się z łańcucha o długości p łączącego $a$ z $c$ i łańcucha o długości 1 łączącego $c$ z $b$ , co wskazuje na pierwszą równość. Drugi jest pokazany w ten sam sposób.

Gian-Carlo Rota definiuje nową funkcję Möbiusa , którą oznacza μ A , a jak zobaczymy uogólnia μ :

Definicja G.-C. Rota funkcji Möbiusa μ A - Funkcja Möbiusa μ A , z wartościami całkowitymi, jest zdefiniowana na A × A przez:

{\ displaystyle \ forall a, b \ in A \ quad a \ leq b \ Rightarrow \ mu _ {A} (a, b) = \ suma _ {p \ in \ mathbb {N}} (- 1) ^ { p} c_ {p} (a, b) \ quad {\ text {i}} \ quad a \ not \ leq b \ Rightarrow \ mu _ {A} (a, b) = 0}

Innymi słowy, pozytywnie liczymy wszystkie łańcuchy o parzystej długości łączące a do b i ujemnie te o nieparzystych długościach. Mamy ponadto zauważyć, że definicje te pozostają ważne jeśli jest nieskończona, pod warunkiem, że istnieje tylko skończoną liczbę elementów znajdujących się między i B (mówimy wtedy, że kolejność jest lokalnie skończona (w) ). Lemat pozwala udowodnić następujący analog charakteryzacji μ:

Charakterystyka μ A - Niech $a$ i $b będą$ dwoma elementami $A$ takimi, że $a < b$ :

{\ displaystyle \ mu _ {A} (a, a) = 1 \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ suma _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (a, c) = \ suma _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (c, b) = 0}

. Demonstracja

Pierwsza równość wynika z faktu, że unikalny łańcuch łączący $a$ z $a$ ma długość 0. Druga jest bezpośrednią konsekwencją poprzedniego zdania:

{\ displaystyle \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (a, c) = \ suma _ {a \ leq c \ leq b} \ suma _ {p \ in \ mathbb {N }} (- 1) ^ {p} c_ {p} (a, c) = \ suma _ {p \ in \ mathbb {N}} (- 1) ^ {p} \ suma _ {a \ leq c \ leq b} c_ {p} (a, c)}

Z poprzedniej propozycji wynika, że:

{\ displaystyle \ suma _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (a, c) = \ suma _ {p \ in \ mathbb {N}} (- 1) ^ {p} {\ duży (} c_ {p + 1} (a, b) + c_ {p} (a, b) {\ duży)} = c_ {0} (a, b) = 0}

W ten sam sposób pokazano ostatni remis.

Produkt splotu Dirichleta uogólnia, umożliwiając powiązanie z dowolnym lokalnie skończonym rzędem A jego algebry padania (in) , a powyższy wynik jest następnie przeformułowywany przez interpretację μ A jako odwrotność w tej unitarnej pierścieniu .

Ten wynik pokazuje również wzór inwersji dla μ A .

Związek między definicją Möbiusa i Rota

Tutaj zbiór A oznacza zbiór ściśle dodatnich liczb całkowitych obdarzonych relacją porządku: a ≤ b gdy a jest dzielnikiem b .

Ta kolejność jest lokalnie skończona i kiedy zastosujemy do niej charakteryzację μ A z 1 jako pierwszą zmienną, znajdziemy charakterystykę μ.

Zauważamy również, że jeśli a dzieli b , to odwzorowanie, które z łańcuchem ( x 1 , x 1 , ..., x p ) wiąże łańcuch (1, x 2 / x 1 , ..., x p / x 1 ) stanowi bijekcję pomiędzy wszystkimi łańcuchami o długości p łączącymi a z b oraz łańcuchami 1 z b / a .

Dlatego wyprowadzamy:

Relacja między definicjami funkcji Möbiusa - W dwóch ściśle dodatnich liczbach całkowitych $a$ i $b$ takich, że $a$ dzieli $b$ , funkcja μ Möbiusa i ta μ A Rota są powiązane przez:

{\ displaystyle \ mu _ {A} (a, b) = \ mu _ {A} \ po lewej (1, {\ frac {b} {a}} \ po prawej) = \ mu \ po lewej ({\ frac {b } {a}} \ prawo)}

Za pomocą tego łącza konwencjonalny wzór inwersji dla μ może być postrzegany jako szczególny przypadek dla μ A .

Seria Dirichleta

Dla dowolnej liczby zespolonej s części rzeczywistej ściśle większej niż 1,

{\ displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s)}} \ quad {\ tekst {et}} \ quad \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {| \ mu (n) |} {n ^ {s}}} = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(\ mu (n)) ^ {2}} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}} }

gdzie jest funkcja zeta Riemanna . $\ zeta$

Funkcja Mertensa jest zdefiniowana przez . $M$ ${\ styl wyświetlania M (n) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k)}$

Liczby pierwsze twierdzenie jest równoważne i . Bardziej wyrafinowaną wersję twierdzenia o liczbach pierwszych (z jednoznaczną oceną terminu szczątki) użył w 1899 Edmund Landau, aby zademonstrować: . ${\ displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ frac {M (n)} {n}} = 0}$ ${\ displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) \ ln n} {n}} = - 1}$

Uwagi i referencje

G. Villemin, „ Funkcja Möbiusa ” , o Liczbach: ciekawostki – teoria – wykorzystanie .
Françoise Badiou, „ Formuła inwersji Möbiusa ”, Seminarium Delange-Pisot-Poitou Teoria liczb , t. 2, rozdz. 1,1960, s. 2-3 ( czytaj online [PDF] ).
Kolejny dowód zob. Badiou 1960 , s. 2-3 lub „Funkcje arytmetyczne” w lekcji „Wprowadzenie do teorii liczb” na Wikiversity .
(en) G.-C. Rota, „ Na podstawach teorii kombinatorycznej, I: Teoria funkcji Möbiusa ”, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie u. verw. Gebiete , tom. 2, 1963, s. 340-368.
IREM Marsylia , kursy i zajęcia w arytmetyczna dla końcowych klas ( czytać on-line ) , s. 75.
IREM-Marsylia , s. 76.
IREM-Marsylia , s. 80.
Patrz np. G. Tenenbaum , Wstęp do analitycznej i probabilistycznej teorii liczb , [ szczegóły wydań ] , SMF , coll. „Kursy specjalistyczne”, Paryż, 1995, I.3.6, lub (en) Tom M. Apostol , Wstęp do teorii liczb analitycznych , Springer ,1976, 340 pkt. ( ISBN 978-0-387-90163-3 , czytaj online ), gr. 4.15 i 4.16.
(z) E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen ,1909( czytaj online ) , s. 569.

Link zewnętrzny

(en) Eric W. Weisstein , „ Funkcja Möbiusa ” , o MathWorld