Georg Cantor

Georg Cantor Opis tego obrazu, również skomentowany poniżej Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Kluczowe dane
Imię i nazwisko Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Narodziny 3 marca 1845
Petersburg ( Rosja )
Śmierć 6 stycznia 1918 r.
Halle (Cesarstwo Niemieckie)
Narodowość Cesarstwo Niemieckie
Obszary matematyk
Instytucje Uniwersytet w Halle
Dyplom Szwajcarski Federalny Instytut Technologii Uniwersytet w Zurychu
w Berlinie
Znany z Teoria mnogości

Georg Cantor jest niemieckim matematykiem , urodzonym dnia3 marca 1845w Petersburgu ( Imperium Rosyjskie ) i zmarł dnia6 stycznia 1918 rw Halle ( Cesarstwo Niemieckie ). Znany jest jako twórca teorii mnogości .

Ustala znaczenie bijekcji między zbiorami, definiuje zbiory nieskończone i zbiory dobrze uporządkowane . Udowodnił też, że liczby rzeczywiste są „liczniejsze” niż liczby naturalne. W rzeczywistości twierdzenie Cantora implikuje istnienie „nieskończoności nieskończoności”. Definiuje liczebniki główne , liczebniki porządkowe i ich arytmetykę. Dzieło Cantora jest bardzo interesujące z punktu widzenia filozofii (o czym był w pełni świadomy) i wywołało wiele interpretacji i wiele dyskusji.

Cantor napotkał opór ze strony matematyków swoich czasów, zwłaszcza Kroneckera .

Poincaré , choć znał i cenił dzieła Cantora, miał głębokie zastrzeżenia co do jego traktowania nieskończoności jako kompletnej całości. Nawracające napady depresji Cantora od 1884 r. do końca jego życia czasami przypisywano wrogiej postawie niektórych jego współczesnych, ale te ataki są obecnie często interpretowane jako przejawy prawdopodobnej choroby afektywnej dwubiegunowej .

W XXI p  wieku wartość pracy Cantor nie omawia większości matematyków patrz zmianę paradygmatu , z wyjątkiem części prądu konstruktywne wykraczającej po Kroneckera. Aby przeciwstawić się krytykom Cantora, David Hilbert stwierdził: „Nikt nie powinien wykluczać nas z Nieba, które stworzył Cantor. "

Biografia

Dzieciństwo i studia

Georg Cantor urodził się w 1845 roku w Sankt Petersburgu, gdzie jego ojciec, Georg Waldemar Cantor, duński biznesmen, jest maklerem na giełdzie miejskiej  ; pochodzenia żydowskiego, ale nawrócony na protestantyzm, jest żarliwym luteraninem . Jego matka Maria Anna Böhm, narodowości austriackiej , pochodzi z rodziny muzyków. Katoliczka z urodzenia, w chwili ślubu nawróciła się na protestantyzm. Dziadek Georga Cantora ze strony matki, Franz Böhm (1788-1846), starszy brat węgierskiego skrzypka Josepha Böhma , był znanym skrzypkiem i solistą orkiestry Petersburskiej Opery Cesarskiej.

Georg Cantor wychował się w wierze luterańskiej , którą zachował przez całe życie. Wybitny skrzypek , odziedziczył talent artystyczny i muzyczny po matczynej rodzinie.

Gdy ojciec Kantora zachorował, rodzina szukała zim mniej surowych niż te w Petersburgu. Przeniosła się do Niemiec w 1856 roku , najpierw w Wiesbaden , a następnie w Frankfurcie . W 1860 roku Cantor ukończył z gratulacjami Realschule w Darmstadt, gdzie zauważono jego wyjątkowe zdolności matematyczne , zwłaszcza trygonometryczne . W 1862 roku , zgodnie z życzeniem ojca, Cantor wstąpił do Szwajcarskiego Federalnego Instytutu Technologicznego w Zurychu, gdzie rozpoczął wyższe studia matematyczne.

W 1863 roku , kiedy zmarł jego ojciec, Cantor wolał kontynuować studia na Uniwersytecie Berlińskim . Uczęszczał na kursy Weierstrassa , Kummera i Kroneckera . Zaprzyjaźnił się z Hermannem Schwarzem , wówczas studentem. Spędził lato na Uniwersytecie w Getyndze, który później stał się głównym ośrodkiem badań matematycznych. W 1867 roku w Berlinie przyznano mu tytuł philosophiae lekarza do pracy magisterskiej na temat teorii liczb , De aequationibus secundi Gradus indeterminatis .

Początek przewoźnika

Po roku nauczania w szkole dla dziewcząt w Berlinie , Cantor przyjął w 1870 roku posadę na uniwersytecie w Halle , gdzie zrobił całą karierę. Uzyskał niezbędne habilitacyjnych dzięki pracy na teorii form kwadratowych z trzema zmiennymi, złożonych w 1869 roku; awansowany na profesora nadzwyczajnego (stanowisko analogiczne do wykładowcy) w 1872 roku .

W 1872 roku Cantor spotkał Richarda Dedekinda podczas podróży do Szwajcarii. Miał to być punkt wyjścia trwającej relacji, która miała odegrać decydującą rolę w rozwoju teorii mnogości Cantora. Ich korespondencja, która trwała od 1872 do 1889 roku, jest cennym tego świadectwem.

Eduard Heine postawił pytanie o wyjątkowość zapisu funkcji okresowej zmiennej rzeczywistej jako szeregu funkcji trygonometrycznych. Zainteresowany tym problemem Cantor uzyskał niepowtarzalność funkcji ciągłych. W 1872 podjął się zdefiniowania zbioru punktów nieciągłości tych funkcji, co zakłada operowanie zbiorami nieskończonymi. W ten sposób zaczął się zastanawiać nad nieskończonością. W 1874 roku Cantor opublikował swoją pierwszą pracę na ten temat w Journal für die reine und angewandte Mathematik , w którym po raz pierwszy pokazał, że zbiór liczb rzeczywistych jest niepoliczalny.

Również w 1874 roku Cantor poślubił Vally Guttmann. Będą mieli sześcioro dzieci, ostatnie urodzi się w 1886 roku . Pomimo skromnej pensji akademickiej Cantor był w stanie utrzymać rodzinę ze spadku po ojcu .

Działania wojenne między Cantorem a Kronecker

W 1877 roku Cantor przesłał swój ostatni artykuł do Journal de Crelle , w którym wykazał, że powierzchnia jest bijektowana z rzeczywistą linią. Kronecker, znany matematyk, nie zgadzał się z tym, co stało się podstawą pracy Cantora w teorii mnogości. Kronecker, postrzegany dziś jako pionier konstruktywizmu , nie sądził, że można uznać zbiór nieskończony za całość: „Bóg stworzył liczby całkowite; reszta jest dziełem człowieka” . Kronecker uważał również, że dowód istnienia obiektu matematycznego spełniającego określone właściwości powinien dać jednoznaczną konstrukcję takiego obiektu.

W 1879 Cantor uzyskał katedrę na uniwersytecie w Halle. Osiągnięcie najwyższej rangi w wieku 34 lat było godnym uwagi osiągnięciem, ale Cantor wolałby mieć katedrę na bardziej prestiżowym uniwersytecie, zwłaszcza w Berlinie, gdzie znajdowała się najlepsza uczelnia w Niemczech. Jednak Kronecker był szefem sektora matematyki w Berlinie aż do swojej śmierci w 1891 roku i nie chciał mieć Cantora za kolegę.

W 1881 r. śmierć Eduarda Heine , kolegi Cantora z Uniwersytetu w Halle, pozostawiła niezajęte krzesło. Zgodnie z sugestią Cantora, uniwersytet zaoferował krzesło Dedekindowi , Heinrichowi Weberowi i Franzowi Mertensowi (w tej kolejności), ale wszyscy odrzucili propozycję. Brak zainteresowania ze strony Dedekinda jest zaskakujący, biorąc pod uwagę, że uczył w szkole inżynierskiej niskiego stopnia i ponosił duże obciążenie administracyjne. Ten odcinek wskazuje na brak reputacji wydziału matematyki na Uniwersytecie w Halle. Ostatecznie powołano Alberta Wangerina , ale nigdy nie zwrócił się do Kantora.

Depresja

W 1884 roku Cantor doznał pierwszego ataku depresji. Zdaniem Josepha Daubena kryzys ten nie byłby spowodowany atakami Kroneckera, nawet gdyby go niewątpliwie silnie nasiliły.

Ten emocjonalny kryzys doprowadził go do nauczania filozofii , a nie matematyki . Każdy z 52 listów, które Cantor napisał do Mittag-Leffler w tym roku, zaatakował Kroneckera. Cantor szybko doszedł do siebie, ale fragment jednego z jego listów ujawnia utratę pewności siebie:

„Nie wiem, kiedy będę mógł wrócić do kontynuowania pracy naukowej. Na razie nie mogę nic zrobić w tym kierunku i ograniczam się do tego, co jest ściśle konieczne, a mianowicie do udzielania lekcji; jak chciałbym być aktywny naukowo i gdybym tylko miał niezbędną czujność. "

Choć po 1884 r. wykonał kilka wartościowych prac , nie odzyskał wysokiego poziomu produkcji z lat 1874-1884. Zaproponował pojednanie z Kroneckerem, który zgodził się bez wahania. Mimo wszystko spór filozoficzny i dzielące ich trudności nie ustępowały. Czasami mówi się, że nawracający depresyjny dostęp do Cantora został wywołany przez opozycję, która pokazała mu złoto Kroneckera, chociaż trudności w relacjach Cantora i kłopoty z jego matematyczną produkcją były z pewnością pogłębione przez jej depresję, możemy wątpić, że były przyczyną .

W 1888 opublikował korespondencję z kilkoma filozofami na temat filozoficznych implikacji jego teorii mnogości . Edmund Husserl był jego kolega w Halle i przyjaciel między 1886 a 1901 r . Reputacja Husserla została wyrobiona w filozofii, ale w tym czasie przygotowywał doktorat z matematyki pod kierunkiem Leo Königsbergera , ucznia Weierstrassa . Cantor pisał także o teologicznych implikacjach swojej pracy w matematyce; utożsamiłby „absolutną nieskończoność”, nieskończoność właściwej klasy, takiej jak wszyscy kardynałowie lub wszyscy porządkowi , z Bogiem .

Wierząc, że Francis Bacon był w rzeczywistości autorem sztuk przypisywanych Szekspirowi , rozpoczął w okresie swojej choroby w 1884 roku dogłębne studium literatury elżbietańskiej w celu uzasadnienia tej hipotezy. To doprowadziło go do opublikowania dwóch artykułów, w 1896 i 1897 roku , które przedstawiały jego poglądy.

W 1890 Cantor pomógł założyć Deutsche Mathematiker-Vereinigung . Pierwsze spotkanie zorganizował w Halle w 1891 roku i został wybrany prezydentem. To jasno pokazuje, że postawa Kroneckera nie była zgubna dla jego reputacji. Pomimo niechęci do Kroneckera, Cantor zaprosił go do przemówienia na tym spotkaniu; Kronecker nie mógł tego zrobić, ponieważ jego żona była w tym czasie na skraju śmierci.

Po śmierci najmłodszego syna w 1899 r. Kantor cierpiał na chroniczną depresję, która dotykała go do końca życia i za którą wielokrotnie zwalniano go z nauczania i wielokrotnie zamykano w sanatorium. Jednak on nie całkowicie zrezygnować z matematyki, jak wykładał na paradoksów teorii mnogości (nadana Burali-Forti , Russell , a sam Cantora) na spotkaniu z Deutsche Mathematiker-Vereinigung w 1903 roku i wziął udział w Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Heidelberg w 1904 roku .

W 1904 roku został odznaczony Sylvester medal w Royal Society .

Kantor przeszedł na emeryturę w 1913 roku  ; zmagał się z biedą, a nawet cierpiał głód podczas I wojny światowej . Publiczne obchody jego 70. urodzin zostały odwołane z powodu wojny, a kilka miesięcy przed jej zakończeniem zmarł wStyczeń 1918 w szpitalu, w którym spędził ostatni rok swojego życia.

Pracuje

Cantor był twórcą teorii mnogości od 1874 roku . Przed nim pojęcie całości było dość podstawowe i było używane w sposób dorozumiany od początków matematyki, od Arystotelesa. Nikt nie rozumiał, że ta teoria zawiera elementy nieujawnione. Przed Cantorem istniały właściwie tylko zbiory skończone (które są łatwe do zrozumienia) i nieskończone (które były raczej przedmiotem filozoficznej dyskusji). Udowodniając, że istnieje nieskończona ilość rozmiarów zbiorów nieskończonych, Cantor ustalił, że podstawy tej teorii nie są trywialne. Teoria mnogości odgrywa zatem rolę teorii założycielskiej dla współczesnej matematyki, ponieważ interpretuje twierdzenia odnoszące się do obiektów matematycznych (np. liczb i funkcji) ze wszystkich dyscyplin matematyki (takich jak algebra , analiza i topologia ) w jedną teorię i zapewnia standardowy zestaw aksjomatów do ich udowodnienia lub obalenia. Podstawowe pojęcia tego są dziś używane we wszystkich dyscyplinach matematyki.

W jednej ze swoich pierwszych publikacji Cantor dowodzi, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera więcej liczb niż zbiór liczb naturalnych; co pokazuje po raz pierwszy, że istnieje nieskończona liczba zestawów o różnych rozmiarach. Był także pierwszym, który docenił znaczenie korespondencji jeden-do-jednego ( bijekcje ) w teorii mnogości. Użył tego pojęcia do zdefiniowania zbiorów skończonych i nieskończonych, dzieląc te ostatnie na zbiory policzalne i niepoliczalne.

Cantor wprowadził podstawowe konstrukcje w teorii mnogości, takie jak zbiór złożony ze wszystkich możliwych podzbiorów A, zwany zbiorem części A. Później udowodnił, że wielkość tego zbioru jest ściśle większa niż zbioru A, nawet jeśli A jest zbiorem nieskończony zestaw; wynik ten został wkrótce znany jako twierdzenie Cantora . Cantor rozwinął całą teorię (arytmetykę) zbiorów nieskończonych, zwanych kardynałami i liczbami porządkowymi, która rozszerzyła arytmetykę liczb naturalnych. Określa zapis liczb kardynalnych za pomocą litery alfabetu hebrajskiego א ( alef , odpowiednio zaindeksowany); dla liczb porządkowych używał greckiej litery ω (omega). Ta notacja jest nadal używana.

Hipoteza continuum , wprowadzony przez Cantora, został przedstawiony przez Davida Hilberta jako pierwszy z listy 23 otwartych problemów w swoim słynnym talk w 1900 Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu. Dzieło Cantora przyniosło także inne pozytywne uwagi oprócz pochwały Hilberta. Amerykański filozof Charles Peirce cenił teorię mnogości Cantora, a po wykładach Cantora na I Międzynarodowym Kongresie Matematyków (w Zurychu w 1897 r.) również Hurwitz i Hadamard wyrazili swój podziw. Na tym kongresie Cantor odnowił swoją przyjaźń i korespondencję z Dedekindem. Od 1905 Cantor korespondował ze swoim brytyjskim wielbicielem i tłumaczem Philipem Jourdainem na temat historii teorii mnogości i jego idei religijnych, które zostały później opublikowane, podobnie jak wiele jego prac prezentowanych na kongresach.

Niektórzy, jak Galileusz, zauważyli już, że zbiór nieskończony, taki jak kwadraty liczb całkowitych, można dopasować do zbioru nieskończonego zawierającego go ściśle, w tym przypadku wszystkie liczby całkowite. W pewnym sensie jest „tyle” kwadratów liczb całkowitych, ile jest liczb całkowitych. Cantor jako pierwszy nadał tej uwadze precyzyjne znaczenie, posługując się okazjonalnie wprowadzanym (pod inną nazwą) pojęcia bijekcji , a następnie ją usystematyzował. Na przykład Cantor pokazuje, że jest tyle liczb wymiernych (tych reprezentowanych przez ułamki), ile jest liczb całkowitych. Cantor idzie dalej i odkrywa, że ​​istnieje kilka nieskończoności, w tym sensie, że nie można ich powiązać ze sobą przez bijekcję  : pokazuje w 1874, że linia rzeczywista zawiera więcej liczb rzeczywistych ("znacznie więcej") niż liczb algebraicznych (rozwiązania równań wielomianowych o współczynnikach wymiernych); odkrył w 1877 r. ku swemu wielkiemu zdziwieniu („Widzę to, ale nie wierzę”, pisał do Dedekinda), że można wstawić w bijekcję linię i samolot (innymi słowy, że jest „Aż tyle” punktów w małym segmencie jak w całej przestrzeni).

Cantor wprowadza pojęcie przeliczalnego zbioru nieskończonego  : zbioru, który można postawić w bijekcji z liczbami całkowitymi, to znaczy, że możemy w pewien sposób ponumerować wszystkie jego elementy liczbami całkowitymi (bez powtórzeń, ale nie jest to konieczne). Pokazuje, że zbiory względnych liczb całkowitych, wymiernych i algebraicznych są przeliczalne, ale zbiór liczb rzeczywistych nie.

Daje elegancki i bardzo krótki dowód tego ostatniego wyniku w 1891 roku, kiedy używa tego, co jest obecnie znane jako argument przekątny Cantora i który od tego czasu jest szeroko stosowany, szczególnie w logice matematycznej i teorii obliczalności . On używa tego argumentu, aby pokazać, że zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A , zwany zestaw elementów z A , ma ściśle więcej elementów niż A , choć jest nieskończony, to znaczy, że te dwie grupy nie mogą być bijected. Twierdzenie to nazywa się dziś twierdzeniem Cantora . Jej konsekwencją jest istnienie ścisłej hierarchii, a zarazem nieskończoności zbiorów nieskończonych.

Aby zbadać nieskończoność, Cantor wprowadza dwa pojęcia liczb i ich szczególną arytmetykę (suma, iloczyn, potęgowanie). Pierwsza to liczba kardynalna , która charakteryzuje klasę zbiorów, które można poddać bijekcji. Najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to liczba naturalna, policzalna. Kardynałem liczb rzeczywistych lub w równoważny sposób zbioru podzbiorów liczb naturalnych jest potęga kontinuum . Cantor wprowadził hebrajską literę א ( alef ) oznaczającą kardynałów, notację używaną do dziś. Tak więc liczność zbioru naturalnych liczb całkowitych oznaczamy lire 0 (czytaj alef zero). Potęga kontinuum jest siłą rzeczy większą lub równą kardynałowi następującemu bezpośrednio po policzalnej, którą oznaczamy przez ℵ 1 . Cantor założył, że jest to 1 , to jest hipoteza continuum .

Drugi to liczba porządkowa , która uogólnia liczby całkowite, gdy są uporządkowane. Posługuje się w tym celu pojęciem porządku , które wprowadził w 1883 roku. Cantor zapisuje liczby porządkowe literami greckimi, przy czym najmniejsza liczba porządkowa nieskończona, czyli zbioru liczb naturalnych, jest oznaczona ω 0 (dziś po prostu ω). W przypadku liczebników głównych w rzeczywistości używa indeksu porządkowego litery ℵ.

Pierwsze dziesięć przedstawień Cantora dotyczyło teorii liczb , przedmiotu jego pracy magisterskiej. Zgodnie z sugestią profesora Eduarda Heinego , Cantor zajął się analizą. Heine proponuje Cantorowi rozwiązanie problemu, którego rozwiązanie umknęło Dirichletowi , Lipschitzowi , Bernhardowi Riemannowi i samemu Eduardowi Heinemu : jednoznaczność przedstawienia funkcji przez szereg Fouriera . Cantor rozwiązał ten trudny problem w 1869 roku . W latach 1870 i 1872 , Cantor opublikował inne prace na trygonometryczne serii , w tym definicji liczb niewymiernych jak zbieżnych ciągów liczb wymiernych . Jest to jedna z dwóch typowych konstrukcji liczb rzeczywistych . Dedekind, z którym Cantor zaprzyjaźnił się w 1872 roku , cytuje tę pracę w publikacji zawierającej własną konstrukcję liczb rzeczywistych , z tak zwanych wyznań Dedekinda .

Narodziny teorii mnogości są często zaznaczane w artykule Cantora z 1874 roku „O własności systemu wszystkich liczb algebraicznych”, w którym Cantor pokazuje, że liczby rzeczywiste nie są policzalne. Ta demonstracja różni się od bardziej znanej, która wykorzystuje jego argument ukośny z 1891 roku.

Artykuł z 1874 roku zawiera dwie konstrukcje. Pierwsza pokazuje, że liczby algebraiczne rzeczywiste ( pierwiastki rzeczywiste wielomianów o współczynnikach całkowitych) tworzą wynik . Innymi słowy, rzeczywiste liczby algebraiczne są policzalne. Druga konstrukcja zaczyna się od dowolnego ciągu liczb rzeczywistych; używając tej sekwencji, Cantor konstruuje zagnieżdżone segmenty, których przecięcie zawiera liczbę rzeczywistą nie należącą do sekwencji. Ponieważ zawsze możemy skonstruować liczbę rzeczywistą, która nie należy do danego ciągu, liczby rzeczywiste nie mogą tworzyć ciągu. Innymi słowy, liczby rzeczywiste nie są policzalne. Cantor konstruuje liczbę przestępną (tj. liczbę niealgebryczną), stosując swoją drugą konstrukcję do ciągu liczb rzeczywistych algebraicznych. Zauważa również, że jego konstrukcje wznawiają twierdzenie Liouville'a  : Każdy przedział rzeczywisty zawiera nieskończoność liczb przestępnych. W 1878 roku Cantor opublikował konstrukcję pokazującą, że jest „tyle” liczb przestępnych, ile jest liczb rzeczywistych.

W latach 1879-1884 Cantor opublikował w „ Matematische Annalen” (pod redakcją Felixa Kleina ) cykl sześciu artykułów, które stanowią wprowadzenie do jego teorii mnogości. Jednocześnie narastała narastająca opozycja wobec jego idei, kierowana przez Kroneckera , który dopuszczał pojęcia matematyczne tylko wtedy, gdy można je było skonstruować w skończonej liczbie kroków z liczb całkowitych, które uważał za podane jedynie intuicyjnie. Dla Kroneckera hierarchia nieskończoności Cantora była niedopuszczalna, a zaakceptowanie obecnej koncepcji nieskończoności otworzyłoby drzwi do paradoksów, które zagrażałyby całemu matematycznemu gmachowi. W tym okresie Cantor odkrył również zespół noszący jego imię .

Piąty artykuł z tej serii, „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre” („Podstawy ogólnej teorii agregatów”) jest najważniejszym z sześciu i został również opublikowany jako osobna monografia. Zawierała odpowiedzi Cantora na jego krytykę i ukazywała, w jaki sposób liczby nieskończone tworzą systematyczne rozszerzenie liczb naturalnych. Zaczyna się od zdefiniowania uporządkowanych zestawów; Liczby porządkowe są następnie wprowadzane jako typy porządkowe tych zbiorów. Cantor następnie definiuje dodawanie i mnożenie liczb porządkowych. W 1885 roku Cantor rozszerzył swoją teorię rodzajów porządków, przy czym liczby porządkowe stały się po prostu przypadkiem szczególnym.

W 1891 opublikował artykuł zawierający jego elegancki „ argument diagonalny ”, aby pokazać istnienie niepoliczalnego zbioru; zastosował ten sam pomysł, aby udowodnić twierdzenie Cantora  : kardynał zbioru części zbioru A jest ściśle większy niż kardynał A. Ustanowiło to bogactwo hierarchii zbiorów nieskończonych oraz arytmetycznych kardynałów i liczb porządkowych, które zdefiniował Cantor . Argument diagonalny odgrywa zasadniczą rolę w rozwiązaniu problemu zatrzymania oraz w dowodzie pierwszego twierdzenia Gödla o niezupełności .

W latach 1895 i 1897 Cantor opublikował dwuczęściowy artykuł w Mathematische Annalen  ; były to jego ostatnie znaczące wkłady w teorię mnogości. Pierwszy artykuł zaczyna się od zdefiniowania zbiorów, podzbiorów itp. w sposób, który jest dziś powszechnie akceptowalny; ponownie przeanalizowano arytmetykę kardynałów i liczb porządkowych. Cantor chciałby, aby drugi artykuł zawierał dowód hipotezy continuum , ale musiał zadowolić się wyjaśnieniem swojej teorii zbiorów i porządków porządkowych. Próbuje również pokazać, że jeśli A i B są takimi zbiorami, że A jest w bijekcji z podzbiorem B i B w bijekcji z podzbiorem A, to A i B są równoważne; Ernst Schröder przedstawił to twierdzenie nieco wcześniej, ale jego dowód, podobnie jak dowód Cantora, był błędny; Prawidłowego dowodu dostarcza Felix Bernstein w swojej tezie z 1898 r., stąd obecna nazwa twierdzenie Cantor – Bernstein .

Uwagi i referencje

Uwaga

  1. Zastrzeżenia te podjęli później Brouwer iw mniejszym stopniu Hermann Weyl . Zastrzeżenia merytoryczne miał również Ludwig Wittgenstein .

Bibliografia

  1. Christiane Chauviré , „Matematyka w niewłaściwy sposób” , w Wielkie lustro: eseje o Pierce i Wittgensteinie , Presses Univ. Franche-Comté, kol.  "Literatury Annals Uniwersytetu Franche Comté / Agon" ( N °  11),1 st styczeń 2003, 386  s. ( ISBN  9782848670447 , czytaj online ) , s.  331-342
  2. "  Arytmetyka porządkowa i kardynalna oraz hierarchie na zbiorach  " , na HEC Lozanna
  3. „  Cantor and the Infinites  ” , na bibnum.education.fr .
  4. ru: muzyczna encyklopedia (Музыкальная энциклопедия)
  5. De transformacji formarum ternariarum quadraticarum , do przeczytania online http://www.mdz-nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=urn:nbn:de:bvb:12-bsb10479914-5
  6. Jean Cavaillès , przedmowa do wydania korespondencji Cantor-Dedekind, wznowiona w Philosophie mathématique , s. 179-185
  7. (w) JW Daubensee, Georg Cantor Jego matematyka i filozofia nieskończoności , rozdz. 6 .
  8. §3.2, (en) Ignacio Jané, „  Rola absolutnej nieskończoności w koncepcji zbioru Cantora  ” , Erkenntnis , tom.  42, n o  3,maj 1995, s.  375-402 ( DOI  10.1007 / BF01129011 )
  9. Jean Cavaillès, Filozofia matematyczna , s.  211.
  10. Artykuł oryginalny: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen . Tłumaczenie na język angielski: Na własności systemu wszystkich liczb rzeczywistych algebraicznych . Szczegółową analizę i historię tego artykułu można znaleźć w pierwszym artykule Cantora na temat teorii mnogości  (en) lub Georg Cantor and Transcendental Numbers lub Patrick Dehornoy , „  Cantor et les infinis  ” , na BibNum ,2009.
  11. Joseph Liouville (1809-1882), „  O istnieniu liczb transcendentnych  ” , na BibNum ,maj 1844, z analizą Michela Mendes France .
  12. W artykule z 1878 r. Cantor konstruuje jedynie bijekcję między zbiorem liczb niewymiernych a zbiorem liczb rzeczywistych (zob . Przyczynek do teorii zbiorów , s.  323-324). Jednak w następnym roku wskazał, że jego konstrukcja dotyczy każdego zbioru utworzonego przez usunięcie niezliczonych liczb z rzeczywistego przedziału (zob. O nieskończonych i liniowych zbiorach punktów , s.  353).

Bibliografia

Teksty Kantora

Należy również zwrócić uwagę na dokument elektroniczny dostępny na stronie internetowej BNF ( Przeczytaj online ), który zawiera większość dzieł Cantora przetłumaczonych na język francuski: [1872], [1874], [1878], [1879], [1880], [1882], [1883a], [1883b], [1884], ze wstępem Pierre'a Dugaca . To powiedziawszy, jeśli niektóre z tych tłumaczeń zostały zrewidowane przez Poincaré , inne są często złe i nieliczne i dlatego należy się z nimi zapoznać z zachowaniem wszelkich niezbędnych środków ostrożności ( więcej szczegółów w prezentacji Pierre'a Dugaca ).

Książki o Cantorze i jego twórczości

Dokument użyty do napisania artykułu : dokument używany jako źródło tego artykułu.

Te dwa artykuły są głównymi źródłami wersji angielskiej, a więc i tej.

Zobacz również

Inspirował charakter w powieści Singera Villa des hommes przez Denis Guedj ( 2007 ).

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne