Przestrzeń Hilberta

W matematyce , A przestrzeń Hilberta jest prawdziwe (odp. Kompleks ) miejsca wektora obdarzone euklidesowa (odp. Hermitowskie ) skalarnej produktu , co sprawia, że jest możliwe zmierzenie długości i kąty i zdefiniować ortogonalności . Ponadto przestrzeń Hilberta jest kompletna , co pozwala na zastosowanie technik analitycznych . Przestrzenie te zawdzięczają swoją nazwę niemieckiemu matematykowi Davidowi Hilbertowi .

Koncepcja przestrzeni Hilberta rozszerza metody algebry liniowej poprzez uogólnienie pojęć przestrzeni euklidesowej (takich jak płaszczyzna euklidesowa lub zwykła przestrzeń wymiaru 3 ) i przestrzeni hermitowskiej do przestrzeni o dowolnym wymiarze (skończonym lub nieskończonym).

Przestrzenie Hilberta pojawiają się często w matematyce i fizyce, głównie jako przestrzenie funkcjonalne o nieskończonym wymiarze. Pierwsze przestrzenie Hilberta badano pod tym względem w ciągu pierwszej dekady XX th  wieku przez Davida Hilberta, Erhard Schmidt i Frigyes Riesz . Są niezbędnymi narzędziami w teorii równań różniczkowych cząstkowych , mechanice kwantowej , analizie Fouriera (która obejmuje zastosowania do przetwarzania sygnałów i wymiany ciepła ) oraz teorii ergodycznej, która stanowi matematyczną podstawę termodynamiki . John von Neumann ukuł wyrażenie przestrzeń Hilberta na określenie abstrakcyjnej koncepcji leżącej u podstaw wielu z tych zastosowań. Sukcesy metod, które przyniosły przestrzenie Hilberta, doprowadziły do ​​bardzo płodnej epoki analizy funkcjonalnej . Oprócz klasycznych euklidesowych, przestrzenie Hilberta najczęstszych przykładami są kwadratowe przestrzeni Zintegrowana , że Sobolewa składające ogólnych funkcji i Hardy'ego z funkcji holomorficznymi .

Intuicja geometryczna jest zaangażowana w wiele aspektów teorii przestrzeni Hilberta. Przestrzenie te mają twierdzenia podobne do twierdzenia Pitagorasa i reguły równoległoboku . W matematyce stosowanej rzuty ortogonalne na podprzestrzeń (co odpowiada spłaszczeniu przestrzeni niektórych wymiarów) odgrywają ważną rolę w problemach optymalizacyjnych wśród innych aspektów teorii. Element przestrzeni Hilberta można jednoznacznie zdefiniować za pomocą jego współrzędnych względem bazy Hilberta , analogicznie do współrzędnych kartezjańskich w ortonormalnej podstawie płaszczyzny. Gdy ten zestaw osi jest policzalny , przestrzeń Hilberta można postrzegać jako zbiór sumowanych kwadratów . Operatory liniowe w przestrzeni Hilberta są podobne do obiektów betonowych: we „właściwych” przypadkach są to po prostu przekształcenia, które rozciągają przestrzeń wzdłuż różnych współczynników w dwóch na dwa prostopadłe kierunki, w sensie określonym przez badanie ich widmo .

Definicja i przykłady

Przykład wprowadzający: Przestrzeń euklidesowa o wymiarze 3

Jednym z najpowszechniejszych przykładów przestrzeni Hilberta jest trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa , oznaczona ℝ 3 , wyposażona w zwykły iloczyn skalarny . Skalarne współpracownicy produktów dwóch wektorów i w zauważyć liczbę rzeczywistą . Jeśli i mają odpowiednie współrzędne kartezjańskie i , to ich iloczyn skalarny to: x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}x⋅y{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}(x1,x2,x3){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}(y1,y2,y3){\ Displaystyle (r_ {1}, r_ {2}, r_ {3})}

x⋅y=x1y1+x2y2+x3y3.{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {r} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3}.}

Iloczyn skalarny spełnia następujące właściwości:

1. że jest symetryczna na wszystkich wektorów i ,  ;x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}x⋅y=y⋅x{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {x}}
2. jest liniowa w odniesieniu do pierwszego argumentu: dla wszystkich liczb rzeczywistych i oraz wszystkich wektorów , mamy równość  ;w{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}x1,x2,y{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y}(wx1+bx2)⋅y=wx1⋅y+bx2⋅y{\ Displaystyle (ax_ {1} + bx_ {2}) \ cdot y = ax_ {1} \ cdot y + bx_ {2} \ cdot y}
3. jest określony dodatnio: dla dowolnego wektora iloczyn jest dodatni i zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy wektorowi zerowemu .x{\ displaystyle \ mathbf {x}}x⋅x{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}} x{\ displaystyle \ mathbf {x}}

Iloczyn skalarny jest ściśle powiązany z geometrią euklidesową za pomocą następującego wzoru, który wiąże iloczyn skalarny dwóch wektorów i ich długości (oznaczonych odpowiednio i ) oraz kąt, który tworzą: x{\ displaystyle \ mathbf {x}}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}‖x‖{\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ |}‖y‖{\ Displaystyle \ | \ mathbf {y} \ |} θ{\ displaystyle \ theta}

x⋅y=‖x‖‖y‖sałata⁡θ.{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ | \ mathbf {x} \ | \, \ | \ mathbf {y} \ | \, \ cos \ theta.}

Każda operacja na wektorach, która spełnia powyższe trzy właściwości, jest również nazywana iloczynem skalarnym . Przestrzeń liniowa wyposażona iloczynu skalarnego nazywa prawdziwy prehilbertian przestrzeń.

Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią przedhilbertowską, która ma również właściwość analizy matematycznej  : jest kompletna , argument oparty na granicach ciągów wektorów w tej przestrzeni.

Definicja

Przestrzeń Hilberta to kompletna przestrzeń przedhilbertowska , czyli przestrzeń Banacha, której norma ║ · ║ pochodzi od iloczynu skalarnego lub hermitowskiego〈·, ·〉 według wzoru

‖x‖=⟨x,x⟩.{\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}.}

Jest to uogólnienie w dowolnym wymiarze (skończonym lub nieskończonym) przestrzeni euklidesowej lub hermitowskiej .

Przykłady

• Euklidesowa przestrzeń ℝ n wyposażony w zwykły produkt skalarnego.
• Przestrzeń hermitowska ℂ n wyposażona w zwykły iloczyn hermitowski.
• Przestrzeń l 2 ([ , b ]) w funkcji [ , b ] z wartościami ℂ AND kwadratowy zabudowy z konwencją że dwie równe funkcji prawie wszędzie równa (patrz artykuł przestrzeń L s ), pod warunkiem z⟨fa,sol⟩=∫wbfa(x)sol(x)¯ rex.{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ overline {g (x)}} ~ \ mathrm {d} x.}
• Przestrzeń sekwencje £ -l 2 , składający się z sekwencji liczb zespolonych, takich jak(unie)nie∈NIE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}∑nie=0∞|unie|2<+∞,{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | u_ {n} | ^ {2} <+ \ infty}iloczyn hermitowski dwóch ciągów i będący z definicji sumą szereguu{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}∑nie=0∞uniev¯nie.{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n} {\ overline {v}} _ {n}.}

Klasyfikacja

W przestrzeni Hilberta o nieskończonym wymiarze zwykłą koncepcję bazy zastępuje się pojęciem podstawy Hilberta (lub podstawy Hilberta), która nie pozwala już opisać wektora za pomocą jego współrzędnych, ale zbliżyć się do niego przez nieskończoną serię wektorów, z których każdy o skończonych współrzędnych. Jesteśmy zatem u zbiegu algebry liniowej i topologii .

• Dwie przestrzenie Hilberta przyjmujące równoważne zasady Hilberta są izomorficzne izometrycznie , innymi słowy: każda przestrzeń Hilberta z podstawą Hilberta X jest izomorficzna do ℓ 2 ( X ) . Na przykład: każda dająca się oddzielić przestrzeń Hilberta (o nieskończonym wymiarze) jest izomorficzna do ℓ 2 (ℕ) = ℓ 2 . Twierdzenie Riesza-Fischera można również potraktować jako szczególny przypadek tego wyniku.
• I odwrotnie, dwie bazy Hilberta z tej samej przestrzeni Hilberta mają tę samą liczność . Ta liczba kardynalna , zwana hilbertowskim wymiarem przestrzeni, charakteryzuje ją zatem aż do izomorfizmu, a zatem odgrywa taką samą rolę jak wymiar w kategorii przestrzeni wektorowych na stałym polu .
• Przestrzeń Hilberta ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jej wymiar Hilberta jest skończony iw tym przypadku te dwie liczby całkowite są równe.

Twierdzenie Frécheta-von Neumanna-Jordana

Przestrzeń Banacha (odpowiednio znormalizowana przestrzeń wektorowa ) to przestrzeń Hilberta (odpowiednio przestrzeń przedhilbertowska ) wtedy i tylko wtedy, gdy jej norma spełnia równość

‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2){\ Displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 (\ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2})},

co oznacza, że ​​suma kwadratów czterech boków równoległoboku jest równa sumie kwadratów jego przekątnych ( zasada równoległoboku ).

To twierdzenie pochodzi od Maurice'a René Frécheta , Johna von Neumanna i Pascuala Jordana .

Tożsamość polaryzacji  :

• w rzeczywistości iloczyn skalarny jest zdefiniowany przez ⟨x,y⟩=14(‖x+y‖2-‖x-y‖2){\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ Frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} {\ bigr )}} ;
• w przypadku złożonym prawy iloczyn półtoraliniowy hermitowski jest zdefiniowany przez ⟨x,y⟩=⟨x,y⟩1+ja⟨x,jay⟩1{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle x, y \ rangle _ {1} + {\ rm {i}} \ langle x, {\ rm {i}} y \ rangle _ {1}}, lub⟨x,y⟩1=14(‖x+y‖2-‖x-y‖2){\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {1} = {\ Frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2 } {\ bigr)}}a i jest jednostką urojoną (liczba zespolona identyfikowana z parą liczb rzeczywistych (0, 1)).

Aplikacje

• To właśnie w ramach przestrzeni Hilberta powstała teoria formuł wariacyjnych , stosowana w wielu dziedzinach fizyki.
• W mechanice kwantowej stan układu jest reprezentowany przez wektor w przestrzeni Hilberta.

Bibliografia

• (fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „  Hilbert Space  ” ( zobacz listę autorów ) .
• Pierre Colmez , Elementy analizy i algebry (i teorii liczb) , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique ,2009, 469  str. ( ISBN  978-2-7302-1563-3 , czytaj online ) , „Espaces de Hilbert”, s.  159-164

1. Colmez 2009 , s.  159.

Załączniki

Powiązane artykuły

• Twierdzenie Riesza o reprezentacji
• Twierdzenie o rzutowaniu na zamkniętej wypukłości w przestrzeni Hilberta
• Twierdzenie Laxa-Milgrama
• Twierdzenie Stampacchia
• Przestrzeń Sobolewa
• Środek pomocniczy
• Transformacja Aluthge'a
• Słaba zbieżność w przestrzeni Hilberta

Link zewnętrzny

Kurs analizy - Jacques Harthong

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">