W matematyce najprostszą formą reguły równoległoboku jest elementarna geometria . Mówi, że suma kwadratów długości czterech boków równoległoboku jest równa sumie kwadratów długości jego dwóch przekątnych :
lub ponieważ dwa przeciwległe boki mają tę samą długość:
(W przypadku, gdy równoległobok jest prostokątem , przekątne mają równą długość, co przywraca tę regułę z powrotem do twierdzenia Pitagorasa ).
Każda przestrzeń afiniczna, której powiązana przestrzeń wektorowa ma normę, dziedziczy więc odległość . Powyższa reguła, dotycząca odległości w równoległoboku, przekłada się na normę przez następującą tożsamość dla wszystkich wektorów x i y :
Powyższa tożsamość obowiązuje w przestrzeniach przedhilbertowskich (zwłaszcza w przestrzeniach Hilberta ), gdzie norma jest określona z iloczynu skalarnego przez
Powyższe sformułowanie wektorowe ma sens w każdej znormalizowanej przestrzeni wektorowej. Niezwykłym faktem jest to, że tożsamość pozostaje ważna tylko wtedy, gdy norma jest wydedukowana z iloczynu skalarnego: jest to twierdzenie Frécheta-von Neumanna-Jordana (iloczyn skalarny, który generuje tę normę, jest wówczas unikalny, zgodnie z tożsamością polaryzacji l ' ) .
Norma na przestrzeni wektorowej V weryfikuje tożsamość równoległoboku wtedy i tylko wtedy, gdy weryfikuje tożsamość mediany : dla dowolnego trójkąta ( ABC ) (w przestrzeni afinicznej o kierunku V ), oznaczając E środek AC :
Ta równoważność wynika z równości BD = 2 BE , gdzie D oznacza punkt taki, że ( ABCD ) jest równoległobokiem. Jest to równie natychmiastowe przez porównanie powyższego sformułowania wektorowego tożsamości równoległoboku i przepisania tego z mediany (z ) w postaci
Dla dowolnej przestrzeni przedhilbertowskiej H mamy, bardziej ogólnie:
udać się
(rozwijając prawą kończynę stopniowo lub bezpośrednio).
Ta tożsamość pozwala wykazać, że odległość Banacha-Mazura między ℓ p ( n ) a ℓ 2 ( n ) jest równa n | 1 / p - 1/2 | .
Twierdzenie o rzutowaniu na zamkniętej wypukłości , której głównym argumentem jest niniejsze twierdzenie
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">