Zerowa moc zero
Zero do potęgi zera , oznaczone 0 0 , jest wyrażeniem matematycznym, które nie ma oczywistej wartości. Nie ma zgody co do najlepszego podejścia: zdefiniowanie wyrażenia (nadanie mu wartości 1) lub pozostawienie go niezdefiniowanym. Dla każdej z możliwości istnieje kilka uzasadnień, które zostały opisane w tym artykule. W algebrze i teorii mnogości powszechnie przyjmuje się, że odpowiedzią jest 0 0 = 1, podczas gdy w analizie wyrażenie jest zwykle niezdefiniowane. Programy komputerowe również mają różne metody obsługi tego wyrażenia.
Pełni wystawcy
Wiele formuł zawierających naturalne liczby całkowite wymaga zdefiniowania 0 0 = 1. Na przykład, jeśli widzimy b 0 jako pusty iloczyn , powinno być zdefiniowane jako 1, nawet gdy b = 0 . W kombinatoryki , b 0 oznacza liczbę 0-krotki w zestawie z b elementów; jest dokładnie jeden, nawet jeśli b = 0 . Równoważnie interpretacja 0 0 w teorii mnogości to liczba funkcji zbioru pustego w zbiorze pustym; istnieje dokładnie jedna taka funkcja, pusta funkcja .
Wielomiany i szeregi całkowite
Podobnie często konieczne jest zdefiniowanie 0 0 = 1 podczas pracy z wielomianami .
Wielomian jest wyrażeniem postaci, w której jest nieokreślony, a współczynniki są liczbami rzeczywistymi (lub ogólniej elementami pierścienia ). Odnotowuje się zbiór tych wielomianów i sam tworzy pierścień. Wielomian jest jednostką tego pierścienia, innymi słowy jest to jedyny element spełniający następującą własność: pomnożony przez dowolny inny wielomian daje po prostu . Wielomiany można „oszacować”, zastępując X dowolną liczbą rzeczywistą. Dokładniej, biorąc pod uwagę liczbę rzeczywistą , istnieje unikalny morfizm pierścienia, taki jak , zwany morfizmem oceny . Będąc morfizmem pierścienia , to wtedy spełnia . Podsumowując, dla wszystkich specjalizacji od x do liczby rzeczywistej, w tym x = 0.
w0X0+⋯+wnieXnie{\ displaystyle a_ {0} X ^ {0} + \ cdots + a_ {n} X ^ {n}}X{\ styl wyświetlania X}wnie{\ styl wyświetlania a_ {n}}R[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}X0{\ styl wyświetlania X ^ {0}}X0{\ styl wyświetlania X ^ {0}}P(X){\ styl wyświetlania P (X)}P(X){\ styl wyświetlania P (X)}x0{\ styl wyświetlania x_ {0}}Ewax0:R[X]→R{\ displaystyle \ operatorname {ev} _ {x_ {0}}: \ mathbb {R} [X] \ do \ mathbb {R}}Ewax0(x1)=x0{\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {ev} _ {x_ {0}} (x ^ {1}) = x_ {0}}Ewax0(x0)=1{\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {ev} _ {x_ {0}} (x ^ {0}) = 1}x0=1{\ styl wyświetlania x ^ {0} = 1}
Ta perspektywa jest ważna dla wielu tożsamości wielomianowych w kombinatoryce. Na przykład dwumianowy wzór Newtona jest poprawny tylko dla x = 0, jeśli 0 0 = 1 . Podobnie definicja pierścieni szeregów całkowitych wymaga, aby dla dowolnej wartości x . Zatem tożsamości takie jak i są ważne w x = 0 tylko wtedy, gdy 0 0 = 1 .
(1+x)nie=Σk=0nie(niek)xk{\ displaystyle (1 + x) ^ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} x ^ {k}}x0=1{\ styl wyświetlania x ^ {0} = 1}11-x=Σnie=0∞xnie{\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n}}mix=Σnie=0∞xnienie!{\ displaystyle e ^ {x} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}}
Prawdziwi wystawcy
Granice obejmujące operacje algebraiczne często można ocenić, zastępując podwyrażenia granicami. Jeśli wynikowe wyrażenie nie pozwala określić początkowego limitu, wyrażenie to jest nazywane formą nieokreśloną .
Gdy f ( t ) i g ( t ) są funkcjami o wartościach rzeczywistych , które obie zbliżają się do 0 , gdy t zbliża się do liczby rzeczywistej lub ± ∞ ( przy f ( t ) > 0 ), wtedy funkcja f ( t ) g ( t ) nie niekoniecznie muszą mieć granicę 1. Zgodnie z dokładnym wyrażeniem f i g , granica f ( t ) g ( t ) może być dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą , + ∞ lub rozbieżną . Na przykład poniższe funkcje mają postać f ( t ) g ( t ) z f ( t ), g ( t ) → 0 gdy t → 0 + , ale granice są różne:
Limt→0+tt=1,Limt→0+(mi-1t2)t=0,Limt→0+(mi-1t2)-t=+∞,Limt→0+(mi-1t)wt=mi-w{\ displaystyle \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} {t} ^ {t} = 1, \ quad \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} \ w lewo (e ^ {- {\ frac {1} {t ^ {2}}}} \ po prawej) ^ {t} = 0, \ quad \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} \ po lewej (e ^ {- {\ frac {1 } {t ^ {2}}}} \ prawo) ^ {- t} = + \ infty, \ quad \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} \ lewo (e ^ {- {\ frac {1 } {t}}} \ prawo) ^ {at} = e ^ {- a}}.
Innymi słowy, funkcja dwóch zmiennych , która jest ciągła w zbiorze {( x , y ): x > 0}, nie może być rozszerzona na funkcję ciągłą w (0, 0) . Jednak w pewnych warunkach, na przykład gdy f i g są dwiema funkcjami analitycznymi, a f jest dodatnie w otwartym przedziale ] 0, b [ , granica po prawej stronie wynosi zawsze 1.
(x,tak)↦xtak{\ styl wyświetlania (x, y) \ mapsto x ^ {y}}
Kompleksowi wystawcy
Na płaszczyźnie zespolonej funkcja z w może być zdefiniowana dla niezerowej z przez wybranie gałęzi log z następnie przez przyjęcie z w = e w log z . Nie pozwala to na zdefiniowanie 0 w, ponieważ nie ma gałęzi log z zdefiniowanej w z = 0 , a nawet mniej w sąsiedztwie 0.
Historia z różnych punktów widzenia
Debata w sprawie definicji istnieje od co najmniej XIX -tego wieku. W tym czasie większość matematyków zgadzała się, że aż do 1821 r., kiedy Cauchy wymienił nieokreślone formy w tabeli, na tym samym poziomie co . W latach 30. XIX wieku Libri opublikował nieprzekonujący argument , aby wykazać, że . Möbius pomyślał , że jeśli ... Komentator, który po prostu podpisał „S”, podał kontrprzykład , co na jakiś czas uspokoiło debatę. Więcej szczegółów historycznych można znaleźć w pracy Knutha (1992).
00{\ styl wyświetlania 0 ^ {0}}00=1{\ styl wyświetlania 0 ^ {0} = 1}00{\ styl wyświetlania 0 ^ {0}}00{\ displaystyle {\ frac {0} {0}}}00=1{\ styl wyświetlania 0 ^ {0} = 1}Limt→0+fa(t)sol(t)=1{\ displaystyle \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} f (t) ^ {g (t)} \; = \; 1}Limt→0+fa(t)=Limt→0+sol(t)=0{\ displaystyle \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} f (t) \; = \; \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} g (t) \; = \; 0}(mi-1/t)t{\ styl wyświetlania (e ^ {-1 / t}) ^ {t}}
Dziś matematycy interpretują powyższe argumenty na dwa sposoby:
- niektórzy twierdzą, że wartość zależy od kontekstu, więc zdefiniowanie wyrażenia jest problematyczne;00{\ styl wyświetlania 0 ^ {0}}
- inni uważają, że zawsze powinno być definiowane jako równe 1.00{\ styl wyświetlania 0 ^ {0}}
W programach komputerowych
Standard IEEE dotyczący liczb zmiennoprzecinkowych
Standard IEEE 754 dla liczb zmiennoprzecinkowych jest używany w projektowaniu większości bibliotek zajmujących się tymi liczbami. Zaleca szereg operacji, aby obliczyć moc:
-
pow definiuje 0 0 jako równe 1. Jeśli potęga jest liczbą całkowitą, wynik jest taki sam jak dla funkcji pown , w przeciwnym razie wynik jest taki sam jak dla powr (z wyjątkiem kilku wyjątkowych przypadków).
-
pown definiuje 0 0 jako 1. Potęga musi koniecznie być liczbą całkowitą. Wartość jest ustawiona dla zasad ujemnych; na przykład moc (-3.5) to -243.
-
powr traktuje 0 0 jako NaN ( Not-a-Number - niezdefiniowane). Wynikiem jest również NaN dla przypadków takich jak powr (-3.2), gdzie podstawa jest ujemna. Wartość jest ustawiana na wykładnik x log (podstawa) .
Wariant pow jest inspirowany funkcją pow standardu C99 , głównie ze względu na kompatybilność. Jest to szczególnie przydatne w przypadku języków programowania z pojedynczą funkcją „mocy”. Warianty pown i powr zostały wprowadzone ze względu na konflikty w wykorzystaniu funkcji potęgi oraz różne punkty widzenia wskazane powyżej.
W językach programowania
Standardowej biblioteki z C i C ++ nie przewidują dochodów 0 0 (może wystąpić błąd domena). W normie C99, a dokładniej w jej aneksie normatywnym F, wymagany jest wynik równy 1, ponieważ wartość ta jest bardziej użyteczna niż NaN dla najważniejszych zastosowań (np. z potęgami całkowitymi). Średnia Java i metoda Système.Math.Pow z .NET framework również leczyć 0 0 jako równy 1.
Oprogramowanie matematyczne
-
SageMath upraszcza b 0 do 1, nawet jeśli ograniczenia są nałożone na b . Przyjmuje, że 0 0 jest równe 1, ale nie upraszcza 0 x dla innych wartości x .
-
Maple rozróżnia liczby całkowite 0, 1, ... i zmiennoprzecinkowe 0,0, 1,0, ... (zwykle oznaczane jako 0., 1, ...). Jeśli x nie jest obliczane jako liczba, wówczas wyrażenia x 0 i x 0.0 są obliczane odpowiednio jako 1 ( integer ) i 1.0 ( float ). Z drugiej strony wyrażenie 0 x jest szacowane jako liczba całkowita 0, a 0.0 x jest szacowane jako 0. x . Jeśli zarówno podstawa, jak i wykładnik są równe zero (lub wyliczą się na zero), wynik jest typu Float (niezdefiniowany), jeśli wykładnikiem jest float 0.0; z oznacza liczbę całkowitą, jak wykładnik, ocena 0 0 wyniki w całkowitą 1, a oceny 0. 0 wyniki w obrocie 1.0.
- Macsyma upraszcza również b 0 do 1, mimo że nie ma ograniczeń na b , ale wyświetla komunikat o błędzie dla 0 0 . Dla x > 0 upraszcza 0 x do 0 .
-
Mathematica i WolframAlpha upraszczają b 0 do 1, mimo że ograniczenia są nałożone na b . Chociaż Mathematica nie upraszcza 0 x , WolframAlpha zwraca dwa wyniki, 0 dla x > 0 i "nieokreślony" dla liczby rzeczywistej x . Mathematica i WolframAlpha deklarują 0 0 jako "nieokreśloną formę".
-
Kalkulatory Matlab , Python , Magma , GAP , Singular , PARI / GP oraz Google i iPhone oceniają 0 0 w 1.
Bibliografia
-
Nicolas Bourbaki , Elementy matematyki, Teoria mnogości, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.
-
Nicolas Bourbaki , Algebra , Springer,1970, §III.2 nr 9: „Unikalny jednomian stopnia 0 jest elementem jednostkowym ; często jest utożsamiany z elementem jednostkowym 1 stopnia ”.W[(Xja)ja∈ja]{\ displaystyle A [(X_ {i}) _ {i \ w I}]}W{\ styl wyświetlania A}
-
Nicolas Bourbaki , Algebra , Springer,1970, §IV.1 nr 3.
-
"Niektóre podręczniki pozostawiają wielkość 0 0 niezdefiniowaną, ponieważ funkcje x 0 i 0 x mają różne wartości graniczne, gdy x spada do 0. Ale to błąd. Musimy zdefiniować x 0 = 1 , dla wszystkich x , jeśli twierdzenie dwumianowe ma być poprawne, gdy x = 0 , y = 0 i/lub x = - y . Twierdzenie dwumianowe jest zbyt ważne, aby można je było arbitralnie ograniczać! Natomiast funkcja 0 x jest całkiem nieważna ”. (en) Ronald Graham , Donald Knuth i Oren Patashnik , Matematyka konkretna , Czytanie (msza) / Menlo Park (Kalifornia) / Paryż itd., Addison Wesley Longman Publishing Co,5 stycznia 1989, 1 st ed. , 625 pkt. ( ISBN 0-201-14236-8 ) , „Współczynniki dwumianowe” , s. 162
-
SC Malik i Savita Arora, Analiza matematyczna , Nowy Jork, Wiley ,1992, 903 s. ( ISBN 978-81-224-0323-7 , czytaj online ) , s. 223
„W zasadzie w granicach cp ( x ) / ψ ( x ) przy 1 = x = w przypadku granice zarówno funkcji rozwiązaniu jest równa wartości granicznej liczniku podzielonej przez mianownik. Ale co się stanie, gdy obie granice wyniosą zero? Podział (0/0) staje się wtedy bez znaczenia. Taki przypadek jest znany jako forma nieokreślona. Inne takie formy to ∞ / ∞ 0 × ∞, ∞ - ∞, 0 0 , 1 ∞ i ∞ 0 . "
-
LJ Paige, „ Notatka o formach nieokreślonych ”, American Mathematical Monthly , tom. 61, n o 3,Marzec 1954, s. 189–190 ( DOI 10.2307 / 2307224 , JSTOR 2307224 )
-
sci.math FAQ: Co to jest 0 ^ 0?
-
Rotando i Korn, „ Nieokreślona forma 0 0 ” , „ Matematyczne Stowarzyszenie Ameryki” , tom. 50, n o 1,1977, s. 41-42 ( DOI 10.2307 / 2689754 , JSTOR 2689754 )
-
Lipkin, „ Na nieokreślonej formie 0 0 ”, Mathematical Association of America , t. 34, n o 1,2003, s. 55-56 ( DOI 10.2307 / 3595845 , JSTOR 3595845 )
-
"Ponieważ log (0) nie istnieje, 0 z jest niezdefiniowane. Dla Re ( z )> 0 , definiujemy go arbitralnie jako 0." George F. Carrier, Max Krook i Carl E. Pearson, Funkcje zmiennej zespolonej: teoria i technika , 2005, s. 15
-
"Dla z = 0 , w ≠ 0 , definiujemy 0 w = 0 , podczas gdy 0 0 nie jest zdefiniowane." Mario Gonzalez, Klasyczna analiza zespolona , Chapman i Hall, 1991, s. 56.
-
"... Zacznijmy od x = 0. Tutaj x x jest nieokreślone." Mark D. Meyerson, Wrzeciono x x , Magazyn Matematyki 69 , nr. 3 (czerwiec 1996), 198-206.
-
Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). W jego Dziełach wszystkich , seria 2, tom 3.
-
Guillaume Libri, Uwaga o wartościach funkcji 0 0 x , Journal für die Reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.
-
Guillaume Libri, Pamiętnik o funkcjach nieciągłych, Journal für die Reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
-
AF Möbius, " Beweis der Gleichung 0 0 = 1, nach JF Pfaff " ["Dowód równania 0 0 = 1, zgodnie z JF Pfaff"], Journal für die reine und angewandte Mathematik , tom. 12,1834, s. 134-136 ( czytaj online )
-
Przykładami są Edwards i Penny (1994). Rachunek , wyd. 4, Prentice-Hall, s. 466 oraz Keedy, Bittinger i Smith (1982). Algebra Dwa. Addison-Wesley, s. 32.
-
Donald E. Knuth, Dwie notatki o notacji, Amer. Matematyka. Miesięczny 99 nie. 5 (maj 1992), 403–422 ( arXiv: matematyka/9205211 [math.HO] ).
-
Jean-Michel Muller , Nicolas Brisebarre , Florent de Dinechin , Claude-Pierre Jeannerod , Vincent Lefèvre , Guillaume Melquiond , Nathalie Revol , Damien Stehlé i Serge Torres , Podręcznik arytmetyki zmiennoprzecinkowej , Birkhäuser ,2010, 1 st ed. ( LCCN 2009939668 , DOI 10.1007 / 978-0-8176-4705- 6 ) , s . 216 ( ISBN 978-0-8176-4705-6 ) (online), ( ISBN 0-8176-4704-X ) (druk)
-
http://grouper.ieee.org/groups/754/email/msg03270.html (początek dyskusji na temat funkcji zasilania dla rewizji standardu IEEE 754, maj 2007)
-
http://grouper.ieee.org/groups//754/email/msg03292.html (propozycja wariantów w dyskusji o funkcjach zasilania dla rewizji standardu IEEE 754, maj 2007)
-
John Benito, uzasadnienie międzynarodowego standardu — języki programowania — C ,kwiecień 2003, 5,1 th ed. ( przeczytaj online [PDF] ) , s. 182
-
„ Matematyka (Java Platform SE 8) pow ” , Oracle
-
„ Biblioteka klas .NET Framework Math.Pow Method ” , Microsoft
-
" Arkusz szałwi obliczający x ^ 0 " , Jason Grout
-
„ Wolfram Alpha oblicza b ^ 0 ” , Wolfram Alpha LLC, dostęp 25 kwietnia 2015 r.
-
„ Wolfram Alpha oblicza 0 ^ x ” , Wolfram Alpha LLC, dostęp 25 kwietnia 2015 r.
-
„ Wolfram Alpha oblicza 0 ^ 0 ” , Wolfram Alpha LLC, dostęp 25 kwietnia 2015 r.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">