Odległość ultrametryczna

W matematyce , a dokładniej w topologii , odległość ultrametryczna to odległość d nad zbiorem E spełniająca nierówność ultratriokątną:

{\ Displaystyle d (x, z) \ równoważnik \ max (d (x, r), d (r, z))}

Przestrzenią metryczną którego spełnia odległość ta właściwość mówi się ultrametric .

Definicja i przykłady

Niech E będzie zestaw ; ultrametric odległość (w E ), nazywany jest stosowanie weryfikującej następujące właściwości: ${\ Displaystyle d: \ mathrm {E} \ razy \ mathrm {E} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$

Nazwisko	własność
symetria	${\ Displaystyle \ forall x, r \ in \ mathrm {E}, \ d (x, r) = d (r, x)}$
separacja	${\ Displaystyle \ forall x, r \ in \ mathrm {E}, \ d (x, r) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$
nierówność ultratroniczna	${\ displaystyle \ forall x, r, z \ in \ mathrm {E}, \ d (x, z) \ leq \ max (d (x, r), d (r, z))}$

Biorąc pod uwagę symetrię, nierówność ultratroniasta oznacza, że w trójkącie długość każdego boku jest mniejsza lub równa większej z długości pozostałych dwóch boków (a więc sumie tych dwóch długości, która jest wyrażona przez l ' trójkątny nierówności ).

Trywialna odległość

Dowolny zestaw można wyposażyć w tzw. Odległość trywialną lub dyskretną zdefiniowaną przez:

{\ Displaystyle d (x, y) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {si}} x = y \\ 1 i {\ tekst {si}} x \ neq y \ koniec {przypadków}}}

Nierówność

{\ Displaystyle d (x, z) \ równoważnik \ max (d (x, r), d (r, z))}

jest prawdą, czy x jest równe z, czy nie. Jest to zatem odległość ultrametryczna.

P -adyczna odległość na zbiorze ℚ

Dla liczby pierwszej p możemy zdefiniować p -adyczną wartość dowolnej niezerowej liczby wymiernej r . ${\ displaystyle v_ {p} (r)}$

Łatwo udowodnimy, że ta aplikacja weryfikuje

{\ Displaystyle v_ {p} (r + r ') \ geq \ inf (v_ {p} (r), v_ {p} (r'))}

{\ Displaystyle v_ {p} (- r) = v_ {p} (r).}

Następnie definiujemy odległość p -adyczną na ℚ przez:

{\ Displaystyle d (x, y) = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {si}} x = y \\ p ^ {- v_ {p} (xy)} i {\ tekst {si}} x \ neq y \ end {przypadki}}}

Poprzednia własność łatwo prowadzi do nierówności ultrametrycznej. Pozostałe dwie kontrole są łatwe. $v_p$

Jest to zatem rzeczywiście ultrametryczna odległość na ℚ.

Inne przykłady

Niech X będzie dowolnym zbiorem i E = X ℕ wszystkie apartamenty z wartościami X . Zapewniamy E z całkowitym ultrametric struktury przestrzeni stawiając ${\ Displaystyle k (x, y) = \ inf \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid x_ {n} \ neq y_ {n} \}}$ ( innymi słowy : a jeśli , to ranga pierwszego terminu, w którym dwie sekwencje się różnią), to ${\ Displaystyle k (x, x) = + \ infty}$ $x \ ne y$ ${\ Displaystyle k (x, y)}$ ${\ Displaystyle d (x, y) = {\ Frac {1} {1 + k (x, y)}}}$ lub znowu, dla arbitralnej rzeczywistości : ${\ displaystyle a> 1}$ ${\ Displaystyle d_ {a} (x, y) = a ^ {- k (x, y)}}$ ,która to odległość równomiernie równoważne do . $re$ Dla X = {0, 1} otrzymujemy przestrzeń Cantora, a dla X = ℕ przestrzeń Baire'a .
W genetyce odległość między genotypami wzdłuż gałęzi drzewa filogenetycznego można zmierzyć za pomocą odległości ultrametrycznej.

Nieruchomości

Oto niektóre właściwości przestrzeni ultrametrycznej, które wydają się sprzeczne z intuicją.

Nie ma przecinających się piłek w tym sensie, że jeśli dwie otwarte kule (lub dwie zamknięte kule ) mają wspólny punkt, to jedna zawiera drugą: ${\ Displaystyle B (a, r) \ nasadka B (a ', r') \ neq \ varnothing {\ tekst {et}} r \ równoważnik r '\ Strzałka w prawo B (a, r) \ podzbiór B (a ', r')}$ .
Dowolny punkt piłki jest środkiem: ${\ Displaystyle \ forall x \ w B (a, r) \ quad B (x, r) = B (a, r)}$ .
W przestrzeni metrycznej każda otwarta kula jest otwarta , każda zamknięta kula jest zamknięta . W przestrzeni ultrametrycznej mamy również: Każda zamknięta kula o niezerowym promieniu jest otwarta. Każda otwarta kula jest zamknięta. W konsekwencji każda ultra- metryczna przestrzeń topologiczna ma zerowy wymiar, a zatem jest całkowicie nieciągła , to znaczy, że jej połączone elementy są singletonami .
Biorąc pod uwagę trzy punkty, dwa najbliższe znajdują się w tej samej odległości od trzeciego, innymi słowy: „każdy trójkąt jest równoramienny, a jego podstawa jest co najwyżej równa równym bokom” , co jest również napisane: ${\ Displaystyle d (x, r) \ neq d (r, z) \ Rightarrow d (x, z) = \ max (d (x, r), d (r, z))}$ .
Wystarczy, że sequelem będzie Cauchy'ego $(x_ {n})$ ${\ Displaystyle d (x_ {n}, x_ {n + 1}) \ do 0}$

Podanie

Niech X będzie zbiorem o ultrametrycznej odległości d i niech r będzie liczbą dodatnią. Wszystkie kule o promieniu R określonej na X to partycja X . Zwiększając r od 0, tworzymy łańcuch próby między tymi przegrodami, od najdrobniejszej (dyskretna przegroda dla r = 0 ) do najmniej drobnej (uniwersalna przegroda dla maksimum r ). Jest to jedna z podstaw automatycznej klasyfikacji przez hierarchiczne grupowanie .

Zobacz też

Uwagi i odniesienia

Pojęcie to zostało wprowadzone przez Marca Krasnera , „ Liczby półrzeczywiste i przestrzenie ultrametryczne ”, Cotygodniowe sprawozdania z sesji Akademii Nauk , t. 219 n O 21944, s. 433-435 ( czytaj online ), Który donosi: „Jedyne przestrzenie ultrametryczne rozważane do tej pory wydają się być cenione przez ciało i algebrę ” .
Dyadic Models, Terence Tao , 27 lipca 2007: https://terrytao.wordpress.com/2007/07/27/dyadic-models/
Jean-Luc Verley, Przestrzenie metryczne , w słowniku matematyki; algebra, analiza, geometria , oprac. Albin Michel, s. 652-653 .
Korekta problemu 1.b autorstwa Jean Dieudonné , Elementy analizy , t. I: Podstawy współczesnej analizy [ szczegóły wydań ], rozdz. III, § 14, przegląd wydania angielskiego w Google Books .
W szczególności . ${\ Displaystyle d (x, x) = {\ Frac {1} {1+ \ infty}} = 0}$
W szczególności . ${\ Displaystyle d (x, x) = a ^ {- \ infty} = 0}$
Aby zapoznać się z ich demonstracją, zobacz na przykład to poprawione ćwiczenie na Wikiwersytecie .
(in) Emil Artin , Liczby algebraiczne i funkcje algebraiczne , AMS ,1967, 349, s. ( ISBN 978-0-8218-4075-7 , czytaj online ) , str. 44.
IC Lerman, Podstawy automatycznej klasyfikacji , Gauthier-Villars , 1970.