Wiry Görtlera
Te wiry Görtler są przeciwnych wzdłużnych par wirowe, które pojawiają się w warstwie granicznej rozwijającego się na ścianie wklęsła. Henry Görtler wyjaśnił je jako wynikające z niestabilności związanej z przyspieszeniem odśrodkowym.
Wiry te oddziałują z falami Tollmien-Schlichtinga , co prowadzi do przejścia laminarno-turbulentnego szybciej niż to związane z naturalną niestabilnością, przewidzianą przez równanie Orra-Sommerfelda .
Zaobserwowano doświadczalnie, że ich wygląd jest silnie zależny od turbulencji w górę rzeki.
Numer Görtlera
Zaczynamy od równań Naviera-Stokesa dla przepływu nieściśliwej warstwy granicznej na płaskiej płycie, zdefiniowanego przez równania Blasiusa w układzie krzywoliniowym połączonym ze ścianą (patrz rysunek) i zdefiniowanym przez zmienne (x, y, z). Charakterystyczny wymiar L określamy za pomocą
L=νxU∞{\ displaystyle L = {\ sqrt {\ frac {\ nu x} {U _ {\ infty}}}}}Długość ta jest grubością przemieszczenia warstwy granicznej aż do współczynnika.
Liczba Reynoldsa jest
Rmi=U∞Lν{\ displaystyle Re = {\ frac {U _ {\ infty} L} {\ nu}}}z
U∞{\ displaystyle U _ {\ infty}} |
prędkość z warstwy granicznej
|
ν{\ displaystyle \ nu} |
lepkość kinematyczna
|
x{\ displaystyle x} |
odległość do początku warstwy granicznej
|
Zakłada się, że bezwymiarowy promień krzywizny jest mały w porównaniu do jedności.
RvsL{\ displaystyle {\ frac {R_ {c}} {l}}}
Liczbę Görtlera definiujemy przez
sol=Rmi(LRvs)1/2{\ Displaystyle G = Re \ lewo ({\ Frac {L} {R_ {c}}} \ prawo) ^ {1/2}}Dlatego liczba ta mierzy wpływ krzywizny w porównaniu z efektami lepkości.
Zakłócenia stacjonarnego rozwiązania
Jak w każdym problemie stabilności, na podstawowe rozwiązanie nakłada się zaburzenie, którego bada się przestrzenno-czasową ewolucję:
- prędkość zmniejszona o ma dla składników : jeden nakłada się perturbacji na nim tak że ,U∞{\ displaystyle U _ {\ infty}}u(ξ,y)=[u(ξ,y),v(ξ,y),0]{\ Displaystyle \ mathbf {u} (\ xi, y) = [u (\ xi, y), v (\ xi, y), 0]}u′(ξ,y,z)=(u′,v′,w′){\ Displaystyle \ mathbf {u} '(\ xi, y, z) = (u', v ', w')}||u′||<<||u||{\ Displaystyle || \ mathbf {u} '|| << || \ mathbf {u} ||}
- w ten sam sposób ciśnienie zredukowane przez jest zaburzone przez termin p 'taki, że .ρU∞2{\ displaystyle \ rho U _ {\ infty} ^ {2}}p′<<p{\ displaystyle p '<< p}
Zachowując tylko warunki pierwszego zamówienia, system jest zapisywany:
∂u′∂ξ+∂v′∂y+∂w′∂z=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u '} {\ częściowe \ xi}} + {\ Frac {\ częściowe v'} {\ częściowe y}} + {\ Frac {\ częściowe w '} {\ częściowe z} } = 0}
u∂u′∂ξ+u′∂u∂ξ+v∂u′∂y+v′∂u∂y-∂2u′∂y2-∂2u′∂z2=0{\ Displaystyle u {\ Frac {\ częściowe u '} {\ częściowe \ xi}} + u' {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe \ xi}} + V {\ Frac {\ częściowe u '} { \ częściowe y}} + v '{\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe y}} - {\ frac {\ częściowe ^ {2} u'} {\ częściowe y ^ {2}}} - {\ frac {\ częściowe ^ {2} u '} {\ częściowe z ^ {2}}} = 0}
u∂v′∂ξ+u′∂v∂ξ+v′∂v∂y+v∂v′∂y+2sol2uu′+∂p′∂y-∂2v′∂y2-∂2v′∂z2=0{\ Displaystyle u {\ Frac {\ częściowe v '} {\ częściowe \ xi}} + u' {\ Frac {\ częściowe v} {\ częściowe \ xi}} + v '{\ Frac {\ częściowe v} { \ częściowe y}} + v {\ frac {\ częściowe v '} {\ częściowe y}} + 2G ^ {2} uu' + {\ frac {\ częściowe p '} {\ częściowe y}} - {\ frac {\ częściowe ^ {2} v '} {\ częściowe y ^ {2}}} - {\ frac {\ części ^ {2} v'} {\ częściowe z ^ {2}}} = 0}
u∂w′∂ξ+v∂w′∂y+∂p′∂z-∂2w′∂y2-∂2w′∂z2=0{\ Displaystyle u {\ Frac {\ częściowe w '} {\ częściowe \ xi}} + V {\ Frac {\ częściowe w'} {\ częściowe y}} + {\ Frac {\ częściowe p '} {\ częściowe z}} - {\ frac {\ części ^ {2} w '} {\ części y ^ {2}}} - {\ frac {\ części ^ {2} w'} {\ części z ^ {2}} } = 0}
z warunkami brzegowymi
u′=v′=w′=0{\ displaystyle u '= v' = w '= 0} dla i
y=0{\ displaystyle y = 0}y→∞{\ Displaystyle y \ do \ infty}
Pismo pokazuje liczbę Görtlera jako konsekwencję wymiarowania. Zauważ, że w równaniach zachowania pędu ewolucja składników yiz jest połączona z fluktuacją ciśnienia, ale nie z fluktuacją wx, co jest zgodne ze strukturą wiru.
Ten układ równań ma charakter paraboliczny i dlatego można go rozwiązać, spacerując w przestrzeni (obliczenia przesuwają się samolot po płaszczyźnie).
Wyniki
Do rozwiązania problemu zastosowano dwie metody:
- w pierwszym badamy stabilność systemu przy użyciu perturbacji niezależnych od x
u′=u″(y)sałata(αz)miβx{\ Displaystyle u '= u' '(r) \ cos (\ alfa z) e ^ {\ beta x}}
v′=v″(y)sałata(αz)miβx{\ Displaystyle v '= v' '(r) \ cos (\ alfa z) e ^ {\ beta x}}
w′=w″(y)grzech(αz)miβx{\ Displaystyle w '= w' '(r) \ sin (\ alfa z) e ^ {\ beta x}}
p′=p″(y)sałata(αz)miβx{\ Displaystyle p '= p' '(r) \ cos (\ alfa z) e ^ {\ beta x}}
gdzie liczba falowa zaburzenia α (parametr problemu) jest określona przez
α=2πLλre{\ Displaystyle \ alpha = {\ Frac {2 \ pi L} {\ lambda _ {d}}}}
β jest rozwiązaniem problemu: β> 0 odpowiada rozwiązaniu, które rośnie wx, a więc sytuacji niestabilności.
Metoda polega więc na badaniu rozwiązań
problemu wartości własnych, jak dla
równania Orra-Sommerfelda .
- druga to bezpośrednia symulacja chodzenia w przestrzeni z rozsądnie wybranego początkowego zakłócenia.
Te dwie metody dają podobne wyniki: niestabilność Görtlera pojawia się dla G> 0,3 i dla długich długości fal. Pomiary w tunelu aerodynamicznym prowadzą do znacznie wyższych wartości i są w szczególności zależne od zakłóceń.
Bibliografia
-
(de) Henry Görtler, „ instabilità-umt laminarer Grenzchichten year Konkaven Wiinden gegenber gewissen dreidimensionalen Störungen ” , ZAMM , vol. 21,1941, s. 250-252
-
(w) Henry Görtler, „ O trójwymiarowej niestabilności laminarnych warstw granicznych to wklęsłe ściany ” , NACA Technical Memorandum , vol. 1375,1954( czytaj online )
-
(w) Itiro i Tani Yasuhiko Aihara, „ Wirniki Görtlera i przejście między warstwami ” , ZAMP , vol. 20 N O 5,1969, s. 609-618 ( czytaj online )
-
(en) J. Maciej Floryan, „ On the Görtler niestabilność warstw granicznych ” , Progress in Aerospace Sciences , t. 28,1991, s. 235-271
-
(w :) Hermann Schlichting i Klaus Gersten (tłum . Z języka niemieckiego), Boundary Layer Theory , Berlin / New York, Springer ,2000, 799 str. ( ISBN 3-540-66270-7 , czytaj online )
-
(w) William S. Saric, „ Wirniki Görtlera ” , Annual Review of Fluid Mechanics , vol. 26,1994, s. 379-409
Znajomości
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">