Paraboliczne równanie różniczkowe cząstkowe

W matematyce , A drugiego rzędu liniowy różniczkowych cząstkowych równania ogólna postać, która jest dana przez:

{\ Displaystyle \ sum _ {ja, j = 1} ^ {n} {a_ {ij} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x_ {i} \ częściowe x_ {j}}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {b_ {i} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ częściowy f} {\ częściowy x_ {i}}}} + c (\ mathbf {x}) f = h (\ mathbf {x}), \ \ \ \ mathbf {x} \ in U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}

mówi się, że jest paraboliczny w danym punkcie $x$ otwartego U, jeśli symetryczna macierz kwadratowa współczynników drugiego rzędu przyjmuje n –1 niezerowych wartości własnych i tego samego znaku oraz zerowej wartości własnej , wektor własny związany z nim, oznaczony , jest taki, że , oznaczający wektor n współczynników pierwszego rzędu. ${\ Displaystyle A (\ mathbf {x}) = \ lewo (a_ {ij} \ prawo) _ {1 \ równoważnik ja, j \ równoważnik n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {x})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {b} (\ mathbf {x}) \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x})}$

Przykład

Klasycznym przykładem parabolicznego równania różniczkowego jest równanie ciepła :

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe T} {\ częściowe t}} - D \ Delta T + {\ Frac {S} {\ rho C_ {P}}} = 0}

gdzie $D$ jest dyfuzyjnością cieplną, a $C P$ jest ciepłem właściwym przy stałym ciśnieniu, S oznacza źródło wytwarzania ciepła, $T = T ( t , r )$ temperatura w punkcie $r$ w przestrzeni iw czasie $t$ .

Rzeczywiście, w tym przypadku macierz A jest dana przez i dlatego przyjmuje zerową wartość własną i trzy inne równe - D, a zatem mają ten sam znak. Ponadto wektor własny powiązany z zerową wartością własną, to znaczy $(1,0,0,0),$ wyraźnie nie jest prostopadły do wektora . ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i -D i 0 i 0 \\ 0 i 0 i -D i 0 \\ 0 i 0 i 0 i -D \ koniec {pmatrix }}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b} = (1, 0, 0, 0)}$

Uwagi i odniesienia

H. Reinhard 2004
Jeśli ten ostatni warunek nie zostanie zweryfikowany, równanie ulegnie degeneracji.

Bibliografia

H. Reinhard, Równania różniczkowe cząstkowe, wprowadzenie , Paryż, Dunod Université, coll. "Sup Sciences" ( reprezentujący. 2004) ( 1 st ed. 1991), 291 , str. , miękka ( ISBN 978-2100484225 ).
Maurice Gevrey, O cząstkowych równaniach różniczkowych typu parabolicznego , Gauthier-Villars, 1913

Zobacz też