Twierdzenie Darbouxa (analiza)
W matematyce , a dokładniej w analizie , twierdzenie Darboux jest twierdzeniem zademonstrowanym przez Gastona Darboux w 1875 r., Które rozszerza twierdzenie o wartościach pośrednich na funkcje niekoniecznie ciągłe, ale wyprowadzone tylko z funkcji rzeczywistych .
Stany
Twierdzenie Darbouxa - Niech f będzie funkcją rzeczywistą, różniczkowalną na przedziale [ a , b ] . Dla każdego rzeczywistego k zawartego między a istnieje rzeczywiste c zawarte między a i b , takie że .
fa′(w){\ displaystyle f '(a)}fa′(b){\ displaystyle f '(b)}k=fa′(vs){\ Displaystyle k = f '(c)}
Równoważne sformułowanie - Niech f będzie funkcją rzeczywistą różniczkowalną w przedziale I , to jest przedziałem.
fa′(ja){\ displaystyle f '(I)}
Demonstracje
Jest kilka demonstracji. Oryginalny dowód Darboux opierał się głównie - podobnie jak twierdzenie Rolle'a - na twierdzeniu o wartościach ekstremalnych i twierdzeniu Fermata o ekstremach lokalnych . Inni, jak Lebesgue czy niedawny wariant (poniżej), wykorzystują inne wyniki analizy elementarnej: twierdzenie o wartościach pośrednich połączone z twierdzeniem Rolle'a lub o skończonych wzrostach . Użycie twierdzenia o wartości pośredniej jest czasami niejawne .
Dowód przez twierdzenie o skończonych przyrostach:
Rozważ funkcje ciągłe: iφw:[w,b]⟶Rx⟼{fa′(w) gdyby x=wfa(x)-fa(w)x-w Jeśli nie{\ displaystyle \ varphi _ {a}: {\ początek {tablica} {l | rcl} & [a, b] & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & \ left \ {{\ begin {array} {ll} f '(a) {\ text {si}} x = a \\ {\ frac {f (x) -f (a)} {xa}} {\ text {inaczej}} \ end {tablica}} \ right. \ end {tablica}}}φb:[w,b]⟶Rx⟼{fa′(b) gdyby x=bfa(x)-fa(b)x-b Jeśli nie{\ displaystyle \ varphi _ {b}: {\ początek {tablica} {l | rcl} & [a, b] & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & \ left \ {{\ begin {array} {ll} f '(b) {\ text {si}} x = b \\ {\ frac {f (x) -f (b)} {xb}} {\ text {inaczej}} \ end {tablica}} \ right. \ end {tablica}}}
Zgodnie z twierdzeniem o wartościach pośrednich, a są przedziałami zawierającymi oba współczynniki , ich związek jest ponownie przedziałem zawierającym i . Jeśli jest ściśle między a , to jest więc taki, że . Na przykład, jeśli twierdzenie o przyrostach skończonych dowodzi istnienia, a tym samym a fortiori takiego, że .
φw([w,b]){\ Displaystyle \ varphi _ {a} ([a, b])}φb([w,b]){\ Displaystyle \ varphi _ {b} ([a, b])}fa(b)-fa(w)b-w=φw(b)=φb(w){\ Displaystyle {\ Frac {f (b) -f (a)} {ba}} = \ varphi _ {a} (b) = \ varphi _ {b} (a)}φw(w)=fa′(w){\ Displaystyle \ varphi _ {a} (a) = f '(a)}φb(b)=fa′(b){\ Displaystyle \ varphi _ {b} (b) = f '(b)}k{\ displaystyle k}fa′(w){\ displaystyle f '(a)}fa′(b){\ displaystyle f '(b)}l∈]w,b[{\ Displaystyle l \ in \ lewo] a, b \ prawo [}k=φw(l) lub k=φb(l){\ Displaystyle k = \ varphi _ {a} (l) {\ tekst {lub}} k = \ varphi _ {b} (l)}k=φw(l)=fa(l)-fa(w)l-w{\ Displaystyle k = \ varphi _ {a} (l) = {\ Frac {f (l) -f (a)} {la}}}vs∈]w,l[{\ Displaystyle c \ in \ lewo] a, l \ prawo [}vs∈[w,b]{\ displaystyle c \ in [a, b]}fa′(vs)=k{\ displaystyle f '(c) = k}
Historyczny
Prawdziwy funkcja F , określono na przedziale I , weryfikuje obiekt z wartości pośredniej IF, U i V są dwie wartości zmierzonych przez F , odpowiednio, w dowolnych dwóch punktach i b w I , wszystkie wartości między u i v są również brane przez f, gdy zmienna zmienia się od a do b . Tak jest w przypadku funkcji ciągłych, wynik ten stanowi twierdzenie o wartościach pośrednich.
W XIX p wieku większość matematyków sądzi się, że przeciwnie, funkcja f o I , która weryfikuje obiekt wartości pośredniej koniecznie jest ciągły na I . Innymi słowy, własność wartości pośrednich byłaby cechą funkcji ciągłych. W 1875 roku Darboux położył kres temu przekonaniu, udowadniając z jednej strony, że istnieją funkcje wyprowadzalne, których pochodna nie jest ciągła w żadnym przedziale, az drugiej strony ( patrz wyżej ), że każda funkcja pochodna spełnia własność wartości pośrednich .
Funkcje Darboux
W swoich wspomnieniach Darboux podaje następujący przykład pochodnej funkcji F, której pochodna f nie jest ciągła w żadnym przedziale.
Używa pierwszej funkcji, która jest różniczkowalna w dowolnym momencie, ale której pochodna jest nieciągła przy 0:
φ:R→R, x↦{x2grzech(1/x)gdyby x≠00Jeśli nie.{\ Displaystyle \ varphi \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, \ x \ mapsto {\ rozpocząć {przypadki} x ^ {2} \ sin (1 / x) & {\ tekst {si}} x \ neq 0 \\ 0 & {\ text {inaczej.}} \ end {sprawy}}}Dla każdego absolutnie zbieżnego szeregu definiuje następnie funkcję:
∑wnie{\ displaystyle \ sum {a_ {n}}}
fa:x↦∑nie=1∞wnienieφ(grzech(niexπ)){\ displaystyle F: x \ mapsto \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {a_ {n}} {n}} \ varphi (\ sin (nx \ pi))}
Udowadnia, że funkcja ta jest w każdym momencie różniczkowalna, pochodnej:
fa:x↦∑nie=1∞πwnieφ′(grzech(niexπ))sałata(niexπ){\ displaystyle f: x \ mapsto \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ pi a_ {n} \ varphi '(\ sin (nx \ pi)) \ cos (nx \ pi)}
i stwierdza, że w ten sposób otrzymujemy funkcję F, której pochodna f nie jest ciągła w żadnym wymiernym.
Zgodnie z twierdzeniem Darboux, powyższa funkcja f weryfikuje zatem właściwość wartości pośrednich w dowolnym przedziale, nie będąc jednak ciągłą w żadnym przedziale.
Od tego czasu funkcję Darboux nazywamy dowolną funkcją weryfikującą własność wartości pośrednich. Funkcje te zostały dobrze zbadane w odniesieniu do własności bycia klasy Baire 1 .
Jest wiele takich funkcji. Każda funkcja ciągła jest funkcją Darboux. Pochodna funkcji zdefiniowanej powyżej jest nieciągłą funkcją Darboux przy 0. Dowolna funkcja rzeczywista jest sumą dwóch funkcji Darboux; bardziej ogólnie, rzeczywiste funkcje każdej rodziny mającej co najwyżej moc kontinuum są sumami dwóch funkcji „silnie Darboux”, z których jedna jest ustalona, przy czym funkcja f mówi się, że jest silnie Darboux, jeśli f ( I ) = ℝ dla dowolnego przedziału I zawierającego co najmniej dwa punkty (taka funkcja jest automatycznie Darboux i nieciągłą we wszystkich punktach). Możliwe nieciągłości funkcji Darboux f są zawsze istotne ; dokładniej, jeśli f jest na przykład nieciągłe po prawej stronie w pewnym punkcie, to w tym miejscu f nie ma ograniczenia po prawej stronie, a nawet jest nieskończone. Funkcja Darboux jest ciągła, jeśli (i tylko wtedy) wszystkie jej zbiory poziomów są zamknięte .
φ′{\ displaystyle \ varphi '}φ{\ displaystyle \ varphi}
Twierdzenie Darboux stwierdza, że pochodna funkcji różniczkowalnej jest funkcją Darboux.
Odwrotna sytuacja jest błędna. Rzeczywiście, wiemy, że każda funkcja pochodna jest zarówno borelijska, jak i ciągła w zbiorze gęstym i istnieją funkcje „silnie Darboux” (a zatem nieciągłe we wszystkich punktach), takie jak te wspomniane powyżej lub skonstruowane przez Lebesgue'a lub Conwaya ; są nawet takie, które nie są Lebesgue'em - wymierne .
Aplikacje
Twierdzenie to można wykorzystać do wykazania, że funkcja nie dopuszcza prymitywu , pokazując, że istnieje przedział, w którym ta funkcja nie spełnia twierdzenia o wartościach pośrednich. Prostym przykładem jest funkcja liczby całkowitej .
Uwagi i odniesienia
-
G. Darboux, „ Memoir on discontinuous functions ”, ASENS , vol. 4,1875, s. 57-112 ( czytaj online ), w szczególności s. 109-110 .
-
(w) Spivak Michael , Calculus , Cambridge, Cambridge University Press ,2006, 3 e ed. , 670 s. ( ISBN 978-0-521-86744-3 , czytaj online ) , str. 211 (np. 54).
-
Dominique Hoareau, Odczyty z matematyki, nauczania i zawodów , t. 2, Publibook ,2010( prezentacja online ) , s. 42.
-
Prezentacja Darboux na Wikiversité .
-
Lebesgue 1904 , s. 89.
-
Twierdzenie Darboux: adaptacja dowodu Lebesgue'a na Wikiversité .
-
Jean-Étienne Rombaldi, „ Twierdzenie Rolle'a i równość skończonych przyrostów. Aplikacje ” , s. 424 .
-
Twierdzenie Darboux: dowód wykorzystujący fakt, że każde ciągłe wstrzyknięcie [ a , b ] do ℝ jest monotoniczne na Wikiversity .
-
(w :) Lars Olsen, " Nowy dowód twierdzenia Darboux " , Amer. Matematyka. Miesiąc. , vol. 111 N O 8,2004, s. 713-715 ( czytaj online )Cytowane w (w) Teodora-Liliana Radulescu, D.Radulescu Vicentiu and Titu Andreescu , Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis , Springer ,2009, 452, str. ( ISBN 978-0-387-77378-0 , czytaj online ) , str. 193-194.
-
Twierdzenie Darboux: demonstracja Larsa Olsena (ponownie odwiedzona) na Wikiwersytecie .
-
Hélène Gispert-Chambaz, Camille Jordan i podstawy analizy , Mathematical Publications of Orsay, University of Paris-Sud, 1982, s. 17 .
-
(w) Israel Halperin (w) , " Nieciągłe funkcje z własnością Darboux " , Kanada. Matematyka. Byk. , vol. 2,1959, s. 111-118 ( czytaj online )udowodnić, że to stwierdzenie jest poprawne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby całkowitej q > 0, co najmniej jeden z MQ jest niezerowe. Warunkiem wystarczającym jest więc to, że wszystkie a n są niezerowe.
-
(w) Andrew M. Bruckner (w) , Różnicowanie funkcji rzeczywistych , AMS ,1994, 2 II wyd. , 195 s. ( ISBN 978-0-8218-6990-1 , czytaj online ), rozdz. 1 i 2.
-
(w :) AM Bruckner i JG Ceder, " Ciągłość Darboux " , J'ber. DMV , obj. 67,1965, s. 93-117 ( czytaj online ).
-
(w) Krzysztof Ciesielski, Teoria mnogości dla pracującego matematyka , Cambridge University Press ,1997, 236 str. ( ISBN 978-0-521-59465-3 , czytaj online ) , str. 106-107.
-
(in) CH Rowe " ocena była parą właściwości qui Charakteryzuj funkcje ciągłe " , Bull. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 32, n o 3,1926, s. 285-287 ( czytaj online ).
-
Hoareau 2010 , s. 46.
-
Henri Lebesgue , Lekcje integracji i poszukiwanie funkcji pierwotnych , Paryż, Gauthier-Villars ,1904( czytaj online ) , s. 90 (Funkcja skonstruowana przez Lebesgue'a nie jest „silnie Darboux” w ścisłym sensie, ale staje się taką przez kompozycję z dodaniem [0, 1] do ℝ.)
-
(w) Gary L. Wise i Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis , Oxford University Press ,1993, 211 s. ( ISBN 978-0-19-507068-2 , czytaj online ) , str. 64.
-
Halperin 1959 .
-
Zobacz także: Równanie funkcji Cauchy'ego .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">