Twierdzenie Erdősa-Stone'a
W ekstremalnej teorii wykres , Erdősa-Stone twierdzenie jest asymptotyczna wynik uogólnianie twierdzenie turána dając górną granicę liczby krawędzi na wykresie pozbawionego H H będąc non zakończeniu wykres . Jej nazwa pochodzi od Paula Erdősa i Arthura Stone'a , którzy udowodnili to w 1946 roku i została opisana jako „fundamentalne twierdzenie teorii grafów ekstremalnych”.
Ekstremalne funkcje grafów Turána
Funkcję ekstremalną definiuje się jako maksymalną liczbę krawędzi na wykresie rzędu n, który nie zawiera podgrafu izomorficznego z twierdzeniem H. Turána, że kolejność wykresu Turána i że wykres Turana jest unikalnym grafem ekstremalnym. Twierdzenie Erdősa-Stone'a rozszerza to na wykresy Turána :
mix(nie;H.){\ displaystyle ex (n; H)}
mix(nie;K.r)=tr-1(nie){\ Displaystyle ex (n; K_ {r}) = t_ {r-1} (n)}
T(rt,r){\ Displaystyle T (rt, r)}![{\ Displaystyle T (rt, r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7691d73d7bc0af683f6778c686669b24ee7f6915)
dawny(nie;K.r(t))=(r-2r-1+o(1))(nie2).{\ Displaystyle {\ mbox {ex}} (n; K_ {r} (t)) = \ lewo ({\ Frac {r-2} {r-1}} + o (1) \ prawej) {n \ wybierz 2}.}![{\ Displaystyle {\ mbox {ex}} (n; K_ {r} (t)) = \ lewo ({\ Frac {r-2} {r-1}} + o (1) \ prawej) {n \ wybierz 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ae86a1b8d036247947726ce44f3d5fbbdb5c56)
Wyniki
Udowodniono kilka wersji twierdzenia. Niech (for ) będzie największym t takim, że każdy wykres rzędu n i rozmiar
sr,ε(nie){\ Displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n)}
0<ε<12(r-1){\ Displaystyle 0 <\ varepsilon <{\ Frac {1} {2 (r-1)}}}![{\ Displaystyle 0 <\ varepsilon <{\ Frac {1} {2 (r-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed14bd1cca02e53e4c6411397c9a6df274ded47)
(r-22(r-1)+ε)nie2{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {r-2} {2 (r-1)}} + \ varepsilon \ prawej) n ^ {2}}![{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {r-2} {2 (r-1)}} + \ varepsilon \ prawej) n ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c24989cca9d7537e17b887f36d1e04a1a531f33)
zawiera .
K.r(t){\ Displaystyle K_ {r} (t)}![{\ Displaystyle K_ {r} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cf594adf108d6a1dd4c8f6189b1a258cd753f0)
Udowodnili to Erdős i Stone
sr,ε(nie)≥(log⋯log⏟r-1nie)1/2{\ Displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n) \ geq \ lewo (\ underbrace {\ log \ cdots \ log} _ {r-1} n \ prawo) ^ {1/2}}![{\ Displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n) \ geq \ lewo (\ underbrace {\ log \ cdots \ log} _ {r-1} n \ prawo) ^ {1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7938458127003189098e88510bd2de927cc781b9)
dla n wystarczająco dużą. Porządek został znaleziony przez Bollobása i Erdősa: dla wszystkich r i ε istnieją stałe i takie tam . Chvátal i Szemerédi określili charakter zależności w r i ε:
sr,ε(nie){\ Displaystyle s_ {r, \ varepsilon} (n)}
vs1(r,ε){\ displaystyle c_ {1} (r, \ varepsilon)}
vs2(r,ε){\ Displaystyle c_ {2} (r, \ varepsilon)}
vs1(r,ε)log(nie)<sr,ε(nie)<vs2(r,ε)log(nie){\ Displaystyle c_ {1} (r, \ varepsilon) \ log (n) <s_ {r, \ varepsilon} (n) <c_ {2} (r, \ varepsilon) \ log (n)}![{\ Displaystyle c_ {1} (r, \ varepsilon) \ log (n) <s_ {r, \ varepsilon} (n) <c_ {2} (r, \ varepsilon) \ log (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876524ae0734dbe3ea57aef753f16cc2b648c9fb)
1500log(1/ε)lognie<sr,ε(nie)<5log(1/ε)lognie{\ Displaystyle {\ Frac {1} {500 \ log (1 / \ varepsilon)}} \ log n <s_ {r, \ varepsilon} (n) <{\ Frac {5} {\ log (1 / \ varepsilon) )}} \ log n}![{\ Displaystyle {\ Frac {1} {500 \ log (1 / \ varepsilon)}} \ log n <s_ {r, \ varepsilon} (n) <{\ Frac {5} {\ log (1 / \ varepsilon) )}} \ log n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec80d4e02cf6079a1a86cab11c4a8bf04526b42)
dla n wystarczająco dużą.
Bibliografia
Erdős and Stone, AH, „ On the structure of linear graphs ”, Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , t. 52 N O 12,1946, s. 1087–1091 ( DOI 10.1090 / S0002-9904-1946-08715-7 )
Béla Bollobás , Modern Graph Theory , Nowy Jork, Springer-Verlag ,1998, 120 s. ( ISBN 0-387-98491-7 )
Béla Bollobás , Podręcznik kombinatoryki , Elsevier ,1995, 1244 s. ( ISBN 0-444-88002-X ) , „Teoria grafów ekstremalnych”
Bollobás i Erdős, P., „ On the structure of edge graphs ”, Bulletin of the London Mathematical Society , vol. 5, n O 3,1973, s. 317–321 ( DOI 10.1112 / blms / 5.3.317 )
Chvátal i Szemerédi, E., „ On the Erdős-Stone theorem ”, Journal of the London Mathematical Society , vol. 23 N O 2Dziewiętnaście osiemdziesiąt jeden, s. 207–214 ( DOI 10.1112 / jlms / s2-23.2.207 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">