Teoria grafów ekstremalnych
W teorii wykres An ekstremalna wykres w odniesieniu do właściwości wykres taki sposób, że dodanie brzeg powoduje wykres w celu sprawdzenia własności . Badanie grafów ekstremalnych można podzielić na dwa tematy: poszukiwanie dolnych granic liczby krawędzi niezbędnych do zapewnienia tej własności (nawet przy innych parametrach, takich jak minimalny stopień) oraz scharakteryzowanie samych grafów ekstremalnych.
P.{\ displaystyle P}
P.{\ displaystyle P}![P.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
Badanie grafów ekstremalnych jest gałęzią kombinatorycznego badania grafów.
Rygorystyczna definicja
Niech na wykresach będzie właściwość, która jest zachowywana przez dodanie krawędzi i dowolnego wykresu. mówi się, że jest ekstremalny w odniesieniu do właściwości P, jeżeli:
P.{\ displaystyle P}
sol=(V,mi){\ Displaystyle G = (V, E)}
sol{\ displaystyle G}![sol](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
-
sol{\ displaystyle G}
nie sprawdzaj ;P.{\ displaystyle P}![P.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
-
∀(x,y){\ displaystyle \ forall (x, y)}
nieprzylegający w wykres kontroli .sol{\ displaystyle G}
sol′=(V,mi∪(x,y)){\ Displaystyle G '= (V, E \ kubek (x, y))}
P.{\ displaystyle P}![P.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
Z drugiej strony funkcja jest dolną granicą w porównaniu z właściwością, jeśli umożliwia zapewnienie, że spełnia .
fa{\ displaystyle f}
P.{\ displaystyle P}
∀sol=(V,mi),|mi|>fa(|V|){\ Displaystyle \ forall G = (V, E), | E |> f (| V |)}
sol{\ displaystyle G}
P.{\ displaystyle P}![P.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
Zauważ, że skrajne wykresy niekoniecznie spełniają najlepszą dolną granicę.
Przykłady
W przypadku właściwości „nie dopuszczaj trójkątów jako podgrafu” obowiązuje dolna granica . Grafy ekstremalne są dokładnie wykresami dwudzielnymi i .
P.={\ displaystyle P =}
|mi|=|V|24{\ Displaystyle | E | = {\ Frac {| V | ^ {2}} {4}}}
K.k,k{\ displaystyle K_ {k, k}}
K.k,k+1{\ displaystyle K_ {k, k + 1}}![K _ {{k, k + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0b4ad38a305c16bfc82419e47cdf4cf7c12dc3)
Mówiąc bardziej ogólnie, aby „nie dopuszczać kliki o rozmiarze l jako podgrafu”, wykresy ekstremalne są wykresami całkowitymi (l-1) -partis . Ten wynik jest konsekwencją twierdzenia Turána , które zapewnia również dolną granicę (zbyt długa, aby ją tu uwzględnić).
P.l={\ displaystyle P_ {l} =}
K.k,..,k,k+1,..,k+1{\ Displaystyle K_ {k, .., k, k + 1, .., k + 1}}![K _ {{k, .., k, k + 1, .., k + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5131e5c4f16a3dc7a3ea5698a10afbbd089328c)
Powiązane artykuły
Bibliografia
-
(w) JH van Lint i RM Wilson , kurs Kombinatoryka , Cambridge University Press, 2001, 2 th ed. ( ISBN 0-521-80340-3 ) , szczególnie rozdział 4: „Twierdzenie Turana i wykresy ekstremalne”
-
(w) Reinhard Diestel , Graph Theory , Springer-Verlag, Heidelberg, New York, 1997, 2000, 2005 [ czytać online ] z 3 th ed.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">