Twierdzenie o dwóch lunula
W matematyce, a dokładniej w geometrii , twierdzenie o dwóch lunulach określa związek między obszarem trójkąta prostokątnego a dwoma lunulasami z nim związanymi.
Historia
To bardzo stare twierdzenie zostało zademonstrowane przez Hipokratesa z Chios (–470 - –410), który również badał powielanie sześcianu , to znaczy obliczanie pierwiastka sześciennego z 2. Te dwa lunulas są również nazywane lunulas Hipokratesa . Następnie szukał kwadratu koła i myślał, że kwadratura jego księżyców przybliży go do celu.
Definicja
Lunula to fragment powierzchni ograniczony dwoma niekoncentrycznymi okręgami o różnych promieniach, tworzącymi menisk przypominający sierp księżyca: wypukły z jednej strony i wklęsły z drugiej. .
Stany
Pozwolić jest trójkąt prostokątny ABC w B i na ograniczony krąg ABC (o średnicy AC).
VS{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {C}}}
Lunula jest figurą utworzoną przez pół-krążek o średnicy BC na zewnątrz trójkąta ABC, od którego przecina się z tarczą odgraniczoną przez .
LbVS{\ styl wyświetlania L_ {BC}}VS{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {C}}}
Lunula jest figurą utworzoną przez pół-krążek o średnicy BA poza trójkątem ABC, od którego przecina się z tarczą odgraniczoną przez .
LbW{\ styl wyświetlania L_ {BA}}VS{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {C}}}
Wtedy suma pól i (kolor niebieski na rysunku) jest równa polu trójkąta ABC (kolor zielony).
LbVS{\ styl wyświetlania L_ {BC}}LbW{\ styl wyświetlania L_ {BA}}
Demonstracja
Rozważ trójkąt prostokątny ABC w punkcie B.
Dwie małe białe części reprezentują to, co pozostało z pół-krążka o średnicy AC, gdy pozbawimy go trójkąta ABC. Suma ich powierzchni wynosi zatemPowierzchnia(WVS)-Powierzchnia(WbVS).{\ displaystyle {\ tekst {Aire}} (AC) - {\ text {Aire}} (ABC).}
Dwa lunula to dwa półdyski o średnicy AB i BC pozbawione tych białych części. Suma ich powierzchni wynosi zatem
Powierzchnia(LbVS)+Powierzchnia(LbW)=Powierzchnia(Wb)+Powierzchnia(bVS)-[Powierzchnia(WVS)-Powierzchnia(WbVS)]=[Powierzchnia(Wb)+Powierzchnia(bVS)-Powierzchnia(WVS)]+Powierzchnia(WbVS).{\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ tekst {Aire}} (L_ {BC}) + {\ text {Aire}} (L_ {BA}) & = {\ tekst {Aire}} (AB) + { \ tekst {Aire}} (BC) - \ left [{\ text {Aire}} (AC) - {\ text {Aire}} (ABC) \ right] \\ & = \ left [{\ text {Aire} } (AB) + {\ tekst {Aire}} (BC) - {\ tekst {Aire}} (AC) \ prawo] + {\ tekst {Aire}} (ABC). \ Koniec {wyrównany}}}
Aby pokazać twierdzenie, wystarczy wykazać, że , to znaczy, że suma pól dwóch połówek o średnicy AB i BC jest równa powierzchni połówki o średnicy AC.
Powierzchnia(Wb)+Powierzchnia(bVS)-Powierzchnia(WVS)=0{\ displaystyle {\ text {Aire}} (AB) + {\ text {Aire}} (BC) - {\ text {Aire}} (AC) = 0}
Teraz twierdzenie Pitagorasa mówi nam, że
WVS2=Wb2+bVS2.{\ displaystyle AC ^ {2} = AB ^ {2} + BC ^ {2}. \,}
Więc mnożąc przez mamy
π8{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {8}}}
12π(WVS2)2=12π(Wb2)2+12π(bVS2)2,{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi \ po lewej ({\ frac {AC} {2}} \ po prawej) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ pi \ po lewej ({\ frac {AB} {2}} \ po prawej) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ pi \ po lewej ({\ frac {BC} {2}} \ po prawej) ^ {2 },}
czyli równość poszukiwanych obszarów.
Uwagi i referencje
-
Nie myl go z Hipokratesem z Kos, lekarzem.
-
Jean-Étienne Montucla , Historia badań nad kwadraturą koła , 1754, rozdz. II, działy IV i V.
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">