Twierdzenie Poincaré-Birkhoffa jest podstawowym twierdzeniem w badaniu układów dynamicznych . Twierdzi, że jeżeli m jest homeomorfizm z korony w sobie, które zachowuje obszary (tj dla każdego zestawu U , obszar U równy obszar f (j) ), a z kolei sprawia dwóch krawędzi w przeciwnych kierunkach, a F jest co najmniej dwa stałe punkty .
Chociaż to twierdzenie o punkcie stałym przypomina twierdzenie Brouwera , jest o wiele trudniejsze do udowodnienia, ponieważ warunek obszaru odgrywa w nim kluczową rolę. Rzeczywiście istnieją aplikacje spełniające tylko jedną z dwóch hipotez twierdzenia i nie mające stałego punktu. Przypuszczalny przez Poincarégo w 1905 roku, zostanie zademonstrowany przez George'a Birkhoffa w 1912 roku, czyniąc go natychmiast sławnym w świecie matematyki.
W komentarzu do wszystkich prac Poincaré, Vladimir Arnold przypuszczał, że uogólnienie tego twierdzenia w wyższym wymiarze musi wyglądać następująco:
Każda transformacja hamiltonowska torusa T 2 n ma co najmniej 2 n +1 punktów stałych.Wynik ten został zademonstrowany przez Charlesa Conleya (de) i Eduarda Zehndera w 1983 roku, a następnie uogólniony na inne odmiany symplektyczne .