Twierdzenie Hurwitza o ciągach funkcji holomorficznych

W matematyce, a bardziej szczegółowo w złożonym analizy twierdzenie Hurwitza łączy zer o sekwencji o holomorficznymi funkcji zbieżny wszystkich wyprasek z odpowiadającymi im ograniczenia. Twierdzenie nosi imię Adolfa Hurwitza .

Twierdzenie

Niech { f k } być sekwencja funkcji holomorficznymi na zestawie G otwarte i połączone zbieżny równomiernie kompaktowych podzbiorów G do holomorficznej funkcja f nie jest zerem na G . Jeśli f jest zerem na zamówienie m W Z 0 , a następnie dla wszystkich p> 0 dostatecznie małe i k ∈ N (która zależy od p) są wystarczająco duże, f k ma dokładnie m zer na dysku określonej przez | z - z 0 | <ρ, w tym krotność . Co więcej, te zera zbiegają się do z 0, gdy k → ∞.

Uwagi

To twierdzenie nie gwarantuje, że wynik jest również prawdziwy dla dowolnych dysków. Rzeczywiście, jeśli dysk zostanie wybrany w taki sposób, że zera f znajdują się na jego krawędzi , to twierdzenie nie ma zastosowania. Wyraźnym przykładem jest rozważenie jednostki dysku D i sekwencji zdefiniowanej przez

{\ Displaystyle f_ {n} (z) = z-1 + {\ Frac {1} {n}}, \ qquad z \ in \ mathbb {C}}

która zbiega się równomiernie do f ( z ) = z −1. Funkcja f ( z ) nie ma zera w D ; jednakże każde f n ma dokładnie jedno zero na dysku, odpowiadające rzeczywistej wartości 1− (1 / n ).

Aplikacje

Twierdzenie Hurwitza jest używane w dowodzie konformalnego twierdzenia o zastosowaniu , a także ma następujące dwa następstwa jako bezpośrednie konsekwencje:

Niech G będzie zbiorem otwartym i { f n } holomorficzną sekwencją funkcji, która zbiega się równomiernie na zwartych podzbiorach G do funkcji holomorficznej f . Jeżeli wszystkie funkcje f n jest różne od zera w każdym punkcie G , a f jest zero lub wartość niezerową w dowolnym punkcie G .
Jeśli { f n } jest sekwencją funkcji jednowartościowych w otwartym i połączonym zbiorze G, który zbiega się równomiernie w zwartych podzbiorach G do funkcji holomorficznej f , to f jest albo jednowartościowa, albo stała.

Dowód

Niech K będzie funkcję analityczną na otwarte podzestawu płaszczyźnie zespolonej z zerowego rzędu m w Z 0 , i załóżmy, że { f n } jest sekwencją funkcji, które zbiega się równomiernie na zwartej podzbiorów do f . Niech ρ> 0 będzie takie, że f ( z ) ≠ 0 w 0 <| z - z 0 | ≤ ρ. Wybierz δ taki, że | f ( z ) | > δ dla z na okręgu | z - z 0 | = ρ. Ponieważ f k ( z ) zbiega się równomiernie na wybranym przez nas dysku, możemy znaleźć N takie, że | f k ( z ) | ≥ δ / 2 dla wszystkich k ≥ N i wszystkich z na okręgu, zapewniając, że iloraz f k ′ ( z ) / f k ( z ) jest dobrze zdefiniowany dla wszystkich z na okręgu | z - z 0 | = ρ. Dzięki twierdzeniu Morery mamy jednolitą zbieżność:

{\ Displaystyle {\ Frac {f_ {k} '(z)} {f_ {k} (z)}} \ do {\ Frac {f' (z)} {f (z)}}.}

Oznaczmy przez N k liczbę zer w f k ( z ) na dysku i zastosuj zasadę argumentu, aby znaleźć

{\ Displaystyle m = {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ vert z-z_ {0} \ vert = \ rho} {\ Frac {f '(z)} {f (z) )}} \, dz = \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ vert z-z_ {0} \ vert = \ rho} {\ frac {f '_ {k} (z)} {f_ {k} (z)}} \, dz = \ lim _ {k \ to \ infty} N_ {k}}

W powyższym kroku całka i granica mogą zostać zamienione dzięki jednorodnej zbieżności całki. Pokazaliśmy, że N k → m, gdy k → ∞. Ponieważ N k są liczbami całkowitymi, N k musi być równe m, aby k było wystarczająco duże.

Powiązane artykuły

Twierdzenie Rouchégo

Bibliografia

(en) Theodore Gamelin , Complex Analysis , Springer,2001, 478, str. ( ISBN 978-0-387-95069-3 , czytaj online )

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Twierdzenie Hurwitza (analiza złożona) ” ( zobacz listę autorów ) .
John B. Conway . Funkcji jednej zmiennej zespolonej I . Springer-Verlag, Nowy Jork, Nowy Jork, 1978.
EC Titchmarsh , The Theory of Functions , wydanie drugie (Oxford University Press, 1939; przedruk 1985), str. 119.
(en) „Hurwitz's theorem on sequences of holomorphic functions” , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , czytaj online )

Model: atrybucja PlanetMath