System masa-sprężyna

Układ masa-sprężyna to układ mechaniczny z jednym stopniem swobody . Składa się z masy przymocowanej do sprężyny zmuszonej do ruchu w jednym kierunku. Jego ruch wynika z trzech sił:

siła powrotna , ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {r}}$
siła tłumienia , ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {a}}$
siła zewnętrzna . ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ rm {ext}}}$

Ze względu na prostotę ćwiczenia teoretycznego na początku nie bierzemy pod uwagę siły grawitacji ani tarcia powietrza. Klasycznie prawo odniesienia układu sprężynowego jest traktowane przez prawo Hooke'a , ale istnieją wykresy i instrukcje producenta umożliwiające zdefiniowanie prostej stałej dla każdego elementu sprężynowego stanowiącego część układu mechanicznego.

Układ masa-sprężyna jest prostym przedmiotem badań w kontekście oscylatorów harmonicznych .

Prostoliniowe drgania masy poddanej działaniu sprężyny

Mechanika Newtona uważa to badanie za jeden z pierwszych elementów eksperymentów i pomiarów teoretycznych. Wykorzystano go do powiązania rzeczywistych zachowań z równaniami matematycznymi (przykład: jednostajny ruch prostoliniowy ).

Jest możliwe, aby odchylić się masę poddaje się działaniu sprężyny . Aby równania były proste, bez przesunięcia współrzędnych, rozważamy ruchy pionowe lub poziome (za pomocą urządzenia pozwalającego zminimalizować tarcie na podporze).

Uwzględniając punkt badawczy G, środek ciężkości masy oscylującej oraz x wartość współrzędnej pozwalającą zlokalizować punkt G względem punktu odniesienia układu 0.

W obu przypadkach eksperyment odpowiada funkcji czasowej położenia masy po obu stronach położenia równowagi ( statycznego ), co jest funkcją sinusoidalną . Następnie mówimy, że poruszająca się masa prowadzi do harmonijnego zachowania. $x (t)$

Artykuł nie mający za podstawę eksperymentu referencyjnego na te tematy byłby zbyt odległy od rzeczywistości, aby umożliwić docenienie, przyswojenie przez czytelnika informacji o metodzie rozumowania naukowego. (Kurs fizyki CF I i II rok liceum)

W przypadku oscylatora pionowego działanie grawitacji wprowadza jedynie przesunięcie położenia równowagi statycznej. Zależność wyprowadzoną z zastosowania twierdzenia o środku bezwładności można zapisać:

{\ displaystyle {\ frac {\ matematyka {d} ^ {2} x} {\ matematyka {d} t ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} \, x = 0}

, z

\ omega _ {0} = {\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}}

$\ omega_0$ nazywa się właściwą pulsacją oscylatora harmonicznego . i są odpowiednio sztywnością sprężyny i zawieszonej masy. Rozwiązania równania różniczkowego mają postać , która jest charakterystyczna dla oscylatora harmonicznego. $k$ $m$ ${\ displaystyle x (t) = x_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t + \ varphi)}$

Okres jest niezależny od amplitudy ( isochronism oscylacji) zależy tylko od bezwładności układu (masy ) oraz charakterystyki siły przywracającej (stałą sztywność sprężyny) $m$ $k$

{\ displaystyle T = 2 \ pi \, {\ sqrt {\ frac {m} {k}}}}

Uwaga: ten oscylator podlega zachowaniu energii mechanicznej: ma postać

{\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {1} {2}} kx ^ {2} = E_ {0}

Wyprowadzając człon na człon równanie względem czasu, znajdujemy poprzednie równanie różniczkowe.

Poprawa

Powyższe obowiązuje, jeśli masa sprężyny jest nieistotna w porównaniu z masą oscylującą. Doświadczenie pokazuje, że okres ten jest bliższy:

{\ displaystyle T = 2 \ pi \, {\ sqrt {\ frac {m + {\ frac {\ mu} {3}}} {k}}}}

lub

${\ displaystyle {\ frac {\ mu} {3}}}$ to jedna trzecia masy sprężyny;
${m.}$ to masa zawieszona na sprężynie;
${k}$ jest stałą sprężystości lub stałą sztywności sprężyny.

Inne ulepszenia

To znowu przybliżenie. Pełne opracowanie można znaleźć w linkach zewnętrznych . Pokazujemy, że zbliża się rzeczywisty okres oscylacji:

{\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {\ Omega}} \, {\ sqrt {\ frac {\ mu} {k}}}}

gdzie jest określone przez relację: $\Omega$

{\ displaystyle \ Omega \, \ tan (\ Omega) = {\ frac {\ mu} {m}}}

${\ mu}$ = masa sprężyny;
${m.}$ = masa zawieszona na sprężynie;
${k}$ = stała sprężystości lub sztywność sprężyny.

Jednym ze sposobów obliczenia jest iteracja: $\Omega$

{\ displaystyle \ Omega = \ arctan \ lewo ({\ frac {\ mu} {m \, \ Omega}} \ po prawej)}

zaczynając od : ${\ displaystyle \ Omega = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {m + {\ frac {\ mu} {3}}}}}}$

Tarcie

Aplikacje

System masa-sprężyna jest używany w inżynierii mechanicznej do badania zachowania mechanizmów.

W rzeczywistości, w pierwszym przypadku, dynamika bryły uwzględnia bryły nieodkształcalne ; pozwala to poznać prawa ruchu (położenie, prędkość , przyspieszenie , szarpnięcie w funkcji czasu) oraz zastosowane siły ( siły , momenty ). Jednak w wielu przypadkach konieczne jest również uwzględnienie deformacji części, np. dla problemów drgań ( hałas , zużycie , zmęczenie , luzowanie) i przesunięcia fazowego (opóźnienie między kolejnością ruchu a wykonaniem ruch ze względu na elastyczność części).

Dostępna moc obliczeniowa pozwala niekiedy na przeprowadzenie takiego badania metodą elementów skończonych . Interesujące jest jednak posiadanie modelu pośredniego, w którym każda część jest modelowana przez układ masa-sprężyna. Rzeczywiście, metoda elementów skończonych wymaga zdefiniowania geometrii i położenia części, czyli pracy nad systemem, którego architektura została określona. Jednak w fazie rozwoju możemy chcieć wypróbować kilka architektur; tutaj interesujący jest model masowo-sprężynowy.

Ponadto metoda elementów skończonych może szybko stać się zasobożerna. Jedna metoda polega na uproszczeniu części w celu uproszczenia obliczeń: gdy zachowanie sprężyste części ma wpływ na układ, ale nie interesuje nas sama część, można ją zastąpić „superelementem”, uproszczonym część - belka - zachowująca się podobnie jak część dla naprężeń statycznych lub dynamicznych (pierwsze postacie drgań własnych). Superelement – mówi się też o „niedobudowaniu” lub „kondensacji węzłów” – można postrzegać jako uogólnienie układu masa-sprężyna.

Zobacz również

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

(Fr) „Badanie okresu oscylacji sprężyny”
(pl) Sprężyna śrubowa