Maksymalna normalna podgrupa

W grupie teorii nazywamy maksymalny prawidłowy podgrupę , lub nawet maksymalne wyróżniającą podgrupy , z grupy G, każdy element maksymalny zbioru odpowiednich normalnych podgrupy G, ten zestaw jest zamawiane poprzez włączenie . (Określenie „właściwa podgrupa G” będzie tutaj rozumiane jako oznaczające podgrupę G odrębną od G. ) Innymi słowy, maksymalna normalna podgrupa G jest prawidłową normalną podgrupą H z G tak, że żadna podgrupa - grupa normalna G jest ściśle pomiędzy H i G .

Niektóre właściwości

• Jeśli G oznacza prostą grupę , podgrupa G zredukowana do elementu neutralnego jest maksymalną podgrupą normalną G (i jest jedyną).
• Normalna podgrupa H grupy G jest maksymalną normalną podgrupą G wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz grupy G / H jest prosty. Maksymalne normalne podgrupy odgrywają zatem rolę w sekwencjach Jordana-Höldera
• Podgrupę normalne maksymalne grupy G niekoniecznie jest podgrupa ilość od G . Na przykład 1 jest maksymalną normalną podgrupą prostej grupy A 5 , ale nie jest maksymalną jej podgrupą, ponieważ A 5 oczywiście zawiera odpowiednie podgrupy nie zredukowane do elementu neutralnego.
• Jeśli maksymalna podgrupa H grupy G jest normalna, H jest oczywiście normalną maksymalną podgrupą G .
• Jeżeli G jest grupą rozwiązywalną , to każde normalne maksimum G podgrupy jest maksimum G podgrupy . (Niech M będzie maksymalną normalną podgrupą G. Wtedy G / M jest zarówno proste, jak i rozwiązywalne, tak samo jest skończone. Zgodnie ze wzorem na indeks oznacza to, że M jest maksymalną podgrupą G. ) Zgodnie z poprzednim Wynika z tego, że w grupie rozwiązywalnej pojęcia maksymalnej podgrupy normalnej i podgrupy maksymalnej normalnej podgrupy są zbieżne.
• Niech G będzie Grupa Nilpotentna . Wtedy każda maksymalna podgrupa G jest normalna w G i dlatego jest maksymalną podgrupą normalną G ; Odwrotnie, jeżeli H jest ilość normalnie podgrupa G , a następnie to, że każdy Grupa Nilpotentna jest rozpuszczalny, H jest ilość podgrupy z G z poprzedniego punktu. Dlatego w grupie nilpotentnej pojęcia maksymalnej normalnej podgrupy, maksymalnej podgrupy i maksymalnej podgrupy normalnej są zbieżne.

Uwagi i referencje

1. Definicja wg J. Calais, Elementy teorii grup , Paryż, PUF, 1984, s. 159.
2. J. Calais, Elementy teorii grup , Paryż, PUF, 1984, s. 160.
3. JS Rose, Kurs teorii grup , 1978, repr. Dover, 1994, s. 267.
4. Patrz np. WR Scott, Group Theory , 1964, repr. Dover, 1987, s. 143.