Sekcja dla początkujących

W matematyce , a dokładniej w teorii porządku , sekcja początkowa (zwana także segmentem początkowym lub podzbiorem dolnie zamkniętym ) zbioru uporządkowanego ( X , ≤) jest podzbiorem S z X takim, że jeśli x jest w S, a jeśli y ≤ x , a Y jest S .

Podwójnie zwany odcinek absolwent (lub jego części zamknięte od góry ) podzbiór F tak, że jeśli x jest F, i jeśli X ≤ Y , a Y jest, w F .

Przykłady

W przypadku całkowicie uporządkowanego zestawu sekcjami startowymi są interwały ; W szczególności, w przypadku zestaw badań z liczb rzeczywistych , sekcje wyjściowych nie pusty i nie pokrywa się z R są co jedną z dwóch form $] -\infty, ]$ i $] -\infty, [$ .

Dla związku z włączeniem wszystkich podzbiorów danego zbioru X jest górny zestaw wszystkich części Y dla wszystkich Y jako X ⊂ Y .

Z definicji dla relacji inkluzji zbiór sąsiedztw punktu w przestrzeni topologicznej jest końcową sekcją zbioru części tej przestrzeni.

Nieruchomości

Na poniższej liście właściwości możemy wszędzie zastąpić sekcję początkową sekcją końcową (zamieniając maksimum i minimum w razie potrzeby itp.)

Każdy zamówiony zestaw jest sam w sobie sekcją początkową.
Skrzyżowanie i unia z rodziny sekcjach wyjściowe są sekcje począwszy.
Uzupełnieniem od początkowej sekcji jest sekcja zakończenie.
Biorąc pod uwagę uporządkowany zbiór ( X , ≤), rodzina początkowych odcinków X , uporządkowanych przez włączenie , jest pełną siatką , która zaczyna się od O ( X ).
Biorąc pod uwagę dowolny podzbiór Y uporządkowanego zbioru X , przy czym przecięcie odcinków zawierających kończących Y jest najmniejszym z tych sekcji kończących oznaczoną ↑ Y .
- Podobnie, najmniejsza górny zestaw zawierający Y jest oznaczona ↓ Y .
Mówi się, że końcowa sekcja X jest główną, jeśli ma postać ↑ { x }, gdzie x jest elementem X ; dwa ważne zastosowania tej terminologii odpowiadają przypadkowi ideałów i ultrafiltrom .
Zestaw minimalnych elementów sekcji końcowej tworzy antychainę .
- I odwrotnie, każdy antychain A określa sekcję końcową: { x | istnieje y od A takie, że x ≥ y }. W przypadku zamówień częściowych spełniających warunek zstępującego łańcucha , ta zgodność między łańcuchami antychain i sekcjami końcowymi jest bijekcją (ale nie jest tak w przypadku każdego zamówienia częściowego).

Przypadek liczby porządkowej

Porządkowym mogą być identyfikowane ze zbiorem liczb porządkowych, które są ściśle gorszy od niego. Każda liczba porządkowa jest następnie identyfikowana z początkową sekcją klasy wszystkich porządkowych uporządkowanych według włączenia.

Zobacz też

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Upper set ” ( zobacz listę autorów ) .

N. Bourbaki , Elementy matematyki - teoria mnogości , rozdz. III, § 1, nr 2, s. 3, aby zapoznać się z definicjami i pierwszymi właściwościami zamówień cząstkowych.
(en) J. Blanck, „ Reprezentacje domenowe przestrzeni topologicznych ”, w: Theoretical Computer Science , vol. 247, 2000, s. 229–255
(en) KH Hoffman, " Aksjomaty niskiej separacji (T 0 ) i (T 1 ) " ,2001
(en) BA Davey i HA Priestley, Introduction to Lattices and Order , Cambridge University Press ,2002, 2 II wyd. , 298 str. ( ISBN 0-521-78451-4 , czytaj online )