Morfizm typu skończonego

W geometrii algebraicznej , A skończony typ morfizmem mogą być traktowane jako rodzina rozmaitości algebraicznych parametryzowane za pomocą systemu bazowego. Jest to jeden z najczęściej badanych typów morfizmów.

Definicja

Niech będzie morfizmem diagramów . Mówimy, że jest skończonego typu , jeżeli dla dowolnego affine otwarte od , jest quasi-kompaktowy (czyli skończony Związku otworów afiniczne) i że dla każdego affine otwarte zawarte w , kanoniczna morfizmem ma skończonego typu . fa:X→Y{\ displaystyle f: X \ do Y}fa{\ displaystyle f}V{\ displaystyle V}Y{\ displaystyle Y}fa-1(V){\ Displaystyle f ^ {- 1} (V)}U{\ displaystyle U}fa-1(V){\ Displaystyle f ^ {- 1} (V)}OY(V)→OX(U){\ Displaystyle O_ {Y} (V) \ do O_ {X} (U)}

Możemy zobaczyć, że obiekt odpowiada następującym, które jest łatwiejsze do zweryfikowania: istnieje nakładanie otworami afinicznych tak, że każda jest związek o skończonej liczbie afinicznych otworów o skończonej typu. Y{\ displaystyle Y}Vja{\ displaystyle V_ {i}}fa-1(Vja){\ Displaystyle f ^ {- 1} (V_ {i})}Ujajot{\ displaystyle U_ {ij}}OY(Vja)→OX(Ujajot){\ Displaystyle O_ {Y} (V_ {i}) \ do O_ {X} (U_ {ij})}

Będziemy również powiedzieć, że jest to system typu skończony na . Kiedy , mówimy również, że jest to typ skończony . X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}Y=SpmivsW{\ Displaystyle Y = \ mathrm {Spec} A}X{\ displaystyle X}W{\ displaystyle A}

Przykłady

• Jeśli jest to morfizm pierścieniowy typu skończonego, wówczas powiązany morfizm schematu jest typem skończonym. W szczególności, jeżeli jest to pole i skończone typu Algebra powyżej , a następnie jest algebraiczna odmiana na .W→b{\ displaystyle A \ do B}Spmivsb→SpmivsW{\ Displaystyle \ mathrm {Spec} B \ do \ mathrm {SpecA}}W=k{\ displaystyle A = k}b{\ displaystyle B}W{\ displaystyle A}Spmivsb{\ displaystyle \ mathrm {SpecB}}k{\ displaystyle k}

• Przestrzeni rzutowej jest typu skończoności sprawie .P.Wnie{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {A} ^ {n}}W{\ displaystyle A}

Powiązanie z rozmaitościami algebraicznymi

Naprawiamy ciało . k{\ displaystyle k}

Niech będzie schemat typu skończonego . Niech będzie podzbiorem zamkniętych punktów , wyposażonych w topologię indukowaną przez topologię i oznaczymy włączenie kanoniczne. Wtedy para jest lokalnie pierścieniową przestrzenią izomorficzną do rozmaitości algebraicznej . X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}X0{\ displaystyle X ^ {0}}X{\ displaystyle X}X{\ displaystyle X}ja:X0→X{\ Displaystyle i: X ^ {0} \ do X}(X0,ja-1OX){\ Displaystyle (X ^ {0}, ja ^ {- 1} O_ {X})}

Proces ten definiuje funktor z kategorii schematów typu skończonego do kategorii rozmaitości algebraicznych na . Pokazujemy, że ten funktor jest równoważnością kategorii . Zatem punkty widzenia diagramów typu skończonego i rozmaitości algebraicznych są zasadniczo równoważne. k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}

Nieruchomości

• Zamknięte zanurzenie to morfizm typu skończonego.

• Otwarte zanurzenie w schemacie Noetherian jest typu skończonego.

• Skład morfizmów typu skończonego jest typem skończonym.

• Jeśli i są typu skończonego, to produkt włóknisty jest typu skończonego.X→Z{\ displaystyle X \ do Z}Y→Z{\ Displaystyle Y \ do Z} X×ZY→Z{\ Displaystyle X \ razy _ {Z} Y \ do Z}

• Jeśli jest typu skończonego i jeśli jest morfizmem diagramów, to zmiana podstawy jest typu skończonego.X→Y{\ displaystyle X \ do Y}Z→Y{\ displaystyle Z \ do Y} X×YZ→Z{\ Displaystyle X \ razy _ {Y} Z \ do Z}

• W szczególności dla dowolnego punktu światłowód jest typu skończonego w polu resztkowym , dlatego jest odmianą algebraiczną na . Zatem może być postrzegana jako rodzina rozmaitości algebraicznych sparametryzowanych przez punkty i na ewentualnie zmiennych ciałach bazowych.y∈Y{\ displaystyle y \ in Y}Xy=X×YSpmivsk(y){\ Displaystyle X_ {y} = X \ razy _ {Y} \ mathrm {Spec} k (y)}k(y){\ Displaystyle k (y)}k(y){\ Displaystyle k (y)}X→Y{\ displaystyle X \ do Y} Xy{\ displaystyle X_ {y}}Y{\ displaystyle Y}

• Jeśli jest to morfizm typu skończonego schematów, to jest to typ skończony. W szczególności morfizm między dwoma rozmaitościami algebraicznymi jest automatycznie typu skończonego.fa:X→Y{\ displaystyle f: X \ do Y}S{\ displaystyle S}fa{\ displaystyle f}

Jeśli weźmiemy pod uwagę , że włókna są afiniczne linie (włókno powyżej punktu odpowiadające zerowego ideału ) i (włókno powyżej punktu odpowiadającego maksymalnej ideału z ) dla liczb pierwszych . W pewnym sensie koduje linie afiniczne na wszystkich polach pierwszych. Spmivs(Z[T])→SpmivsZ{\ Displaystyle \ mathrm {Spec} (\ mathbb {Z} [T]) \ do \ mathrm {Spec} \ mathbb {Z}}WQ1{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {1}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Wfap1{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {{\ mathbb {F}} _ {p}} ^ {1}}pZ{\ displaystyle p \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}p{\ displaystyle p}Spmivs(Z[T]){\ Displaystyle \ mathrm {Spec} (\ mathbb {Z} [T])}

Bibliografia

A. Grothendieck i J. Dieudonné: Elementy geometrii algebraicznej , rozdział I. Springer Verlag, 1971. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften; 166 ).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">